1、微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台2008 年考研数学一试题分析、详解和评注年考研数学一试题分析、详解和评注一一、选择题选择题：(本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设函数20()ln(2)xf xt dt，则()fx的零点个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3【答案答案】应选(B).【详解详解】22()ln(2)22 ln(2)fxxxxx显然()fx在区间(,)上连续，且
2、(1)(1)(2ln3)(2ln3)0ff，由零点定理，知()fx至少有一个零点又2224()2ln(2)02xfxxx，恒大于零，所以()fx在(,)上是单调递增的又因为(0)0f，根据其单调性可知，()fx至多有一个零点故()fx有且只有一个零点故应选(B).（2）函数(,)arctanxf x yy在点(0,1)处的梯度等于【】(A)i(B)i.(C)j.(D)j.【答案答案】应选(A).【详解详解】因为222211fyyxxxyy222221xfxyxyxyy所以(0,1)1fx，(0,1)0fy，于是(0,1)(,)igradf x y.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123
3、cos2sin2xyC eCxCx（123,C C C为任意的常数）为通解的是【】(A)440yyyy.(B)440yyyy.(C)440yyyy.(D)440yyyy.【答案答案】应选(D).微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台【详解详解】由123cos2sin2xyC eCxCx，可知其特征根为，可知其特征根为11，2,32i ，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)ii32443244所以所求微分方程为440yyyy应选(D).（4）设函数()f x在(,)内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是【】(A)若nx收敛，则()nf x收敛(B)若nx单调，则()
4、nf x收敛(C)若()nf x收敛，则nx收敛.(D)若()nf x单调，则nx收敛.【答案答案】应选(B).【详解】若nx单调，则由函数()f x在(,)内单调有界知，若()nf x单调有界，因此若()nf x收敛故应选(B).（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵若30A，则【】则下列结论正确的是：(A)EA不可逆，则EA不可逆.(B)EA不可逆，则EA可逆.(C)EA可逆，则EA可逆.(D)EA可逆，则EA不可逆.【答案答案】应选(C).【详解详解】故应选(C).23()()EA EAAEAE，23()()EA EAAEAE故EA，EA均可逆故应选(C).（6）设A为 3 阶实对称
5、矩阵，如果二次曲面方程1xxyz A yz在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台【答案答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221xyzac 故A的正特征值个数为 1故应选(B).（7）设随机变量,X Y独立同分布且X的分布函数为()F x，则max,ZX Y 的分布函数为【】(A)2()Fx.(B)()()F x F y.(C)211()F x .(D)1()1()F xF y .【答案】应选(A)【详解】()max,F zP ZzPX Yz
6、2()()()P Xz P YzF z F zFz故应选(A)（8）设随机变量XN(0,1),(1,4)YN,且相关系数1XY，则【】(A)211P YX (B)211P YX(C)211P YX (D)211P YX【答案】应选(D)【详解】用排除法设YaXb 由1XY，知X，Y正相关，得0a 排除（A）和（C）由(0,1)XN，(1,4)YN，得0,1,()EXEYE aXbaEXb10ab ，1b 从而排除(B).故应选(D)二、填空题二、填空题：(914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.)（9）微分方程）微分方程0 xy
7、y满足条件(1)1y的解是y.【答案答案】应填1yx【详解详解】由dyydxx，得dydxyx 两边积分，得ln|ln|yxC 微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台代入条件(1)1y，得0C 所以1yx（10）曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)的切线方程为.【答案答案】应填1yx【详解详解】设(,)sin()ln()F x yxyyxx，则1(,)cos()1xF x yyxyyx，1(,)cos()xF x yxxyyx，(0,1)1xF，(0,1)1yF于是斜率(0,1)1(0,1)xyFkF 故所求得切线方程为1yx（11）已知幂级数0(2)nnnax在0 x
