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1、1996 年第 1 页 1996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）数学（试卷一）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设2lim()8xxxaxa，则a ln2 .(2)设一平面经过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，则此平面方程为2x+2y3z=0(3)微分方程 2 2xyyye的通解为)1sincos(21xcxceyx(4)函数)ln(2yxu)在 A(1，0，1)处沿点 A 指向点 B(3，-2，2)方

2、向的方向导数为12.(5)设 A 是 4 3 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2,而 B=301020201，则 r(AB)=2 .二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)已知2)()(yxydydxayx 为某函数的全微分，则a等于 (D)(A)1.(B)0.(C)1.(D)2.(2)设 xf有二阶连续导数,且(0)0f,0()lim1xfxx,则 (B)(A)0(f是 xf的极大值(B)0(f是 xf的极小值(C)(0,(0)f是曲线 yf x的拐点(D)0(f不是 xf的极值,(0,(0)f也不是曲线 y=xf的拐点.(

3、3)设0na(1,2,)n，且1nna收敛,常数(0,)2,则级数21(1)(tan)nnnnan (A)(A)绝对收敛(B)条件收敛（C）发散(D)敛散性与有关.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 2 页(4)设 xf有连续的导数，(0)0f，)0(f0，F x=,)()(202dttftxx且当0 x时，)(xF与kx同阶无穷小，则k等于 (C)(A)1.（B）2.(C)3.(D)4.(5)四阶行列式4433221100000000ababbaba 的值等于(D)(A)4321aaaa-4321bbbb(B)4321aaaa+4321bbbb(C)（212

4、1bbaa）（434bba）(D)（3232bbaa）（414bba）三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分)(1)求心形线)cos1(ar的全长,其中0a.解：解：()sinra，2 分 22()dsrrd22(1 cos)(sin)2|cos|2adad 3 分利用对称性，所求心形线的全长0022 cos8 sin822sadaa.5 分(2)设101x,nnxx61(n=1,2,)，试证数列 nx极限存在，并求此极限.证：证：由110 x 及216164xx，知12xx.假设对某正整数k有1kkxx，则有11266kkkkxxxx，故由归

5、纳法知，对一切正整数n，都有1nnxx.即nx为单调减少数列.3 分又由16nnxx，显见0(1,2,)nxn，即nx有下界.根据极限存在准则，知limnnx存在.4 分令limnnxa，对16nnxx两边取极限，得6aa.从而260aa.因此32aa 或.因为0(1,2,)nxn,所以0a.舍去2a ，故极限值3a.5 分四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分)(1)计算曲面积分Szdxdydydzzx）（2,其中 S 为有向曲面22yxz，(10 z)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.解一：解一：以1S表示法向量指向z轴负向的有向平面2

6、21(1)zxy，D为1S在XOY平面上的投影区域，则1(2)()SDxz dxdyzdxdydxdy.2 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 3 页记表示由S和1S所围的空间区域，则由高斯公式知1(2)(2 1)S Sxz dxdyzdxdydv2124211130000336()6242rrrdrdrdzrrdr .5 分因此13(2)()22Sxz dxdyzdxdy .6 分解二：以,yzxyDD表示 S 在,YOZXOY平面平面上的投影区域，则(2)Sxz dxdyzdxdy2222(2)()(2)()yzyzxyDDDzyzdydzzyz

7、 dydzxy dxdy2224()yzxyDDzy dydzxy dxdy 2 分其中231112222104(1)3yzyDzy dydzdyzy dzydy42044 3 1sincos33 4 2 24yttdt；2122200()2xyDxydxdydrrdr，5 分所以1(2)4.222Sxz dxdyzdxdy .6 分(2)设变换ayxvyxu2 可把方程0622222yzyxzxx简化为02vuz，求常数a.解：解：,2zzzzzzaxuvyuv.1 分 22222222zzzzxuu vv,2222222(-2)zzzzaax yuu vv ,2222222244zzz

8、zaayuu vv.4 分将上述结果代入原方程，经整理后得2222(105)(6)0zzaaau vv.依题意知a应满足260,10 50aaa 且，解之得3a.6 分五、五、(本题满分本题满分 7 分分)求级数222)1(1nnn的和.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 4 页解：解：设22()(|1)1nnxS xxn，1 分则2111()()211nnS xxnn，其中122111111nnnnnnxxxxxnnn.23111(0)1nnnnxxxnxn.3 分设11()nng xxn，则11111()(|1)1nnnng xxxxnx.于是0

