1、易错点1 忽视不等式隐含条件致误设，若12,24，则的取值范围是_【错解】由得，得：， 得：.由此得4=4a2b11，所以的取值范围是4,11学&科网【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了的范围扩大【试题解析】解法一：设=mn(m、n为待定系数)，则4a2b=m(ab)n(ab)，即4a2b=(mn)a(nm)b，于是得，解得.=3又12,24，5310，即510.解法二：由，得，=4a2b=3又12,24，5310，即510.解法三：由题意，得，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当=4a2b过点时，取得最小值；当=4a2b过点B(3,1)时，取得最大值4321=10，
2、510.【答案】（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围1已知，满足，则的取值范围是A BC D【答案】A【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决易错点2 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题：若,则；若，则；若且,则；若,则.其中正确命题的序号是 .【错解】,又,则，故正确；当时，,故不正确；正确；由知,，故,故不正确.故填.【错因分析】忽略了不等式性质成立的条件；中的推论显然不正
3、确.【试题解析】当ab0时，不成立，故不正确；当cb不成立,故不正确；当a=1,b=2,k=2时，命题不成立，故不正确；由ab0ab00cacb,两边同乘以,得,又,故正确.故填.【答案】不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bcabac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)(3)“ab0anbn(nN*，n1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，ab0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n1，a3，b2，那么就会出现“3121”的错误结论；假如去掉“b0”这个
4、条件，取a3，b4，n2，那么就会出现“32(4)2”的错误结论2下列不等式中，正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】A【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x的不等式mx2mxm10恒成立，则m的取值范围为_【错解】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，所以m0且m24m(m1)0，解得m0故实数m的取值范围为(，0)【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m的值是否为0而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判
5、别式法处理导致漏解【试题解析】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，当m0时，10恒成立；当m0时，易知m0且m24m(m1)0，解得m0综上，实数m的取值范围为(，0学*科网【答案】(，0解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判：计算对应方程的判别式三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集3已知命题“”为真命题,则实数的取值范围是_.【答案】【名师点睛】不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，解不等式恒成
6、立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式【错解】原不等式可化为，即，等价于，即，因为，所以当，即或时，；当，即时，；当，即时，综上，当或时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；学.科网当时，原不等式的解集为或【错因分析】显然当a0时，原不等式是不成立的，故
7、上述求解过程是错误的实际上错解中的变形非同解变形，因为a1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a10时的情况【试题解析】显然当时，原不等式是不成立的当a0时原不等式可化为，即，等价于(*)，当时，(*)式可转化为，即，即当时，(*)式可转化为当时，(*)式可转化为又当时，所以当或时，；当时，综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错
8、4已知，其中.（1）解关于的不等式；（2）若时，不等式恒成立，求实数的范围.【答案】（1）见解析；（2）.（2）时,不等式恒成立即为恒成立, ，.【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.（2）解答第2问的关键是转化，先转化为恒成立，再转化为恒成立，即得m的取值范围.解含有参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式学科网(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的
9、大小关系，从而确定解集形式.易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x2y的最小值为A5 B4C2 D3【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x2y平移到过点(1,0)时取得最小值，即zmin=3120=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x2y=z平移到过点(0,
10、2)时，z=3x2y的值最小，最小值为4，故选B.形如z=AxBy(B0)，即，为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号5若实数，满足约束条件则的最大值是A BC D【答案】D【解析】由实数，满足约束条件作出可行域，如图.【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果。学科/网易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误若x0，y0，且x2y1，则的最小值为_【错解】因为x0，y0，所以1x2y，即8xy1，即xy，故8因为，所以故的最小值为
11、【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y，但这两次取“”需满足x2y与xy，互相矛盾，所以“”不能同时取到，从而导致错误【试题解析】因为x2y1，x0，y0，所以，当且仅当，即，即时取等号故的最小值为连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立6若正数满足，则的最大值为A BC D【答案】A故选A.学#科网【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式1比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作
12、差，变形，定号，得出结论注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：介值比较法的理论根据是：若ab,bc,则ac，其中b是a与c的中介值. 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
13、（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件3求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.二、一元二次不等式及其解法1解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式（2）二判：计算对应方程的判别式（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根（4）四写：利用“大于取
14、两边，小于取中间”写出不等式的解集2解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式（2）判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.3解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值即若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或);若在定义域内存
15、在最小值，则(或)恒成立(或);若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上界(或最小下界)，即在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的，只是等号均可以取到.（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.4已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.5简单分式不等式的解法若与是关于的多项式，则
16、不等式(或0，或0，或0)称为分式不等式解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解即;.对于形如a(或a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 6简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式解高次不等式常用的方法有两种： （1）将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集（2）穿针引线法：将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正
17、)或二次不可约因式的乘积； 求出各因式的实数根，并在数轴上标出； 自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集三、简单的线性规划问题1画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步，“直线定界”，即画出边界，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定表示的是直线哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对
18、于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域.3求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域. （2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标. （3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.学%科网4简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（
19、1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为)；（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案5解答线性规划实际应用题的步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案6求线性目标函数最值的两种方法（1）平移直线法：作出可行域,
20、正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. （2）顶点代入法：依约束条件画出可行域;解方程组得出可行域各顶点的坐标;分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较后得出z的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.
