1、一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 1 页共 17 页 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 答案部分 1D【解析】通解 过点(2,0)且斜率为23的直线的方程为2(2)3yx，由22(2)34yxyx，得2540 xx，解得1x或4x，所以12xy，或44xy，不妨设(1,2)M，(4,4)N，易知(1,0)F，所以(0,2)FM，(3,4)FN，所以8FM FN故选 D 优解 过点(2,0)且斜率为23的直线的方程为2(2)3yx，由22(2)34yxyx，
2、得2540 xx，设11(,)M x y，22(,)N x y，则10y，20y，根据根与系数的关系，得125xx，1 24x x 易知(1,0)F，所以11(1,)FMxy，22(1,)FNxy，所以1212121212(1)(1)()14 FM FNxxy yx xxxx x 45 1 88 故选 D 2 A【解析】由已知1l垂直于x轴是不符合题意，所以1l的斜率存在设为1k，2l的斜率为2k，由题意有121kk，设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)D x y，44(,)E x y 此时直线1l方程为1(1)yk x，取方程214(1)yxyk x，得2222111240
3、k xk xxk，21122124kxxk 212124kk 同理得 22342224kxxk 由抛物线定义可知1234|2ABDExxxxp 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页共 17 页 221222222212121224244416482816kkkkkkk k 当且仅当121kk（或1）时，取得等号 3C【解析】设22,2,PptptM x y（不妨设0t），则22,22pFPptpt，13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,3
4、32,3ppxtpty 2211212121222OMtkttt max2()2OMk，故选 C 4B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为22(0)ypx p，由|4 2AB，|2 5DE，可取4(,2 2)Ap，(,5)2pD，设O为坐标原点，由|OAOD，得2216854pp，得4p，所以选 B 5A【解析】如图，11AFBFxxACBCSSABACFBCF，故选 A 6D【解析】当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰好有 2 条，即5xr，所以05r；所以当直线l的斜率存在时，这样的直线l有 2 条即可 设11(,)A x y，22(,)B xy，00(,)M xy，则12012022xx
5、xyyy又21122244yxyx，两式相减得121212()()4()yyyyxx，121212042AByykxxyyy 设圆心为(5,0)C，则005CMykx，因为直线l与圆相切，所以000215yyx，解得03x=，于是2204yr，2r，又2004yx，即2412r ，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 3 页共 17 页 所以04r，又05r，2r 所以24r，选 D 7C【解析】过点Q作QQl交l于点Q，因为4PFFQ，所以|:|3:4PQPF，
6、又焦点F到准线l的距离为 4，所以|3QFQQ故选 C 8D【解析】易知抛物线中32p，焦点3(,0)4F，直线AB的斜率33k，故直线AB的方程为33()34yx，代人抛物线方程23yx，整理得22190216xx 设1122(,),(,)A x yB x y，则12212xx，由物线的定义可得弦长 12|12ABxxp，结合图象可得O到直线AB的距离3sin3028pd，所以OAB的面积19|24SAB d 9D【解析】(2,3)A 在抛物线22ypx的准线上，22p 4p，28yx，设直线AB的方程为(3)2xk y，将与28yx联立，得2824160ykyk，则=2(8)4(2416)
7、0kk，即22320kk，解得2k 或12k （舍去），将2k 代入解得8,8xy，即(8,8)B，又(2,0)F，43BFk，故选 D 10C【解析】2OF，由抛物线的定义可得P点的坐标3 2,2 6，POF的面积为1122 62 322POF y 11C【解析】依题意可得AF所在直线方程为12xy代入24xy得352y，又|:|(1):(1)1:5FMMNyy 12C【解析】设222:(0)C xya a交xy162的准线:4l x 于(4,2 3)A(4,2 3)B 得：222(4)(2 3)4224aaa 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考
8、押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 4 页共 17 页 13D【解析】因为双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为 2,所以23.cbaa又渐近线方程为0,bxay所以双曲线1C的渐近线 方程为30.xy而抛物22:2(0)Cxpy p的焦点坐标为(0,),2p 所以有22|228(3)1pp.故选 D 14C【解析】设抛物线的方程为22ypx，易知|212ABp，即6p，点P在准线上，P到AB的距离为6p，所以ABP面积为 36，故选 C 152【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方
