1、7.4基本不等式及其应用考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档1基本不等式：(a0，b0)(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已
2、知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)概念方法微思考1若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值2函数yx的最小值是2吗？提示不是因为函数yx的定义域是x|x0，当x0时，y0且y0”是“2”的充要条件()(3)若a0，则a3的最小值为2.()(4)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二
3、教材改编2P88T4设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_答案81解析x0，y0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.3P89例1若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.题组三易错自纠4“x0”是“x2成立”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析当x0时，x2 2(当且仅当x1时等号成立)因为x，同号，所以若x2，则x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要条件5
4、若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a_.答案3解析当x2时，x20，f(x)(x2)22 24，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.6若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是_答案5解析由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)(492)5，当且仅当，即y2x1时，“”成立，故4x3y的最小值为5.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1 (1)已知0x1)的最小值为_答案22解析x1，x10，y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立(3)函数y的最大值为_答案解析y，当x10时，y0，当x10时，y，当且仅当等号
5、成立，即x5时，ymax.命题点2常数代换法例2 (1)(2018江苏省盐城市东台中学质检)已知x0，y0，且1，则xy的最小值为_答案32解析由x0，y0，得(xy)332，当且仅当yx时等号成立，又1，则xy32，所以xy的最小值为32.(2)已知正数x，y满足xy1，则的最小值为_答案解析正数x，y满足(x2)(y1)4，(x2)(y1)，当且仅当x2y时，min.命题点3消元法例3 已知正实数a，b满足a2b40，则u的最小值为_答案解析a2b40，ba24，aba2a4.又a，b0，u3333，当且仅当a2，b8时，两等号同时成立，即取得最小值思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“
6、三相等”(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法跟踪训练1 (1)若a，b，c都是正数，且abc2，则的最小值是_答案3解析a，b，c都是正数，且abc2，abc13，且a10，bc0.(a1bc)(54)3.当且仅当a12(bc)，即a1，bc1时，等号成立(2)(2018苏北四市考试)已知实数x，y满足x2y23，|x|y|，则的最小值是_答案解析由已知可得1，(54)，当且仅当|x2y|2xy|时取等号(3)若实数x，y满足xy3x3，则的最小值为_答案8解析
7、由已知得，x，又0x3，y3y36268，当且仅当y4时，min8.题型二基本不等式的实际应用例4 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得当0x80时，L(x)1
8、000x0.05250x240x250；当x80时，L(x)1 000x0.052501 200.L(x)(2)当0x0，n0)，则m2n的最小值为_答案3解析，M，P，N 三点共线，1，m2n(m2n)23，当且仅当mn1时等号成立命题点2求参数值或取值范围例6 已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_答案4解析已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只要求(xy)的最小值大于或等于9，1aa21，当且仅当yx时，等号成立，a219，2或4(舍去)，a4，即正实数a的最小值为4.思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得
9、参数的值或范围跟踪训练3 (1)在ABC中，A，ABC的面积为2，则的最小值为_答案解析由ABC的面积为2，所以Sbcsin Abcsin 2，得bc8，在ABC中，由正弦定理得22，当且仅当b2，c4时，等号成立(2)已知函数f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，则的最小值是_答案9解析 由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb，因为函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的
10、语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的
