1995【微信公众号“考研路上的幸福哥”】.pdf

资源描述

1、1995 年第 1 页 1995 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）数学（试卷一）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)0limxxxsin2)31(=6e.(2)dxddtxtx022cos=20224cos2cosxt dtxx.(3)设 2)(cba,则)()()(accbba=4.(4)幂级数121)3(2nnnnxn的收敛半径R 3.(5)设三阶方阵AB、满足关系式16A BAABA，且A 1/3000 1/4000

2、 1/7，则B3 0 00 2 00 0 1.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)有直线L：031020123zyxzyx及平面：0224zyx，则直线L(C)(A)平行于.(B)在上(C)垂直于.(D)与斜交(2)设在 10，上0)(xf，则)0(f、)1(f、)0()1(ff和)1()0(ff的大小顺序是(B)(A)0()1()0()1(ffff.(B)0()0()1()1(ffff.(C)0()1()0()1(ffff.(D)0()1()0()1(ffff.(3)设()f x可导，()()(1sin)F xf xx

3、，则(0)0f是()F x在0 x 处可导的(A)(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设)11ln()1(nunn，则级数(C)(A)1nnu与12nnu都收敛.(B)1nnu与12nnu都发散(C)1nnu收敛而12nnu发散.(D)1nnu发散而12nnu收敛.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 2 页(5)设 A=333231232221131211aaaaaaaaa，B=133312321131131211232221aaaaaaaaaaaa，P1=100001010，P2=1010

4、10001，则必有 (C)(A)A P1P2=B(B)A P2P1=B(C)P1P2A =B(D)P2P1A =B.三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分)(1)设(,)uf x y z,2(,)0,sinyx e zyx,其中,f都具有一阶连续偏导数，且z0，求dxdu.解：解：,dufz dyf dzdxxy dxz dx2 分 1231cos,(2cos)ydydzxxexdxdx,4 分故sin1231cos(2cos)xdufzfxxexdxxyz.5 分(2)设()f x在区间1,0上连续，并设10()f x dxA，求110()(

5、)xdxf x f y dy.解：解：更换积分次序，可得 111100000()()()()()()yxxdxf x f y dydyf x f y dxdxf x f y dy,2 分于是1111100002()()()()()()xxxdxf x f y dydxf x f y dydxf x f y dy11200()()dxf x f y dyA4 分所以11201()()2xdxf x f y dyA.5 分四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分)(1)计算曲面积分zdS，其中为锥面22zxy在柱体222xyx内的部分.解：解：在

6、xoy平面上的投影区域为22D2xyx：，221()()2zzdSddxy.于是222DzdSxyd3 分 2cos22022dr dr32016322cos239d.6 分(2)将函数()1(02)f xxx展成周期为 4 的余弦级数.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 3 页解：解：2002(1)0,2axdx1 分 222000222(1)cos(1)sinsin2222nn xn xn xaxdxxddxnn224(1)1nn4 分 2202(1,2,)821(21)nkknkk.22181(21)()cos,0,2(21)2kkxf xxk.6 分

7、注：展开式也可写作2214(1)1()cos,0,22nnn xf xxn.五、五、(本题满分本题满分 7 分分)设曲线 L 位于xoy平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与y轴总相交，交点记为 A.已知MA=OA，且 L 过点)23,23(，求 L 的方程.解：解：设点 M 的坐标为(,)x y，则切线MA的方程为()Yyy Xx.令0X，则Yyxy，故点 A 的坐标为(0,)yxy.2 分由MAOA，有22(0)()yxyxyyxy.即212yyyxx.4 分令2zy，得dzzxdxx.解得11()()dxdxxxzexedxcxxc，即22yxcx6 分由于所求曲线在第一

8、象限内,故2.ycxx再以条件33()22y代入得3c，于是 L 的方程为23.(03)yxxx7 分注：注：不写(03)x不扣分.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数),(yxQ在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分LdyyxQxydx),(2与路径无关，并且对任意t恒有dyyxQxydxdyyxQxydxtt,10,01,0,0),(2),(2，求),(yxQ.解：解：由曲线积分与路径无关的条件知(2)2Qxyxxy.2 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 4 页于是，2Q(,)()x yxc y，其中()c y为待定函数.3 分又(