21、（）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.四、基本不等式1利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配.（1）拆裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. （2）并分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值. （3）配配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的
22、方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.注意：基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法.2有关函数最值的实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.12018新
23、课标理已知集合，则A B CD 【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B. 学&科网【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2已知集合，则A2，1 B1，2)C1，1 D1，2)【答案】A【名师点睛】利用一元二次不等式的解法，化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.3已知a0，b1，则下列不等式成立的是A BC D【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以故选C【名师点睛】本题考查了不等式的大小比较，考查了代数式的意义和性质，是基础题4对于任意实数,不等式
24、恒成立,则实数的取值范围是A BCD【答案】C【解析】当时,恒成立,所以成立,排除A,D;当时,即不成立,排除B;选C5已知 lg alg b0，则 lg(ab)的最小值为Alg 2 B2Clg 2 D2【答案】A【名师点睛】本题考查了对数的基本运算，基本不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.学*科网 62018天津理设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A6 B19 C21 D45【答案】C【解析】绘制不等式组表示
25、的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得，可得点A的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.72018新课标理设，则A BC D【答案】B【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.8已知,若,则当取得最小值时,A2 B4C6 D8【答案】C【解析】因为,所以,下面只需求解的最小值即可.因为,故,又,当且
26、仅当m=2n=4时,等号成立,此时m+n=6.9设实数满足,则的最小值为A4 B C D0【答案】B【解析】画出可行域如图所示,则目标函数的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,所以的最小值为,故选B学*科网10若存在实数使不等式组与不等式都成立,则实数的取值范围是A B C D【答案】B故选B.11已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为A BC D【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：【名师点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法首先作出不等式组对应的平面区域，再利用目标函数的几何
27、意义，求最大值，然后根据基本不等式的性质进行求解即可12已知关于x的不等式x24ax6a20)的解集为(x1,x2),则x1x2的最小值是A B C D【答案】C【解析】由题意可知,x1,x2是方程x24ax6a2=0两个根,则,所以x1x2,当且仅当时,等号成立. 学科%网13若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是_【答案】【名师点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题14能够说明“设a,b,c是任意实数.若abc,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 .【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)【解析】因为“设a,b,c是任意实
28、数.若abc,则a+bc”是假命题,则它的否定“设存在实数a,b,c若abc,则a+bc”是真命题.由于abc,所以a+b2c,又a+bc,所以c0.因此a,b,c依次可取整数-1,-2,-3,满足a+bc15已知是任意实数,则关于的不等式的解集为 .【答案】【解析】,即,解得.162018天津理已知，且，则的最小值为_.【答案】【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误由题意首先求得a3b的值，然后结合基本不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.17已知,若,
29、则的最小值为 .【答案】96【解析】因为,所以=,当且仅当,即时,等号成立.18已知实数x,y满足不等式组则z=x2+y2-10y+25的最大值为 .【答案】65【解析】作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,因为z=x2+y2-10y+25=(x-0)2+(y-5)2的几何意义表示可行域中的点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方.结合图象易知点C到点M的距离最大,由得C(7,9),则zmax=(7-0)2+(9-5)2=65.19设实数x,y满足则u=的取值范围是 .【答案】-,202018江苏卷在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意
30、可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 学科*网212018北京理若𝑥,y满足，则2y𝑥的最小值是_.【答案】3【解析】作出可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直
31、线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.解本题时，先作出可行域，再根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.222018新课标I理若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要
32、明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.232018新课标II理若满足约束条件 则的最大值为_【答案】9【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等. 学科网24某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(千克)105预计收益(万元)8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?【答案】960万元【解析】设搭载A产品x件,B产品y件,则预计收益z=80x+60y,由题意知,作出可行域如图所示.作出直线l:80x+60y=0并平移,由图形知,当直线经过点M时,z取得最大值,由解得即M(9,4).所以zmax=809+604=960(万元),所以搭载9件A产品,4件B产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元. 学科.网_