9、0()()(0)()ln(1)(|1)1xxdtg xg xgg t dtxxt.从而21()ln(1)ln(1)222xxS xxxxx221ln(1)(|10)42xxxxxx且.5 分因此221153ln2(1)2284nnsn.7 分六、六、(本题满分本题满分 7 分分)设对任意0 x,曲线)(xfy 上点)(,(xfx处的切线在y轴上的截距等于xdttfx0)(1,求)(xf的一般表达式.解：解：曲线()yf x上点(,()x f x处的切线方程为()()()Yf xfx Xx.1 分令0X，得截距()()Yf xxfx.3 分由题意，知01()()()xf t dtf xx

10、fxx.即0()()()xf t dtx f xxfx.上式对x求导，化简得()()0 xfxf x，5 分即()0dxfxdx，积分得1()x fxC.因此12()lnf xCxC（其中12,C C为任意常数）.7 分七、七、(本题满分本题满分 8 分分)设)(xf在1,0上具有二阶导数，且满足条件axf)(，bxf)(，其中ba,都是非负常数，c是0,1内的任意一点.证明22)(bacf.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 5 页证：证：2()()()()()(),(*)2!fxcf xf cf c xc其中(),01cxc.2 分在()式中令0

11、x，则有211()(0)(0)()()(0),01;2!fcff cf ccc在()式中令1x，则有222()(1)(1)()()(1),01;2!fcff cf ccc上述两式相减得22211(1)(0)()()(1)()2!fff cfcfc.5 分于是22211|()|(1)(0)()(1)()2!f cfffcfc222111(1)|(0)|()|(1)|()|2!2!fffcfc22(1)2baacc.7 分又因22(0,1),(1)1ccc，故|()|22bf ca.8 分八、八、(本题满分本题满分 6 分分)设TAI,其中I是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置.证明

12、：(1)AA 2的充要条件是1T；(2)当1T时,A是不可逆矩阵.证：证：(1)2()()2TTTTTAIII (2)(2)TTTTII .AA 2即(2)TTTII ，亦即()TTI O，因为是非零列向量，0T，故AA 2的充要条件是10T，即1T.3 分(2)用反证法：当1T时AA 2.若 A 可逆，则有121A AA A，从而AI.这与TAII 矛盾，故 A 是不可逆矩阵.6 分九、九、(本题满分本题满分 8 分分)已知二次型32312132132166255),(xxxxxxcxxxxxxf的秩为 2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程12 3(,)4f x x

13、 x 表示何种二次曲面.解：解：(1)此二次型对应矩阵为A 51315333c，1 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 6 页因()2r A，故513|153033Ac，解得3c.容易验证此时A的秩的确是 2.3 分这时，|(4)(9)IA，故所求特征值为0,4,9.6 分(2)由上述特征值可知，123(,)1f x xx表示椭圆柱面.8 分十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分分)(1)设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从 A 和 B 的产品分别占 60%和40%的

14、一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 生产的概率是37.(2)设,是两个相互独立且均服从正态分布21(0,()2N的随机变量，则随机变量|的数学期望(|)E2.十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分)设,是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知的分布律为1(),1,2,33Pii.又设max,min,XY .(1)写出二维随机变量(,)X Y发分布律；(2)求随机变量 X 的数学期望.解：解：(1)Y X 1 2 3 1 1/9 0 0 2 2/9 1/9 0 3 2/9 2/9 1/9 4 分(2)13522()1239999E X 6 分注：注：写对分布律中的 1 个数得

15、 1 分，24 个得 2 分，57 个得 3 分，89 个得 4 分.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 7 页数学（试卷二）数学（试卷二）一、填空题一、填空题【同数学一第一题】二、选择题二、选择题【同数学一第二题】三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分)(1)计算积分dxdyyxD22，其中 D=xyxxyyx2,0,22.解：解：原式2cos400dr rdr3408cos3d 3 分 42340088110(1 sin)sinsinsin23339d.5 分(2)【同数学一第三、（1）题】(3)

16、【同数学一第三、（2）题】四四七、七、【同数学一第四七题】八、八、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分)(1)求齐次线性方程组000543321521xxxxxxxxx的基础解系.解：解：1100111001111000010100111000103 分解得基础解系为12(1,0,1,0,1),(1,1,0,0,0).6 分(2)【同数学一第八题】九、九、(本题满分本题满分 8 分分)【同数学一第九题】微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 8 页数学（试卷三）数学（试卷三）一、填空题：一、填空题：(本

