1、2.4幂函数与二次函数考情考向分析以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0
2、，)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0且0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是.()(2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(3)函数是幂函数()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(5)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()题组二教材改编2P89练习T3已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k_.答案解析由幂函数的定义，知k1，.k.3P40练习T3已知函数f
3、(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是_答案(，3解析函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3.题组三易错自纠4幂函数(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a_.答案5解析因为a210a23(a5)22，(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)221，函数y2x26x3在1,1上单调递减，ymin2631.6设二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)”“解析f(x)x2xa图象的对称轴为直线x，且f(1)0，f(0)0，而f
4、(m)0，m(0,1)，m10.题型一幂函数的图象和性质1若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是_答案(，0)解析设f(x)x，则2，2，即f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是_(用“”连接)答案abcd解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd.3若，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析不等式等价于a132a0或32aa10或a1032a，解得a1或a0.所以函数的图象开口向上，且在1,2上单调递增，f(0)f(2)，则当f
5、(m)f(0)时，有0m2.命题点2二次函数的单调性例3 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是_答案3,0解析当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.
6、引申探究将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值解f(x)(xa)21a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.(1)当a时，f(x)maxf(2)4a5，(2)当a即a时，f(x)maxf(1)22a，综上，f(x)max命题点4二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，若不等式f(x)2xm在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_答案(，1)解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1，又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，所以a1，b1，所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1
7、,1上恒成立，即x23x1m0在1,1上恒成立，令g(x)x23x1m2m，x1,1，g(x)在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)131m0，所以m1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大值为_答案2解析令axt，因为a1，x1,1，所以ta，原函数化为g(t)t23t2，t，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立，所以有a23a28，解得5a2，又a1，所以1a2，所以a的最大值为2.思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，
8、尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路的关键都是求函数的最值或值域跟踪训练2 (1)(6a3)的最大值为_答案解析易知函数y(3a)(a6)的两个零点是3，6，图象的对称轴为a6,3，y(3a)(a6)的最大值为y2，则的最大值为.(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a
9、30，解得a3或a1.(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_答案解析由题意得a对1x4恒成立，又22，.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论例 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1
10、处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min1幂函数(mZ)的图象如图所示，则m的值为_答案2解析(mZ)的图象与坐标轴没有交点，m24m0，即0m0，解得m1.3(2019江苏省扬州中学月考)若函数f(x)x22ax1在(，5上单调递减，则实数a的取值范围是_答案5，)解析由题意可得5，解得a5.4已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_答案解析由题意知即解得a.5已知函数f(x)x22ax1a，x0,1有最大值2，则a_.答案2或1解析函数f(x)x2
11、2ax1a(xa)2a2a1，其图象的对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.6若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以aRQ解析P3，根据函数yx3是R上的增函数，且，得333，即PRQ.8已知二次函数yf(x)的顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是_答案f(x)4x212x40解析设f(x)a249(a0)，方程a2
12、490的两个实根分别为x1，x2，则|x1x2|2 7，所以a4，所以f(x)4x212x40.9已知函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是_答案7，)解析函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有，解得a2，所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.10设函数f(x)2x24x在区间m，n上的值域是6，2，则mn的取值范围是_答案0,4解析令f(x)6，得x1或x3；令f(x)2，得x1.又f(x)在1,1上单调递增，在1,3上单调递减，当m1，n1时，mn取得最小值0；
13、当m1，n3时，mn取得最大值4.11已知函数(kZ)满足f(2)0，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为？若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由解(1)f(2)0，解得1k0满足题设，由(1)知g(x)qx2(2q1)x1，x1,2g(2)1，两个最值点只能在端点(1，g(1)和顶点处取得而g(1)(23q)0，g(x)max，g(x)ming(1)23q4.解得q2.存在q2满足题意12(2018江苏省如皋中学考试)已知函数f(x)x2bxc的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，且满足f(1x)f(1x)(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)x，m0，求函数g(
14、x)在0，m上的最大值解(1)因为图象与y轴的交点坐标为(0,1)，所以c1，因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以b2，所以f(x)x22x1.(2)因为f(x)x22x1(x1)2，所以g(x)x|x1|作出函数g(x)的图象如图所示当0m时，g(x)maxg(m)mm2；当时，g(x)maxg(m)m2m，综上，g(x)max13.如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即
15、abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确14当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立，mxx24对x(1,2)恒成立，即m对x(1,2)恒成立，令yx，x(1,2)，则函数yx在x(1,2)上是减函数4y5，54，m5.方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，由f(x)0恒成立，得解得即m5.15若函数(x)x2m|x1|在0，)上单调递增，则实数m的取值范围是_答案2,0解析当0x1时，(x)x2mxm，此时(x)单调递增，则0，即m0；当x1时，(x)x2mxm，此时(x)单调递增，则1，即m2.综上，实数m的取值范围是2,016是否存在实数a2,1，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由解f(x)(xa)2aa2，当2a1时，f(x)在1,1上为增函数，由得a1(舍去)；当1a0时，由得a1；当0a1时，由得a不存在；综上可得，存在实数a满足题目条件，a1.
