1、微专题二数列通项公式的常用求法一、累加法、累乘法例1 已知数列an满足an1an23n1，a13，则数列an的通项公式为_答案an3nn1 解析由an1an23n1，得a2a12311，a3a22321，a4a32331，anan123n11，累加可得ana12(31323n1)(n1)，又a13，an2n23nn1(n1时也成立)例2 设数列an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式是an_.答案解析原递推式可化为：(n1)an1nan(an1an)0，an1an0，则，累乘可得，又a11，an(n1时也成立)跟踪训练1 (1)在数列an中，a1
2、3，an1an，则数列an的通项公式为an_.答案4解析原递推式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，anan1，累加得ana11.故an4(n1时也成立)(2)在数列an中，a11，an12nan，则an_.答案解析a11，a22a1，a322a2，an2n1an1，累乘得an222232n1，当n1时也成立，故an.二、换元法例3 已知数列an，其中a1，a2，且当n3时，anan1(an1an2)，求通项公式an.解设bn1anan1，原递推式可化为bn1bn2，bn是一个等比数列，b1a2a1，公比为.bnb1n1n1，故anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a1
3、2，用累加法得ann，当n1时也成立跟踪训练2 已知数列an中，a11，a22，当n3时，an2an1an21，求通项公式an.解当n3时，(anan1)(an1an2)1，令bn1anan1，bn1bn21，bn是等差数列，其中b1a2a11，公差为1，bnn，b1b2bn1a2a1a3a2anan1an1，an1n(n1)，an(n1时也成立)三、构造等差数列求通项例4 已知数列an满足an13an23n1，a13，求数列an的通项公式解an13an23n1，两边同除以3n1，得2，是以1为首项，以2为公差的等差数列，1(n1)22n1，an(2n1)3n.例5 若数列an中，a12且an
4、(n2)，求它的通项公式an.解将an两边平方整理，得aa3.数列a是以a4为首项，3为公差的等差数列故aa(n1)33n1.因为an0，所以an.例6 已知数列an中，a11，且当n2时，an，求通项公式an.解将an两边取倒数，得2，这说明是一个等差数列，首项是1，公差为2，所以1(n1)22n1，即an.跟踪训练3 (1)已知数列an满足an13an3n，且a11.证明：数列是等差数列；求数列an的通项公式证明由an13an3n，两边同时除以3n1，得，即.由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列解由(1)知(n1)，故ann3n1，nN*.(2)已知数列an中，a11，an
5、1ananan1(n2，nN*)，则a10_.答案解析易知an0，数列an满足an1ananan1(n2，nN*)，1(n2，nN*)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，1910，a10.四、构造等比数列求通项例7 已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解由an13an2，可得an113(an1)，又a112，an1是以2为首项，以3为公比的等比数列，an123n1，an23n11.例8 在数列an中，a11，an12an43n1，求通项公式an.解原递推式可化为an13n2(an3n1)，比较系数得4，式为：an143n2(an43n1)则数列an43n1是一个等
6、比数列，其首项为a143115，公比是2.an43n152n1，即an43n152n1.例9 数列an满足a12，an1a(an0，nN*)，则an_.答案解析因为数列an满足a12，an1a(an0，nN*)，所以log2an12log2an，即2.又a12，所以log2a1log221.故数列log2an是首项为1，公比为2的等比数列所以log2an2n1，即an.跟踪训练4 (1)若数列an中，a13且an1a(n是正整数)，则它的通项公式是an_.答案解析由题意知an0，将an1a两边取对数，得lg an12lg an，即2，又lg a1lg 3，所以数列lg an是以lg 3为首项，
7、公比为2的等比数列，lg anlg a12n1，故an.(2)数列an中，a11，an1，则an_.答案解析由已知可得4，263，又23，是以3为首项，以3为公比的等比数列，23n，an.(3)数列an中，已知a11，an12an3n，则an_.答案3n(2)n1解析由已知可设an13n12(an3n)，比较系数可得，即an13n12，又a1，是以为首项，2为公比的等比数列，an3n(2)n1，an3n(2)n1.五、归纳推理法例10 (1)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1Sn1Sn，则Sn_.答案解析由a11，an1SnSn1可得a2S1S2a1(a1a2)，故a2，同理可得a3
8、，a4，由此猜想当n2时，有an，所以当n2时，Sna1a2an1.又因为S11也适合上式，所以Sn.(2)已知数列an满足an1若a1，则a2 018_.答案解析因为a1，根据题意得a2，a3，a4，a5，所以数列an是以4为周期的数列，又2 01850442，所以a2 018a2.跟踪训练5 (1)在数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于_答案78解析由题意，当n为奇数时，an1an2n1，an2an12n1，两式相减得an2an2；当n为偶数时，an1an2n1，an2an12n1，两式相加得an2an4n.所以S12(a1a3a11)(a2a4a12)234(2610)78.(2)已知数列an满足an2an1an，且a12，a23，Sn为数列an的前n项和，则S2 018的值为_答案5解析依题意得，a12，a23，a3a2a1321，a4a3a2132，a5a4a3213，a6a5a43(2)1，a7a6a51(3)2，a8a7a62(1)3，所以数列an是周期为6的周期数列又因为2 01863362，所以S2 018(231231)336235.(3)用x表示不小于x的最小整数，例如22，1.22，1.11.已知数列an满足a11，an1aan，则_.答案1解析a11，an1aan，an1，1.011，1.