17、题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设322)(xexy,则|0 xy1/3.(2)1122)1(dxxx 2 .(3)052 yyy的通解为)2sin2cos(21xcxceyx.(4)11ln(sin)31ln(sinlimxxxx 2 .(5)由曲线1yxx,2x 及2y 所围图形的面积S 1ln22.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设当0 x时，)1(2bxaxex是比2x高阶的无穷小，则（A）(A)121ba，(B)11ba，(C)121ba，(D)11ba，

18、.(2)设函数()f x在区间),(内有定义，若当),(x时，恒有2()f xx，则0 x 必是()f x的（C）(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点，且(0)0f.(D)可导的点，且(0)0f (3)设()f x处处可导，则（D）(A)当lim()xf x时，必有lim()xfx (B)当lim()xfx 时，必有lim()xf x(C)当lim()xf x时，必有lim()xfx (D)当lim()xfx 时，必有lim()xf x(4)在区间),(内，方程0cos2141xxx（C）(A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有二个实根 (D)有无穷多个实根(5)设()

19、()f xg x、在区间,a b上连续，且()()g xf xm（m为常数），则曲线()yg x，()yf x，xa及xb所围成图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为（B）(A)badxxgxfxgxfm.)()()()(2微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 9 页(B)badxxgxfxgxfm.)()()()(2(C)badxxgxfxgxfm.)()()()(D)badxxgxfxgxfm.)()()()(三、三、(本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分)(1)计算2ln021dxex解一：解一：原式ln2ln2ln

20、2222000111xxxxxxe dxeedxeee 3 分 ln22033ln(1)ln(23)22xxee.5 分解二：解二：令sinxet，则cossintdxdtt，原式2222666cos1sinsinsintdtdttdttt3 分 2633ln(csccot)ln(23)22tt.5 分(2)求xdxsin1解一：解一：原式21 sincosxdxx2 分 1tancosxCx.5 分解二：解二：原式222sec2(cossin)(1tan)222xdxdxxxx3 分 2(1tan)222(1tan)1tan22xdCxx.5 分(3)设2022()()txf u duy

21、f t,其中()f u具有二阶导数，且()0f u，求22d ydx.解：解：222(),4()(),dxdyf ttf tf tdtdt微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 10 页所以22224()()4()()dydytf tf tdttf tdxdxf tdt.2 分 22222214()2()()d yddyf tt ftdxdxdtdxf tdt.5 分(4)求函数()f x xx11在0 x 点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.解：解：2()11f xx，()1(1)2!()(1,2,1)(1)kkkkfxknx.3 分所以12122()1

22、22(1)2(1)(1)nnnnnxf xxxx (在 0 与x之间).5 分(5)求微分方程2 xyy的通解.解一：解一：对应的齐次方程的特征方程为20，解之得0,1，故齐次方程的通解为12xyCC e.2 分设非齐次方程的特解为2()x axbx C，代入原方程得1,1,23abc.因此，原方程的通解为3212123xyxxxCC e.5 分解二：解二：令py，代入原方程得2ppx，2 分故220022xxxxxxpex e dxCex exeeC.再积分得到20(22)xyxxc edx 3212123xxxxCC e.5 分解三：解三：原方程为2()yyx，两边积分得3013y

23、yxC.3 分 30213xxyexCe dxC320213663xxxxxxex ex exeeC eC3212123xxxxCC e.5 分(6)设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为22ab、，用过此柱体底面的短轴且与底面成解（20）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积 V.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 11 页解一：解一：底面椭圆的方程为22221xyab，以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为221yab，另一直角边长为221tanyab，故截面面积222()1tan2ayS yb，3 分楔

24、形体的体积为22220221tantan23baya bVdyb.5 分解二：解二：底面椭圆的方程为22221xyab，以垂直于x轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其一边长为22221xyba，另一边长为tanx，故截面面积22()21tanxS xbxa，3 分楔形体的体积为32222222002221tantan1tan33abxaxa bVbxdxbaa.5 分四、四、(本题满分本题满分 8 分分)计算不定积分.)1(22dxxxarctgx解一：解一：原式22arctanarctan1xxdxdxxx2 分 22arctan1(arctan)(1)2xdxxxxx 4 分