9、程为(1)yk x(0)k，由2(1)4yk xyx，消去y得22(1)4kxx，即2222(24)0k xkxk，设11(,)A x y，22(,)B xy，则212224kxxk，121x x 由2(1)4yk xyx，消去x得214(1)yyk，即2440yyk，则124yyk，124y y ，由90AMB，得1122(1,1)(1,1)MA MBxyxy 1 212121241()10 x xxxy yyy ，将212224kxxk，121x x 与124yyk，124y y 代入，得2k 解法二 设抛物线的焦点为F，11(,)A x y，22(,)B xy，则21122244yxyx
10、，所以2212124()yyxx，则1212124yykxxyy，取AB的中点00(,)Mxy，分别过点A，B做准线1x 的垂线，垂足分别为A，B，又90MB，点M在准线1x 上，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页共 17 页 所以111|(|)(|)222MMABAFBFAABB 又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且01y，所以122yy，所以2k 166【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F，作MBl与点B，N
11、Al与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x ，则2,4ANFF，在直角梯形ANFF中，中位线32ANFFBM，由抛物线的定义有：3MFMB，结合题意，有3MNMF，故336FNFMNM OFBAFNMyx 172 2【解析】22ypx=的准线方程为2px ，又0p，所以2px 必经过双曲线221xy的左焦点(2,0)，所以22p，2 2p 1812【解析】由正方形的定义可知BCCD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|ADpa，(,0)2pD，(,)2pFb b，将点F的坐标代入抛物线的方程得222()22pbpbaab，变形得22()10bbaa，解得12ba 或12ba（舍去）
12、，所以12ba 192，1x 【解析】1,22pp；准线12px 2062【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为(0,0)，设抛物线的方程为22xpy，l与抛物线的交点为A、B，根据题意知(2,2)A，(2,2)B 则有222a，21a 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 6 页共 17 页 抛物线的解析式为221xy 水位下降 1 米，则3y ，此时有6x或6x 此时水面宽为62米 213 24【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2，B
13、点坐标为（142，）所以点 B 到抛物线准线的距离为324 22【解析】(1)因为抛物线22ypx经过点(1,2)P，所以42p，解得2p，所以抛物线的方程为24yx 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为1ykx（0k）由241yxykx得22(24)10k xkx 依题意22(24)410kk ，解得0k 或01k 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1,2)从而3k 所以直线l斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)(2)设11(,)A x y，22(,)B xy 由(1)知12224kxxk，1221x xk 直线PA的方程为1122(1)1yyxx 令0 x，
14、得点M的纵坐标为1111212211Mykxyxx 同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx 由=QMQO，=QNQO得=1My，1Ny 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 7 页共 17 页 所以1212121212112()1111111(1)(1)1MNxxx xxxyykxkxkx x 2222241=211kkkkk 所以11为定值 23【解析】(1)由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)yk xk 设1221(,),(,)Ayx yxB，由2(
15、1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk 216160k，故122224kxkx 所以122244|(1)(1)xkABAFBFkx 由题设知22448kk，解得1k （舍去），1k 因此l的方程为1yx(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y，则 00220005,(1)(1)16.2yxyxx 解得003,2xy或0011,6.xy 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy 24【解析】(1)设00(,)P x y，211(,)4yAy，222(,)4yBy
16、 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以1y，2y为方程 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 8 页共 17 页 2021014()422yxyy即2210100280yy yxy的两个不同的实数根 所以1202yyy 因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知1202120028yyyy yxy 所以2221200013|()384PMyyxyx，21200|2 2(4)yyyx 因此，PAB的面积322120013 2|(4)24PABSPMyyyx 因为2200
