1、2.3函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(
2、x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa)f(x)(a0)(2)f(xa)(a0)(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|(2)T2|a|(3)T|ab|题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“
3、”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()题组二教材改编2P45习题T11已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3P43练习T4函数yf(x)为(，)上的偶函数，且f(|a|)3，则f(a)_.答案3解析若a0，则f(a)f(a)f(|a|)3；若a0，则f(a)f(|a|)3.故对aR，总
4、有f(a)3.4P45习题T8若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a_.答案1解析f(x)(x1)(xa)x2(1a)xa为偶函数，f(x)f(x)对xR恒成立，(1a)x(a1)x恒成立，1a0，a1.题组三易错自纠5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_答案解析f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.6偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.答案3解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)3.题型一函数奇偶性的判断例1
5、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x236，解得x6，即函数f(x)的定义域为6,6，关于原点对称，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数思维升华 判断函数
6、的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立跟踪训练1 (1)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是_答案2解析函数yx3，y2sin x为奇函数，y2x为非奇非偶函数，yx21为偶函数，故奇函数的个数是2.(2)函数f(x)lg|sin x|是_(填序号)最小正周期为的奇函数；最小正周期为2的奇函数；最小正周期为的偶函数；
7、最小正周期为2的偶函数答案解析易知函数的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|lg|sin x|f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y|sin x|的最小正周期为，所以函数f(x)lg|sin x|是最小正周期为的偶函数题型二函数的周期性及其应用1已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0，2)时，f(x)2x2，则f(7)_.答案2解析f(7)f(1)f(1)2.2已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2 020)_.答案2解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周
8、期为4，所以f(2 020)f(4)因为f(22)，所以f(4)2.故f(2 020)2.3已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.4设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则f f(1)f f(2)f _.答案1解析依题意知：函数f(x)为奇
9、函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.f f(1)f f(2)f f 0f f(0)f f f f(0)f f f(0)12011.思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2 021)_.答案解析设0x2，则2x0时，x0时，f(x)x2ax1a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是_答案1,0解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)
10、0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且1a0，此时即即1a0.命题点3利用函数的性质解不等式例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(ln x)f(2)，则x的取值范围是_答案(e2，e2)解析根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则f(ln x)f(2)|ln x|2，即2ln x2，解得e2xf(2x1)成立的x的取值范围为_答案解析由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以
11、函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x1.所以符合题意的x的取值范围为.思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解跟踪训练2 (1)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f _.答案解析由题意可知，f f f2.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)的大小关系为_答案f(25)f(80)f(11)解析因为f(x)满足
12、f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)所以f(25)f(80)f(11)(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，则实数x的取值范围是_答案(3,2)解析g(x)是奇函数，当x0时，xf(x)，可得6x2x，即x2x60，3x2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调
13、性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题一、函数性质的判断例1 (1)已知函数f(x)ax2，其中aR.讨论函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论解方法一f(x)的定义域为(，0)(0，)若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)恒成立，即ax2ax2，得2ax20恒成立，所以a0；若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)恒成立，即ax2ax2，得0，这是不可能的综上所述，当a0时，f(x)为奇函数；当a0时，f(x)为非奇非偶函数方法二f(x)的定义域为(，0)(0，)当a0时，
14、f(x)，f(x)f(x)，此时f(x)为奇函数；当a0时，f(1)a1，f(1)a1，则f(1)f(1)且f(1)f(1)，所以f(x)是非奇非偶函数(2)下列函数：ysin3x3sin x; y；ylg； y其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是_(填序号)答案解析易知中函数在(0,1)上为增函数；中函数不是奇函数；满足条件的函数为.(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_答案解析由f(x)f(x2)0可得f(x4)f(x2)f(x
15、)，函数f(x)的最小正周期是4，对；由f(4x)f(x)，可得f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称，对；f(4x)f(x)且f(4x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，对二、函数性质的综合应用例2 (1)(2018全国改编)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_.答案2解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数且定义域为R
16、得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.(2)(2018南京、盐城模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调增函数如果实数t满足f(ln t)f 2f(1)，那么t的取值范围是_答案解析f(ln t)f f(ln t)f(ln t)2f(ln t)2f(|ln t|)，于是f(ln t)f 2f(1)，所以f(
17、|ln t|)f(1)，所以|ln t|1，所以1ln t1，所以te.(3)(2018扬州期末)已知函数f(x)sin xx，则关于x的不等式f(1x2)f(5x7)0的解集为_答案(2,3)解析因为f(x)sin(x)xsin xxf(x)，所以f(x)为奇函数又因为f(x)sin xx2x，所以易判断f(x)在R上单调递减，所以f(1x2)f(5x7)0，即f(1x2)75x，即x25x60，解得2x0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)；(3)当x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)由(1)(2)(3)可知，当xR时，都有f(x)f(x)，f(x)
18、为奇函数4已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x2的解集为_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x.6已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是_(用“”连接)答案f(0)f(6.5)f(1)解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0
19、.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是单调递增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)0时，f(x)ln x，则f 的值为_答案ln 2解析由已知可得f ln 2，所以f f(2)又因为f(x)是奇函数，所以f f(2)f(2)ln 2. 9奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，且在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为_答案9解析由于f(x)在3,6上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)8，f(x)的最小值为f(3)1，因为f(x)为奇函数，所以f(3)f(3)1，所以f(6)f(3)819.10设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在
20、区间1,1)上，f(x)其中aR.若f f ，则f(5a)的值是_答案解析由已知f f f a，f f f .又f f ，则a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.经检验，m2符合题意(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2 023)_.答案1解析因为f(x
21、)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)f(50641)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 023)f(1)1.14已知函数f(x)x32x，若f(1)0(a0且a1)，则实数a的取值范围是_答案(0,1)(3，)解析因为函数f(x)x32x是奇函数，且在R上是增函数，f(1)0，所以f(1)f(1)，所以1，所以或所以a(0,1)(3，)15已知函数f(x)sin xx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取
22、值范围为_答案解析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，则mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成立，令h(m)mxx2，m2,2，此时，只需即可，解得2x.16已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，当x(2,4)时，f(x)|x3|，求f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)的值解因为f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)在f(x1)f(x1)中，令x1，可得f(2)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0.所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)0.