25、2222arctan1111()(arctan)212xd xxxxx 6 分 222arctan11(arctan)ln221xxxCxx.8 分解二：解二：令tanxt，则原式2(csc1)ttdt=2 分 2cos1cotsin2tttdttt 4 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 12 页 21cotln|sin|2ttttC6 分 22arctan|1ln(arctan)21xxxCxx.8 分五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设函数.2,1612,21,1,21)(32xxxxxxxf(1)写出()f x的反函数()g x的表达式；

26、(2)问()g x是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.解：解：(1)由题设，()f x的反函数为3112()1816812xxg xxxxx .4 分(2)()g x在(,)内处处连续，没有间断点.5 分()g x的不可导点是01xx 及.8 分（注：多写一个不可导点8x 扣 1 分）六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数()yy x由方程1222223xxyyy所确定.试求()yy x的驻点，并判别它们是否为极值点.解：解：对原方程两边求导可得2320()y yyyxyyx2 分令0y，得yx.将此代入原方程有32210 xx.从而解得唯一的驻点1x.5 分()式两边求导，得2

27、2(32)2(31)210yyx yyyy.因此(1,1)1|02y，故驻点1x 是()yy x的极小值点.8 分七、七、(本题满分本题满分 8 分分)设()f x在区间,a b上具有二阶导数，且()()0f af b，()()0.fa fb 证明存在(,)a b和),(ba，使()0f及0)(f.证一：证一：先用反证法证明存在(,)a b，使()0f.若不存在(,)a b，使()0f，微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 13 页则在区间(,)a b内恒有()0f x 或()0f x.不妨设()0f x（对()0f x，类似可证），则()()()()lim

28、lim0 xbxbf xf bf xf bxbxb，3 分()()()()limlim0 xaxaf xf af xf axaxa.从而()()0fa f b，这与已知条件矛盾.这即证得存在(,)a b,使得()0f.5 分再由()()()f aff b及罗尔定理，知存在12(,)(,)ab和，使得12()()0ff.又在区间12,上对()fx应用罗尔定理知，存在12(,)(,)a b，使()0f.8 分证二：证二：不妨设()0,()0faf b（对()0,()0faf b类似可证），即()lim0 xaf xxb，()lim0 xbf xxb.故存在11(,)xa a和22(,)xbb，

29、使1()0f x 及2()0f x，其中12,为充分小的正数.显然12xx，在区间12,x x上应用介值定理知，存在一点12(,)(,)x xa b，使得()0f.5 分以下同证一.八、八、(本题满分本题满分 8 分分)设()f x为连续函数.(1)求初值问题0()0|xyayf xy的解()yy x，其中a是正常数；(2)若()f xk(k为常数)，证明：当0 x时，有()(1).axky xea证一：证一：(1)原方程的通解为()()()axaxaxy xef x e dxCeF xC，2 分其中()F x是()axf x e的任一原函数.由(0)0y得(0)CF，故 0()()(0)

30、()xaxaxaty xeF xFef t e dt.4 分(2)0()()xaxaty xef t e dt6 分 0 xaxatkee dt(1)(1),0axaxaxkkeeexaa.8 分证二：证二：在原方程的两端同乘以axe，得()axaxaxyeayef x e.从而()()axaxyef x e，2 分所以0()xaxatyef t e dt或0()xaxatyef t e dt.4 分（2）同证一微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 14 页数学（试卷四）数学（试卷四）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小

31、题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设方程yyx 确定y是x的函数，则dy(1 ln)dxxy.(2)设cxdxxxfarcsin)(，则)(xfdx2 31(1)3xC.(3)设（00,yx）是抛物线cbxaxy2上的一点，若在该点的切线过原点，则系数,a b c应满足的关系是200(),c aaxc b或任意.(4)设123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa，123nxxXxx，1111B ，其中(;,1,2,)ijaa ij i jn，则线性方程组BXAT的解是(1,0,0)TX(5)设由来自正态总体 X)9.0,(2N容量为 9 的简单

32、随机样本，得样本均值5X，则未知参数的置信度为 0.95 的置信区间是 (4.412 ,5.588)二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)累次积分drrrrfd20cos0)sin,cos(可以写成(D)(A)dxyxfdyyy1002),(.(B)dxyxfdyy10102),(.(C)dyyxfdx1010),(.(D)dyyxfdxxx1002),(.(2)下述各选项正确的是(A)(A)若21nnu和21nnv都收敛，则21()nnnuv收敛(B)若1n nnu v收敛，则21nnu和21nnv都收敛微信公众号【考