11、函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1，13k，即k2，x3，每万件产品的销售价格为1.5(万元)，2019年的利润y1.5x816xm48xm48m29(m0)(2)m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1，即m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元素养提升利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值1函数f(x)的最小值为_答案4解析f(x)|x|24，当且仅当x2时，等号成立2已知正数a，b满
12、足ab1，则的最小值为_答案9解析由题意知，正数a，b满足ab1，则(ab)41529，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9.3若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为_答案4解析由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4.4(2018扬州模拟)已知正实数x，y满足xyxy，则的最小值为_答案52解析正实数x，y满足xyxy，即1，111，又，552，等号成立的条件为3222.5(2018江苏省无锡市第一中学期末)在等差数列an中，an0，a45，则的最小
13、值为_答案解析由题意得a2a62a410，所以(a2a6)(102).当且仅当a63a2时等号成立故的最小值为.6已知函数f(x)ex在点(0，f(0)处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a2b的最小值是_答案解析由题意得f(x)ex，f(0)e01，kf(0)e01.所以切线方程为y1x0，即xy10，ab10，ab1，2a2b222.7设x，y均为正数，且xyxy100，则xy的最小值是_答案6解析由xyxy100，得x1，xy1y2 6，当且仅当1y，即y2时，等号成立8已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，且ABC的面积为，则a的最小值为_答案解析
14、由题意得b2c2a2bc，2bccos Abc，cos A，又A(0，)，A.ABC的面积为，bcsin A，bc3.a2b2c2bc，a22bcbcbc3(当且仅当bc时，等号成立)，a.9(2018扬州模拟)已知正实数x，y满足5x24xyy21，则12x28xyy2的最小值为_答案解析方法一因为5x24xyy21，所以y25x214xyx24y2(当且仅当x2y时，取“”)，即6x23y21，所以2x2y2，所以12x28xyy212x22(y25x21)y22x2y222.方法二因为5x24xyy21，则12x28xyy2.令t，则t(0，)，设f(t)2，则f(t)，令f(t)0，得
15、t2，则f(t)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以f(t)minf(2).10已知a，b为正实数，且(ab)24(ab)3，则的最小值为_答案2解析由题意得(ab)2(ab)24ab，代入已知得(ab)24(ab)34ab，两边同除以(ab)2得24428，当且仅当ab1时取等号所以2，即的最小值为2.11已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，
16、y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？解(1)由题意可得xy1 800，b2a，则yab33a3，所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)1 8083xy(x3，y3)(2)方法一S1 8083x1 8081 80821 8082401 568，当且仅当3x，即x40时等号成立，S取得最大值，此时y45，所
17、以当x40，y45时，S取得最大值方法二设Sf(x)1 808(x3)，则f(x)3，令f(x)0，则x40，当0x0；当x40时，f(x)0.所以当x40时，S取得最大值，此时y45.13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b4，则ABC面积的最大值为_答案4解析，(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)sin A.又sin A0，cos B.0B，B.由余弦定理得b216a2c22accos a2c2ac2acacac，ac16，当且仅
18、当ac时等号成立SABCacsin 164.故ABC面积的最大值为4.14已知P为椭圆1上一个动点，过点P作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别是A，B，则的取值范围为_答案解析如图，由题意设APB2，则PAPB，|cos 2cos 2cos 2，设cos 2t，则t0，(1t)32323，当且仅当1t，即t1时等号成立，此时cos 21.又当点P在椭圆的右顶点时，sin ，cos 212sin2 ，此时最大，且最大值为.的取值范围是.15已知曲线C：y22xa在点Pn(n，)(a0，nN)处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴、y轴分别于点An(xn,0)，Bn(0，yn)，且|x0|y
19、0|.给出以下结论：a1；当nN*时，yn的最小值为；当nN*时，knsin；当nN*时，记数列的前n项和为Sn，则Sn(1)其中，正确的结论有_(写出所有正确结论的序号)答案解析令y，所以y2，kn，所以ln：y (xn)，所以x0a，y0，aa1，对；令t，所以yntt，所以yn，对；令f(x)xsin x，所以f(x)1cos x0，所以f(x)f(0)0，即sin，错；因为kn()，所以Sn k1k2kn(1)()()(1)，对16已知正三棱柱ABCA1B1C1，侧面BCC1B1的面积为4，求该正三棱柱外接球表面积的最小值解设BCa，CC1b，则ab4，底面三角形外接圆的半径为r，则2r，ra.所以R2222 24，当且仅当ab时，等号成立所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4416.