8、处收敛，在4x 处发散，则幂级数0(2)nnnax的收敛域为.【答案答案】(1,5【详解】由题意，知0(2)nnnax的收敛域为(4,0，则0nnna x的收敛域为(2,2所以0(2)nnnax的收敛域为(1,5(12)设曲面是224zxy的上侧，则2xydydzxdzdxx dxdy .【答案答案】4【详解详解】作辅助面1:0z取下侧则由高斯公式，有2xydydzxdzdxx dxdy 122xydydzxdzdxx dxdyxydydzxdzdxx dxdy 2224xyydVx dxdy 微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台2222410()2xyxydxdy drrdr2
9、2200116424(13)设A为 2 阶矩阵，12,为线性无关的 2 维列向量，10A，2122A则A的非零特征值为_.【答案答案】应填 1【详解详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01AAA 记12(,)P ，因12,线性无关，故12(,)P 是可逆矩阵因此0201APP，从而10201P AP 记0201B，则A与B相似，从而有相同的特征值因为2|(1)01EB ，0，1 故A的非零特征值为 1(14)设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则 2P XEX _【答案答案】应填12e.【详解详解】因为X服从参数为 1 的泊松分布，所以1EXDX 从而由2
10、2()DXEXEX得22EX 故 22P XEXP X 12e三、解答题三、解答题：(1523 小题，共 94 分.)(15)(本题满分本题满分 10 分分)求极限 40sinsin(sin)sinlimxxxxx【详解 1】40sinsin(sin)sinlimxxxxx 30sinsin(sin)limxxxx 20coscos(sin)coslim3xxxxx 201cos(sin)lim3xxx 0sin(sin)coslim6xxxx(或2201(sin)2lim3xxx，或22201sin(sin)2lim3xxoxx )微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台16【详解
11、 2】40sinsin(sin)sinlimxxxxx 40sinsin(sin)sinlimsinxxxxx 30sinlimtttt 201coslim3ttt 2202lim3ttt（或0sinlim6ttt）16（16）(本题满分本题满分 9 分分)计算曲线积分2sin22(1)Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从(0,0)到(,0)的一段【详解 1】按曲线积分的计算公式直接计算2sin22(1)Lxdxxydy20sin22(1)sin cos xdxxxx dx20sin2xxdx200cos2cos22xxxxdx 20cos22xxdx 200sin2sin2222xx
12、xdx 22【详解 2】添加辅助线，按照 Green 公式进行计算设1L为x轴上从点(,0)到(0,0)的直线段D是1L与 L 围成的区域12sin22(1)L Lxdxxydy2(2(1)sin2Dxyxdxdyxy 4Dxydxdy sin004xxydydx 202 sinxxdx 0(1 cos2)xx dx 微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台200cos22xxxdx 200sin2sin2222xxxdx 22 因为102sin22(1)sin20Lxdxxydyxdx故2sin22(1)Lxdxxydy22【详解 3】令2sin22(1)LIxdxxydy212s
13、in222Lxdxydyx ydyII对于1I，记sin2,2PxQy 因为0PPyx，故1I与积分路径无关10sin20Ixdx对于2I，22220022sin cossin2LIx ydyxxxdxxxdx200cos2cos22xxxxdx 20cos22xxdx 200sin2sin2222xxxdx 22 故2sin22(1)Lxdxxydy22 17（本题满分（本题满分 11 分）分）已知曲线22220,:35,xyzCxyz 求C上距离xoy面最远的点和最近的点【详解详解 1】点(,)x y z到xoy面的距离为|z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的微信公众号考研路上的幸
14、福哥，考研干货最多的公众平台坐标等价于求函数2Hz 在条件22220,xyz35xyz下的最大值点和最小值点构造拉格朗日函数2222(,)(2)(35)L x y zzxyzxyz，由222220,20,220,43.,350 xyzLxLyLzzxyzxyz 得xy，从而22220,235.xzxz解得5,5,5.xyz 或1.1,1,zxy根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)和(1,1,1)【详解详解 2】点(,)x y z到xoy面的距离为|z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22Hxy在条件2225203xyxy