9、,1)1122(0,0)002(,)()(),txydxQ x y dytc y dytc y dy(1,)2(0,0)002(,)1()()tttxydxQ x y dyc y dytc y dy.6 分故由题设知1200()()ttc y dytc y dy.两边对t求导得21(),()21tc tc tt 从而()21c yy，所以2(,)21Q x yxy.8 分七、七、(本题满分本题满分 8 分分)假设函数)(xf和()g x在,a b上存在二阶导数，并且()0gx，()()()()0f af bg ag b，试证：(1)在开区间(,)a b内()0g x；(2)在开区间(,)a

10、 b内至少存在一点，使()()()()ffgg.证证：(1)用反证法.若存在点(,)ca b，使()0g c，则对()g x,a c和,c b上分别应用罗尔定理，知存在1(,)a c和2(,)c b，使12()()0gg.2 分再对()g x在12,在上应用罗尔定理，知存在3123(,),()0g 使，这与题设()0gx 矛盾，故在(,)a b内()0g x.4 分(2)令()()()()()xf x g xfx g x，6 分易见()()0ab，对()x在,a b上应用罗尔定理，知存在(,)a b，使()0.即()()-()()0fgfg.因()0,()0gg，故得()()()()ff

11、gg.8 分八、八、(本题满分本题满分 7 分分)设三阶实对称阵A的特征值为1231,1，对应于1的特征向量为1(0,1,1)T，求A.解：解：对应于231有两个线性无关的特征向量23,，它们都与1正交，故可取23(1,0,0),(0,1,1)TT，.3 分令0101/201/21/201/2P，5 分则1TPP，于是微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 5 页 10101000 1/21/21001/201/20101000010010101/201/20 1/21/2APAP.7 分九、九、(本题满分本题满分 6 分分)设A是n阶矩阵，满足AAI（

13、的概率密度)(yfY.解：解：()XYF yP YyP ey1 分 0,1ln,1yP Xyy，3 分故1y 时，ln0()ln yxYFyP Xye dx，21()()YYfyFyy5 分因此20,1()1,1Yyfyyy.6 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 6 页数学（试卷二）数学（试卷二）一、填空题一、填空题【同数学一第一题】二、选择题【二、选择题【同数学一第二题】三、三、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分分)(1)【同数学一第三、(1)题】(2)求曲面222yxz平行于平面022zyx的

14、切平面方程.解：解：2200000(,).,2,1.2xP xy zzyPxy设切点为于是曲面在点的法矢量为因所给平面的法矢量为2,2,1.故由条件知0021.221xy所以切点坐标为22000002,1,32xxyzy.3 分于是所求切平面方程为2(2)2(1)(3)0,xyz即2230 xyz.5 分(3)计算二重积分2Dx ydxdy，其中 D 是由双曲线122 yx及直线 y=0,y=1 所围成的平面区域.解：解：22112201yyDx ydxdydyx ydx2 分 1351222200222(1)(1)(4 21)31515yydyy.5 分四、四、(本题满分本题满分 12

15、分分)【同数学一第四题】五、五、(本题满分本题满分 7 分分)【同数学一第五题】六、六、(本题满分本题满分 8 分分)【同数学一第六题】七、七、(本题满分本题满分 8 分分)【同数学一第七题】八、八、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 7 分，满分分，满分 14 分分)(1)设1234234243211233xxxxxaxaxxx，问a为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 7 页解：解：因1321113211011012221203300221aaaa，3 分所以2a 时，方程组有解，4 分

16、其通解为123471023220211120aaxaxkaxxa，其中k为任意常数.7 分(2)【同数学一第八题】九、九、(本题满分本题满分 6 分分)【同数学一第九题】微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 8 页数学（试卷三）数学（试卷三）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设221cos()sinyxx，则y 22221122 sin()sinsincos()xxxxxx.(2)微分方程xyy2 的通解为xcxcxysincos221.(3)曲线231xtyt 在2t 处的

