1、 专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点，直线，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且，求动点P的轨迹1求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化
2、为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程（4）参数法：若动点坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等1已知点P(
3、2，2)，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求l的方程及的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）圆C的方程可化为，所以圆心为C(0，4)，半径为4设M(x，y)，则，由题设知，故，即由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为又|OM|OP|，点O到直线l的距离为，|PM|，所以的面积为易错点2 求轨迹方程时忽略变
4、量的取值范围已知曲线C：y和直线l：ykx(k0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.【错解】依题意，由分别消去x、y得，(k21)x22x20，(k21)y22ky2k20.设AB的中点为P(x，y)，则在中分别有，故线段AB中点的轨迹方程为.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y的允许范围，故应对x，y加以限制【试题解析】依题意，由，分别消去x、y得，(k21)x22x20，(k21)y22ky2k20.设AB的中点为P(x，y)，则在中分别有又对应满足，解得k2，y.所以所求轨迹方程是x2y2x0(x2，y)【参考答案】轨迹方程是x2y2x0(x2，y).1
5、一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围. 学#科网2已知的三边a、b、c(abc)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程.【答案】1(2x0)故所求的轨迹
6、方程为1(2xbc，使变量x的范围扩大，从而导致错误另外，注意当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形 易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为_【错解】由，可得，所以实数k的取值范围为(6，8)【错因分析】忽略了椭圆标准方程中ab0这一限制条件，当ab0时表示的是圆的方程【试题解析】由，可得且，所以实数k的取值范围为(6，7)(7，8)【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性【参考答案】(6，7)(7，8)平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做
7、椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3已知F1，F2为两定点，|F1F2|8，动点M满足|MF1|MF2|8，则动点M的轨迹是A椭圆B直线C圆D线段 【答案】D平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F1F2|2a这一隐含条件，就会错误地得出点M的轨迹是椭圆.易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为，并且焦距为8，则实数k的值为_【错解1】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，
8、故 学科.网【错解2】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误【试题解析】因为2c8，所以c4，当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故；当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故综上，或【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种
9、可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解【参考答案】或1解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.对于方程，表示焦点在x轴上的椭圆且；表示焦点在y轴上的椭圆且；表示椭圆且对于形如：Ax2By21(其中A0，B0，AB)的椭圆的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当BA时，表示焦点在x轴上的椭圆；当BA时，表示焦点在y轴上的椭圆2求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判
10、断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(其中A0，B0，AB).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4已知，则
11、该椭圆的标准方程为AB或CD或【答案】D本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上，从而求出椭圆的标准方程为1.为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：与椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为且，与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为，焦点在x轴上或，焦点在y轴上易错点5 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离为，求椭圆的标准方程【错解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，故，即设椭圆上的点到点P的距离为d，则，所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，所以，解得，故所求椭圆的标准方程为【错因分析】错解中“当时，取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考
12、虑椭圆方程中y的取值范围，事实上，由于点在椭圆上，所以，因此在求的最大值时，应分类讨论【试题解析】由题意可设椭圆的标准方程为，则，故，即设椭圆上的点到点P的距离为d，则，若，则当时，取得最大值，从而d取得最大值，于是，解得，与矛盾，故，所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，所以，解得，故所求椭圆的标准方程为【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错【参考答案】.1椭圆的范围就是方程中变量x,y的范围，由得，则；，则.故椭圆落在直线x=a，y=b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x，y的取值范围.2设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处3（1）解决椭圆1(ab0)中的范围问题常用的关系有：axa，byb；离心率0e0或m0时，准线方程为x，由条件知1()3，所以m8.此时抛物线方程为y28x；当m0),A(1,-2)是抛物线上的点.若存在斜率为-2的直线l与抛