15、下的最大值点和最小值点构造拉格朗日函数222222(,)(5)9L x y zxyxyxy，由222520.422(5)0,9422(5)0,93xyLxxxyLyxxyyyyx 得xy，从而2222(25)09xx解得微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台5,5,5.xyz 或1.1,1,zxy根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)和(1,1,1)【详解详解 3】由22220 xyz得2 cos,2 sin.xzyz代入35xyz，得532(cossin)z 所以只要求()zz 的最值令 25 2(sincos)()032(coss
16、in)z，得cossin，解得5,44 从而5,5,5.xyz 或1.1,1,zxy根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)和(1,1,1)（18）(本题满分本题满分 10 分分)设()f x是连续函数，（I I）利用定义证明函数0()()xF xf t dt 可导，且()()F xf x ；（IIII）当()f x是以 2 为周期的周期函数时，证明函数200()2()()xG xf t dtxf t dt也是以 2 为周期的周期函数（I）【证明证明】0000()()()()()limlimxxxxxf t dtf t dtF xxF xF xxx
17、 微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台0()limxxxxf t dtx 00()limlim()()xxfxff xx 【注】不能利用 LHospital 法则得到00()()limlimxxxxxf t dtf xxxx (II)【证法 1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()xG xf t dtxf t dtf xf t dt ，22000()2()()2()()xG xf t dtxf t dtf xf t dt 当()f x是以 2 为周期的周期函数时，(2)()f xf x从而(2)()G xG x因而(2)()G xG xC取0 x 得，(02)
18、(0)0CGG，故(2)()0G xG x即200()2()()xG xf t dtxf t dt是以 2 为周期的周期函数【证法 2】根据题设，有2200(2)2()(2)()xG xf t dtxf t dt，222202002()()()2()xf t dtxf t dtxf t dtf t dt 对于22()xf t dt ，作换元2tu ，并注意到(2)()f uf u，则有22000()(2)()()xxxxf t dtf uduf u duf t dt，因而2220()()0 xxf t dtxf t dt 于是200(2)2()()()xG xf t dtxf t dtG x即
19、200()2()()xG xf t dtxf t dt是以 2 为周期的周期函数【证法 3】根据题设，有2200(2)2()(2)()xG xf t dtxf t dt，2220002()2()()2()xxxf t dtf t dtxf t dtf t dt 微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台2220002()()2()2()xxxf t dtxf t dtf t dtf t dt 220()2()()xxG xf t dtf t dt 当()f x是以 2 为周期的周期函数时，必有220()()xxf t dtf t dt 事实上22()(2)()0 xdf t dtf x
20、f xdx ，所以22()xf t dtC 取0 x 得，0 2222()()Cf t dtf t dt 所以200(2)2()()()xG xf t dtxf t dtG x即200()2()()xG xf t dtxf t dt是以 2 为周期的周期函数(19)(本题满分本题满分 11 分分)将函数2()1(0)f xxx展开成余弦级数，并求级数11(1)nnn 的和【详解详解】将()f x作偶周期延拓，则有0,1,2,nbn0a 202(1)dxx 22 1302()cosnaf xnxdx 20002coscosnxdxxnxdx20020cosxnxdx 2002sin2 sinxn
21、xxnxdxnn 122 2(1)nn 124(1)nn 微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台所以2101221()1cos(1)143cos2nnnnaf xxnanxnx ，0 x 令 x=0，有nnfn2121(1)(0)143 又(0)1f，所以nnn1221(1)12 （20）(本题满分本题满分 10 分分)设,为 3 维列向量，矩阵TTA，其中,TT分别是,得转置证明：（I）秩()2r A ；（II）若,线性相关，则秩()2r A 【详解】（I）【证法 1】()()()()()()2TTTTr Arrrrr【证法 2】因为TTA，A为33 矩阵，所以()3r A 因为