17、切线方程为370 xy.(4)nlim(112nn+222nnnnnn2)=21.(5)曲线22xyx e的渐近线方程为0y.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设()f x和()x在(,)内有定义，()f x为连续函数，且()0f x，()x有间断点，则（D）(A)()f x必有间断点（B）2()x必有间断点(C)()fx必有间断点（D）)()(xfx必有间断点(2)曲线(1)(2)yx xx与x轴所围图形的面积可表示为(C)(A)20(1)(2).x xx dx（B）1021.)2)(1()2)(1(dxxxxdx

18、xxx(C)1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx；（D）dxxxx)2)(1(20(3)设()f x在(,)内可导，且对任意12,x x，当12xx时，有12()()f xf x，则（D）(A)对任意x，()0fx.(B)对任意x，()0fx.(C)函数()fx单调增加.(D)函数()fx单调增加.(4)设在0,1上()0fx(0)=0f，则)1(f、)0(f 、)0()1(ff 和)1()0(ff的大小顺序是(B)(A)0()1()0()1(ffff.(B)0()0()1()1(ffff(C)0()1()0()1(ffff.(D)0()1()0()1(ffff.(5)

19、设()f x可导，()()(1sin)F xf xx，若()F x在0 x 处可导，则必有(A)(A)(0)0f.(B).0)0(f(C)(0)(0)0.ff(D)(0)(0)0.ff微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 9 页三、三、(本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分)(1)求)cos1()cos(1lim0 xxxx.解：解：原式01 coslim(1 cos)(1cos)xxxxx1 分 2012lim1(1cos)2xxxxx4 分 12.5 分(2)设函数()yy x方程()f yyxee确定，其中f具有二

20、阶导数，且,1f求22d ydx.解：解：方程两边取对数，得ln()xf yy.对x求导，得1()fy yyx从而1(1()yxfy2 分故222231()()(1()()(1()1()fyxfy yfyfyyxfyxfy .5 分(3)设2ln)1(222xxxf，且xxfln)(，求dxx)(解：解：因为222(1)1(1)ln(1)1xf xx，所以1()ln1xf xx.1 分又()1()11()lnln,()=()1()11xxxfxxxxxxx从而.3 分于是21()2ln(1)(ln(1)1xx dxdxxxcxxcx或5 分(4)设21,0()0,0 xarctgxf x

21、xx，试讨论()fx在0 x 处的连续性.解：解：因为201(0)lim2xxarctgxfx，2 分 2240012lim()lim()12xxxfxarctgxx,4 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 10 页所以()fx在0 x 处是连续的.5 分(5)求摆线ttytxsincos1一拱（02 t）的弧长.解：解：sin,1 cos,dxdyttdtdt 1 分所以22sin(1 cos)dsttdt2(1 cos)2sin(02)2tt dtdtt.3 分从而202sin82tsdt.5 分(6)设单位质点在水平面内作直线运动，初速度00v

22、vt.已知阻力与速度成正比（比例常数为 1），问 t 为多少时此质点的速度为03v？并求到此时刻该质点所经过的路程.解：解：设质点的运动速度为 v t.由题设,有00()()0tv tv tvv.2 分解此方程,得0()tv tv e.3 分由003tvv e，解得ln3t 4 分到此时刻该质点所经过的路程ln300023tsv e dtv.5 分四、四、(本题满分本题满分 8 分分)求函数()f x 20)2(xtdtet的最大值和最小值.解：解：因为(),().f xf x是偶函数故只需求在0,+内的最大值与最小值 2 分令22()2(2)0 xfxxx e，故在区间(0,)内

23、有唯一驻点2x.而当02x时，()0fx；当2x 时，()0fx，所以2x 是极大值点，即最大值点.4 分最大值为222000(2)(2)(2)tttft e dtt ee dt 21 e.6 分又因为000(2)(2)2 1 1tttt e dtt ee ，(0)0f，故(0)0f是最小值.8 分五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设xye是微分方程xyxpxy)(的一个解，求此微分方程满足条件ln20 xy的特解.解：解：以xye代入原方程，得()xxxep x ex，解出().xp xxex2 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 11 页代入

