1、12.3不等式选讲第1课时绝对值不等式考情考向分析本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题1绝对值不等式的解法(1)含有绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2含有绝
2、对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()题组二教材改编2P6例3不等式3|52x|9的解集为_答案(2,14,7)解析由题意得即解得不等式的解集为(2,1 4,7)3P6例4求不等式|x1|x5|2的解集解当x1时，原不等式
3、可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1；当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)4P6例4若存在实数x满足不等式|x4|x3|a，求实数a的取值范围解由绝对值不等式的几何性质知，|x4|x3|(x4)(x3)|1，当且仅当(x4)(x3)0时，等号成立所以函数y|x4|x3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，)题组三易错自纠5若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.答案4或6解析方法一当a1时，f(x)3|x1|，f(x)min0，不符合题意；
4、当a1时，f(x)f(x)minf(a)a15，a4成立综上，a4或a6.方法二当a1时，f(x)min0，不符合题意；当a1时，f(x)minf(a)|a1|5，a4或a6.6若存在实数x，使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_答案2,4解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.7若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_答案解析设y|2x1|x2|当x5；当2x；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等
5、式a2a2，得1a，故实数a的取值范围为.题型一绝对值不等式的解法1已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而11.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)方法一当a2时，由题意知|x2|x4|4，利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4，又
6、2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上故不等式的解集为x|x1或x5方法二当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.故原不等式的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以解得a3.思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的
7、方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解题型二利用绝对值不等式求最值例1 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成立|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成式|x1|x|y1|y1|123，当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成立|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.思维升华 求含
8、绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法跟踪训练1 (2018镇江模拟)已知a和b是任意非零实数(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2题型三绝对值
9、不等式的综合应用例2 已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围解(1)f(x)|xa|(a0)，f(xm)|xma|，f(x)f(xm)|xa|xma|1，又|xa|xma|m|，|m|1，1m1，实数m的最大值为1.(2)当a时，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|g(x)minga0，或a0，实数a的取值范围是.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值不等式有关的综合问题的常用方法跟踪训练2 已知函
10、数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x2时，由f(x)1，解得x2，所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.1解不等式|x1|x2|5.解方法一如图，设数轴上与2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数显然，区间2,1不是不等式的解集把点A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个
11、单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，)方法二由原不等式|x1|x2|5，可得或或解得x2或x3，原不等式的解集为(，32，)方法三将原不等式转化为|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图象，如图所示，由图象可知，当x(，32，)时，f(x)0，原不等式的解集为(，32，)2已知a2，xR.求证：|x1a|xa|3.证明因为|m|n|mn|，所以|x1a|xa|x1a(xa)|2a1|.又a2，故|2a1|3.所以|x1a|xa|3.3若不等式log2(|x1|x2|m)2恒成立，求实数m的取值范围解由题意，知|x1|x2|m4恒成立，即m
12、(|x1|x2|4)min.又因为|x1|x2|4|(x1)(x2)|41，当且仅当1x2时等号成立所以m1.即实数m的取值范围为(，14对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，所以|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6.即实数m的取值范围为6，)5已知函数f(x)|xa|xa|，若对任意xR，不等式f(x)a23恒成立，求实数a的取值范围解对任意xR，不等式f(x)a23恒成立，f(x)mina23，又|xa|xa| |xa(xa)|2a|
13、，|2a|a23，即|a|22|a|30，解得1|a|3.3a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题意可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题意得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)7已知关于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a0)(1)当a4时，求不等式的解集；(2
14、)若不等式有解，求实数a的取值范围解(1)当a4时，不等式为|2x1|x1|2.当x时，x22，解得4x1时，x0，此时x不存在，原不等式的解集为.(2)令f(x)|2x1|x1|，则f(x)故f(x)，即f(x)的最小值为.若f(x)log2a有解，则log2a，解得a，即a的取值范围是.8设f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集为6,2，求实数a的值；(2)当a2时，若存在x0R，使得不等式f(2x01)f(x01)73m成立，求实数m的取值范围解(1)显然a0，当a0时，解集为，则6，2，无解；当a0时，解集为，令2，6，得a.综上所述，a.(2)当a2时，令h(x)f(2x1)f
15、(x1)|4x1|2x3|由此可知h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x时，h(x)取得最小值，由题意，知73m，解得m，所以实数m的取值范围是.9已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2，得2x1，即1x；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2，得2x2，解得x1，即x1，所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，因此|ab|1ab|.10已知函数f(x)|2xa
16、|x1|，aR.(1)若不等式f(x)2|x1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值解(1)由题意知f(x)2|x1|，即|x1|1.而由绝对值不等式的几何意义，知|x1|，不等式f(x)2|x1|有解，1，即0a4.实数a的取值范围是0,4(2)函数f(x)|2xa|x1|的零点为和1，当a2时，1，f(x)如图所示，可知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(1，)上单调递增，f (x)minf 13.a4.11已知函数f (x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)当a1时，解不等式f (x)g(x)；(2)若存在x0R，使得f (x0)g(x0)，求实数a的取值范围解(1)当a1时，不等式f (x)g(x)，即|x1|2|x|1，从而即x1，或即10，b0且ab1，(ab)59，当且仅当，即a，b时，取得最小值9.(2)对a，b(0，)，|2x1|x1|恒成立，|2x1|x1|9.当x1时，不等式化为2x9，解得7x1；当1x时，不等式化为3x9，解得1x；当x时，不等式化为x29，解得x11.x的取值范围为x|7x11