33、研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 15 页(C)若级数1nnu发散，则1nun(D)若级数1nnu收敛，且nnuv(1,2,)n，则级数1nnv也收敛(3)设 n 阶矩阵 A 非奇异),2(nA是矩阵 A 的伴随矩阵，则(C)(A)(A)=AAn 1(B)(A)=AAn 1(C)(A)=AAn 2(D)(A)=AAn 2(4)设有任意两个 n 维向量组12,m 和12,m，若存在两组不全为零的12,m 和12,mk kk,使111111()()()()0mmmmmmkkkk,则 (D)(A)12,m 和 12,m 都线性相关(B)12,m 和 12,m 都线性无关(C)1

34、1221122,mmmm 线性无关(D)11221122,mmmm 线性相关(5)已知 0P(B)0，则下列选项必然成立的是 (B)(A)()()P AP A B(B)()()P AP A B(C)()()P AP A B (D)()()P AP A B三、三、(本题满分本题满分 6 分分)【同数学四第三题】四、四、(本题满分本题满分 7 分分)设20(,)xytf x yedt，求222222yfxyyxfxfyx微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 24 页解解：22x yfyex，2 分 22x yfxey，222322x yfxy ex，4 分 22

35、2322x yfx yey，22222(1 2)x yfx y ex y.6 分于是222222222x yxffyfeyxx yxy .7 分五、五、(本题满分本题满分 6 分分)【同数学四第五题】六、六、(本题满分本题满分 7 分分)【同数学四第七题分值不同】七、七、(本题满分本题满分 9 分分)已知一抛物线通过 x 轴上的两点 A(1,0)，B(3,0).(1)求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 x 轴与该抛物线所围图形的面积；(2)计算上述两个平面图形绕 x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.解：解：(1)设过,A B两点的抛物线方程为(1)(3)ya xx，则抛

36、物线与两坐标轴所围图形的面积为110|(1)(3)|Sa xxdx1 分 1204|(43)|3axxdxa.2 分抛物线与x轴所围图形的面积为321|(1)(3)|Sa xxdx3 分 3214|(43)|3axxdxa.4 分所以12SS.(2)抛物线与两坐标轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为12210(1)(3)Vaxxdx5 分 124320(1)4(1)4(1)axxxdx5324120(1)4(1)38(1).5315xxaxa6 分抛物线与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为 32221(1)(3)Vaxxdx353241(1)4(1)(1)53xxax7 分微信

37、公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年第 25 页 216.15a8 分所以12198VV.9 分八、八、(本题满分本题满分 5 分分)设)(xf在,a b上连续，在(,)a b内可导，且1()()baf x dxf bba求证：在(,)a b内至少存在一点,使)(f =0.证：证：因为()f x在,a b上连续，由积分中值定理可知，在(,)a b内存在一点c，使得()()()baf x dxf c ba.2 分即()()()baf x dxf cf bba.3 分因为()f x在,c b上连续，在(,)c b内可导，故由罗尔定理，在(,)c b内至少存在一点出

38、，使得()0f，其中(,)(,)c ba b.5 分九、九、(本题满分本题满分 9 分分)已知线性方程组 t=x-6x-x-x-1=7x+px+x2+3x-1=4x+6x-x+2x0=x3+2x-x x4321432143214321，讨论参数 p,t 取何值时，方程组有解?无解?当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解：解：方程组系数矩阵 A 的增广矩阵为11230104112164101221327100800116100002Apptt3 分(1)当2t 时，()()AA秩秩，方程组无解.4 分(2)当2t 时，()()AA秩秩，方程组有解.5 分(a)若8p ,得通解12121

40、A.即113A，知13是1A的特征值.5 分由于*114|(4)()33AA A，所以*A有特征值43.7 分十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分)【同数学四第十一题】十二、十二、(本题满分本题满分 6 分分)某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 0 的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间 T 的概率分布.解：解：以(1,2,3)iX i 表示第i个电气元件无故障工作的时间，则123,XXX相互独立且同分布，其分布函数为1,0()00 xexF xx 若，若，1 分设()G t是 T 的分布函数.当0t 时，()0G t.当0t 时，有()1G tP TtP Tt 3 分 1231,P Xt Xt Xt 4 分 1231P XtP XtP Xt 5 分 31 1()F t 6 分 31te.7 分总之，31,0()00tetG tt 若，若，于是 T 服从参数为3的指数分布.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台

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