22、,为 3 维列向量，所以存在向量0，使得0,0TT 于是0TTA 所以0Ax 有非零解，从而()2r A 【证法 3】因为TTA，所以A为33 矩阵又因为 00TTTTA，所以|0|00TTaA故()2r A （II）【证 法】由,线 性 相 关，不 妨 设k 于 是 2()()(1)()12TTTr Arrkr(21)(本题满分本题满分 12 分分)设n元线性方程组Axb，其中微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台2222212121212aaaaaAaaaa，12nxxxx ，b100 （I）证明行列式|(1)nAna；（II）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求1x（III）
23、当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解【详解】（I）【证法 1】数学归纳法记2222212121|212nnaaaaaDAaaaa以下用数学归纳法法证明(1)nnDna当1n 时，12Da，结论成立当2n 时，2222132aDaaa，结论成立假设结论对小于n的情况成立将nD按第一行展开得nnnaaaaDaDaaaa2212211021212212 2122nnaDa D1222(1)nnanaana(1)nna微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台故(1)nAna【注】本 题（1）也 可 用 递 推 法 由2122nnnDaDa D得，2211221()()nnnnnnnD
24、aDa DaDaDaDa于是(1)nnDna（I）【证法 2】消元法记2222212121|212naaaaaAaaaa 221222130121212212naaaararaaaa 3222221301240123321212naaararaaaaaa 微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台nnnaaanrarnnannan12130124011301110 (1)nna（II）【详解】当0a 时，方程组系数行列式0nD ，故方程组有惟一解由克莱姆法则，将nD得第一列换成b，得行列式为22211222211121021212121212122nnnnaaaaaaaaDnaaaaa
25、aaaa 所以，11(1)nnDaxDna （III）【详解】当0a 时，方程组为12101101001000nnxxxx 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n，所以方程组有无穷多组解，其通解为 010100TTxk，其中k为任意常数(22)(本题满分本题满分 11 分分)设随机变量X与Y相互独立，X的概率密度为1()(1,0,1)3P Xii ，Y的概率微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台密度为1,01,()0,Yyfy其它.记ZXY（I）求102P ZX；（II）求Z的概率密度)(zfZ.（I）【详解详解】解法解法 11100221110.222P ZXP XYXP
26、YXP Y解法解法 2 1,0120201,0112.022P XYXP ZXP XP YXP YP X （II）解法解法 1ZzP ZzP XYzPF()=PX+Yz,X=-1+PX+Yz,X=0+PX+Yz,X=1 =PYz+1,X=-1+PYz,X=0+PYz-1,X=1 =PYz+1PX=-1+PYzPX=0+PYz-1PX=11 =Yz+1PY3YYYzzYYYFzFzFzfzF zzfzfzfzzPYz-11 =(1)()(1)3 ()()1,12;1(1)()(1)330,.其它 解法解法 2微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台11()()()1,12;1(1)()
27、(1)330,.ZYiYYYfzP Xi fzizfzfzfz 其它（23）(本题满分本题满分 11 分分)设nXXX21,是 来 自 总 体2(,)N 的 简 单 随 机 样 本，记 niiXnX11，2211()1niiSXXn ，221TXSn（1）证明T是2的无偏估计量；（2）当0,1时，求.DT.【详解 1】（1）首先T是统计量其次221()()E TE XESn222222111()()D XEXESnnn2 对一切,成立因此T是2 的无偏估计量【详解 2】（1）首先T是统计量其次 22111111nnijkij knTXXX Xnn nn n，()()1njkj knETE XEXn 2，对一切,成立因此T是2 的无偏估计量（2）解法 2根据题意，有(0,1)nXN，22(1)nX，22(1)(1)nSn 于是2()2D nX，2(1)2(1)DnSn所以221()D TD XSn微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台 22222112()(1)11D nXDnSnn nnn