17、14yx 0(0)x，所以22000044444,5yxxx 因此，PAB面积的取值范围是15 106 2,4 25【解析】（1）设A x,y11，B x,y22，l：2xym 由222xmyyx可得ymy2240，则y y 124 又yx211=2，yx222=2，故y yx x21212=4=4 因此OA的斜率与OB的斜率之积为yyxx1212-4=-14，所以OAOB 故坐标原点O在圆M上（2）由（1）可得y ym12+=2，x xm y ym 21212+=+4=24 故圆心M的坐标为mm2+2，圆M的半径rmm2222 由于圆M过点(4,2)P，因此0AP BP，故 121244+2
18、+2=0 xxyy 即x xx xy yyy1 21212124+2200 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 9 页共 17 页 由（1）可得y y12=-4，x x12=4 所以2mm 210，解得m 1或m 12 当1m 时，直线l的方程为20 xy，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，圆M的方程为xy223110 当12m 时，直线l的方程为240 xy，圆心M的坐标为91(,)42，圆M的半径为854，圆M的方程为229185()()4216x
19、y 26【解析】（）设直线 AP 的斜率为k，2114122xkxx，因为1322x，所以直线 AP 斜率的取值范围是(1,1)。（）联立直线 AP 与 BQ 的方程 110,24930,42kxykxkyk 解得点 Q 的横坐标是 22432(1)Qkkxk 因为|PA=211()2kx=21(1)kk|PQ=21()Qkxx=22(1)(1)1kkk，所以|PA PQ=3(1)(1)kk 令()f k 3(1)(1)kk，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第
20、10 页共 17 页 因为 2()(42)(1)f kkk，所以()f k在区间1(1,)2上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k 时，|PA PQ取得最大值2716 27【解析】（）由抛物线 C：22ypx过点(1,1)P，得12p 所以抛物线C的方程为2yx 抛物线C的焦点坐标为1(,0)4，准线方程为14x （）当直线MN的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN的斜率存在且不为 0 设1(0,)2为点Q，过Q的直线MN方程为12ykx（0k），设11(,)M x y，22(,)N xy，显然，1x，2x均不为 0 由212ykxyx，得22
21、4(44)10k xkx 考虑221(1)41 24kkk ，由题意0，所以12k 则1221kxxk，12214x xk 由题意可得A，B横坐标相等且同为1x，因为点 P 的坐标为(1,1)，所以直线 OP 的方程为yx，点 A 的坐标为11(,)x x 直线 ON 的方程为22yyxx，点 B 的坐标为2112(,)y xxx 若要证明A为BM的中点，只需证2ABMyyy，即证121122x yyxx，即证12211 22x yx yx x，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项
22、分类（理科数学）第 11 页共 17 页 将11221212ykxykx代入上式，即证21121211()()222kxxkxxx x，即证12121(22)()02kx xxx 将代入得2211(22)042kkkk，化简有2211022kkkk恒成立，所以2ABMyyy恒成立 故 A 为线段 BM 的中点 28【解析】由题设)0,21(F.设bylayl:,:21，则0ab，且 22111(,),(,),(,),(,),(,)222222ababAa Bb Pa Qb R.记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax.（）由于F在线段AB上，故01ab.记AR的斜率为1k，F
23、Q的斜率为2k，则 222111kbaabaababaabak.所以FQAR.（）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba.而yba2，所以)1(12xxy.一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 12 页共 17 页 当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所
24、求轨迹方程为12 xy.29【解析】（）由题设可得(2,)Ma a，(2 2,)Na，或(2 2,)Ma，(2,)Na a.12yx，故24xy 在x=2 2a处的导数值为a，C在(2 2,)a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya.故24xy 在2 2xa 处的导数值为a，C在(2 2,)a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya.故所求切线方程为0axya或0axya.（）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)Pb为符合题意的点，11(,)M x y，22(,)N x y，直线PM，PN的斜率分别为12,k k.将ykxa代入C的方程整理得2440 xkxa.121
25、24,4xxk x xa.121212ybybkkxx=1212122()()kx xab xxx x=()k aba.当ba 时，有12kk=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以(0,)Pa符合题意 30【解析】（）由题意知(,0)2pF，设(,0)(0)D tt，则FD的中点为2(,0)4pt 因为FAFD，由抛物线的定义可知322ppt，解得3tp或3t （舍去）由234pt，解得2p 所以抛物线C的方程为24yx（）（）由（）知(1,0)F，设0000(,)(0)A x yx y(,0)(0)DDD xx 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能
