1、第3讲等比数列一、填空题1已知an，bn都是等比数列，给出下列结论：anbn，anbn都一定是等比数列；anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列；anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列；anbn，anbn都不一定是等比数列其中正确的是_(填序号)解析两个等比数列的积仍是一个等比数列答案2(2017苏北四市调研)在等比数列an中，已知a2a532，a3a44，且公比为整数，则a10_.解析设等比数列an的公比为q(qZ)，且a2a5a3a432，a3a44，解得a34，a48，q2，则a10a4q68(2)6512.答案5123(2015全国卷改编)已知等比数列an满足a1
2、3，a1a3a521，则a3a5a7_.解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142.答案424已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10_.解析由解得或或a1a10a1(1q9)7.答案75(2017南京、盐城模拟)设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40_.解析依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)即(S2010)210(70S20)，故S202
3、0或S2030，又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080.S40150.答案1506(2017扬州中学模拟)在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a32S21，a42S31，则公比q等于_解析两式相减得a4a32a3，从而求得3.即q3.答案37在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，q21舍去，a6a2q41224.答案48已知各项均为正数的等比数列
4、an的前n项和为Sn，若S43S2，a32，则a7_.解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，显然q1且q0，因为S43S2，所以，解得q22，因为a32，所以a7a3q42228.答案8二、解答题9在等比数列an中，a23，a581.(1)求an；(2)设bnlog3an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设an的公比为q，依题意得解得因此，an3n1.(2)因为bnlog3ann1，所以数列bn的前n项和Sn.10(2017合肥模拟)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1n
5、a1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾故数列an1不是等比数列11在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3
6、324，因此q3n68134q36，所以n14.答案1412(2017盐城中学模拟)数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa_.解析a1a2an3n1，nN*，n2时，a1a2an13n11，当n2时，an3n3n123n1，又n1时，a12适合上式，an23n1，故数列a是首项为4，公比为9的等比数列因此aaa(9n1)答案(9n1)13(2017南京、盐城模拟)设Sn是等比数列an的前n项和，an0，若S62S35，则S9S6的最小值为_解析设等比数列an的公比为q，则由an0得q0，Sn0.又S62S3(a4a5a6)(a1a2a3)S3q3S35，则S3，由S3
7、0，得q31，则S9S6a7a8a9S3q6，令t，t(0,1)，则tt22，所以当t，即q32时，取得最大值，此时S9S6取得最小值20.答案2014(2015江苏卷节选)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由(1)证明因为2an1an2d(n1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列，(2)解不存在，理由如下：令a1da，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0)假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，则1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化简得t32t220(*)，且t2t1.将t2t1代入(*)式，t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，则t.显然t不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列.