26、感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 13 页共 17 页 因为FAFD，则011Dxx，由0Dx 得02Dxx，故0(2,0)D x，故直线AB的斜率02AByk 因为直线1l和直线AB平行，设直线1l的方程为02yyxb，代入抛物线的方程得200880byyyy，由题意20064320byy，得02by 设(,)EEE xy，则20044,EEyxyy 当204y 时，0020044EAEEyyykxxy，可得直线AE的方程为000204()4yyyxxy，由2004yx，整理得0204(1)4yyxy，直
27、线AE恒过点(1,0)F 当204y 时，直线AE的方程为1x，过点(1,0)F，所以直线AE过定点(1,0)F（）由（）知直线AE过定点(1,0)F，所以000011(1)(1)2AEAFFExxxx。设直线AE的方程为1xmy，因为点00(,)A xy在直线AE上 故001xmy设11(,)B x y，直线AB的方程为000()2yyyxx 由于00y，可得0022xyxy，代入抛物线的方程得2008840yyxy 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 14
28、页共 17 页 所以0108yyy，可求得1008yyy，10044xxx 所以点B到直线AE的距离为 00002484()11xm yxydm=004(1)xx=0014()xx 则ABE的面积00001114()(2)162Sxxxx，当且仅当001xx即01x 时等号成立，所以ABE的面积的最小值为16 31【解析】（）在1C，2C方程中，令0y，可得 b=1,且得(1,0),(1,0)AB是上半椭圆1C 的左右顶点，设1C的半焦距为c，由32ca及2221acb，解得2a，所以2a，1b （）由（）知，上半椭圆1C的方程为221(0)4yxy，易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程
29、为(1)(0)yk xk 代入1C的方程中，整理得：2222(4)240kxk xk （*）设点P的坐标(,)PPxy，由韦达定理得2224PBkxxk 又(1,0)B，得2244Pkxk，从而求得284Pkyk 所以点P的坐标为22248(,)44kkkk 同理，由2(1)(0)1(0)yk xkyxy 得点Q的坐标为2(1,2)kkk 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 15 页共 17 页 22(,4)4kAPkk，(1,2)AQkk APAQ，0AP A
30、Q,即2224(2)04kkkk 0k，4(2)0kk，解得83k 经检验，83k 符合题意，故直线l的方程为8(1)3yx 32【解析】（）依题意023 222cd，解得1c（负根舍去）抛物线C的方程为24xy（）设点11(,)A x y,22(,)B xy，),(00yxP，由24xy,即214yx,得y12x 抛物线C在点A处的切线PA的方程为)(2111xxxyy，即2111212xyxxy 21141xy，112yxxy 点),(00yxP在切线1l上,10102yxxy.同理，20202yxxy.综合、得，点1122(,),(,)A x yB x y的坐标都满足方程 yxxy002
31、.经过1122(,),(,)A x yB x y两点的直线是唯一的，直线AB 的方程为yxxy002，即00220 x xyy（）由抛物线的定义可知121,1AFyBFy，所以121212111AFBFyyyyy y 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 16 页共 17 页 联立2004220 xyx xyy，消去x得22200020yyxyy，2212001202,yyxy y yy 0020 xy 222200000021=221AFBFyyxyyy 220
32、0019=22+5=2+22yyy 当012y 时，AFBF取得最小值为92 33【解析】（）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边2BDp 点A到准线l的距离2dFAFBp 14 24 222ABDSBDdp 圆F的方程为22(1)8xy（）由对称性设2000(,)(0)2xA xxp，则(0,)2pF 点,A B关于点F对称得：22220000(,)3222xxpBxppxppp 得：3(3,)2pAp，直线3322:30223ppppm yxxyp 22332233xxxpyyyxppp切点3(,)36p pP 直线333:()306336ppn yxxyp 坐标原点到,m n距离的比值为3
33、3:326pp 34【解析】（）设(,)M x y，由已知得(,3)B x，(0,1)A 所以MA=(,1)xy，MB=(0，3y)，AB=(x，-2).一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 17 页共 17 页 再由题意可知（MA+MB）AB=0，即（x，42y）(x，2)=0 所以曲线 C 的方程式为2124yx（）设00(,)P xy为曲线 C：2124yx上一点，因为12yx，所以l的斜率为012x，因此直线l的方程为0001()2yyx xx，即2000220 x xyyx 则O点到l的距离20020|2|4yxdx又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx 当20 x=0 时取等号，所以O点到l距离的最小值为 2