24、原方程，得().xxyxex yx解其对应的齐次方程(1)0 xyey，有(1),lnlnxxdyedxycexy，得齐次方程的通解xx eyce.5 分所以原方程的通解为xxx eyece.6 分于是由ln20 xy，得12220e c，即12ce，故所求特解为12xx exyee.8 分六、六、(本题满分本题满分 8 分分)如图，设曲线 L 的方程为()yf x，且.0 f又 MT、MP 分别为该曲线在点 M（x0,y0）处的切线和法线.已知线段 MP 的长度为02320)(1(yy，（其中，)(),(0000 xyyxyy），试推导出点),(P的坐标表达式.解：解：由题设得2 32

25、200020(1)()()yxyy(1)又PMMT，所以000 xyy(2)4 分2220020(1)(1),(2)()yyy由解得.2000010,L0,yyyyy 由于曲线是凹的,故从而.6 分又2000000(1)()yyxyyy，于是得200002000(1)(1)yyxyyyy.8 分七、七、(本题满分本题满分 8 分分)设0sin()xtf xdtt，计算0)(dxxf.解：解：000()()()f x dxxf xxfx dx 3 分 00sinsinxxdxxdxxx6 分 00sinsin2xxdxxdxx.8 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1

26、995 年第 12 页八、八、(本题满分本题满分 8 分分)设1)(lim0 xxfx，且0)(xf,证明()f xx.证：证：因为 f x连续且具有一阶导数，所以由0()lim1xf xx，知(0)0f.从而有00()(0)()(0)limlim10 xxf xff xfxx.3 分令()()F xf xx，则(0)0F.由于()()1F xfx，所以(0)0F.又由()()0Fxfx 5 分(0)()().()FF xF xF x知是的极小值和单调故只有一个驻点，(0)F从而是()F x的最小值.因此()(0)0,()F xFf xx即.8 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货

27、最多的考研平台1995 年第 13 页数学（试卷四）数学（试卷四）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设1()1xf xx，则()()nfx=1(1)2!(1)nnnx.(2)设()yzxyfx，()f u可导，则zzyzxyx2.(3)设xxf1)(ln，则()f x xxec.(4)A=543022001，A*是 A 的伴随矩阵，则(A*)1=1/10001/51/503/10 1/5 1/2(5)设12,nX XX是来自正态总体),(2N的简单随机样本，其中参数和2未知，记X=niiXn11，niiXXQ1

28、22)(，则假设0:0H的 t 检验应使用统计量t(1)Xn nQ.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设()f x为可导函数，且满足条件12)1()1(lim0 xxffx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线斜率为(D)(A)2（B）-1（C）12.(D)-2(2)下列广义积分发散的是(A)(A)11.sin1dxx(B)12111dxx(C)20 xedx(D)221lndxxx(3)设矩阵Amn的秩为R(A)=m n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A)A 的任意 m 个列向量必线性无关(

29、B)A 的任意一个 m 阶子式不等于零(C)若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0(D)A 通过初等行变换，必可以化为（Im 0）的形式(4)设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y,V=X+Y，则随机变量U与V必然(D)(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 14 页(5)设随机变量X服从正态分布N（2,）,则随着的增大，概率PX (C)(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定三、三、(本题满分本题满分 6 分分)设()f x 2202(1 cos),01,01cos,0 xxxxxt

30、dtxx若若若，试讨论()f x在0 x 处的连续性和可导性.解：解：(1)由2002sinlim(1 cos)lim1,xxxxxx1 分 220001coslimcoslim11xxxxt dtx,2 分可知0lim()1(0)xf xf，于是，函数()f x在0 x 处连续3 分(2)分别求 f x在0 x 处的左右导数，223001 2(1 cos)2(1 cos)(0)lim1limxxxxxfxxx20002sin22cos2sinlimlimlim0363xxxxxxxxx，4 分 2202000cos1 1(0)limcos1limxxxxt dtxft dtxxx2200c

31、os12 sinlimlim022xxxxxx.5 分由于左、右导数都等于 0,可见 f x在0 x 处可导.且(0)0f.6 分注：注：若只说明 f x在0 x 处可导，并说明可导一定连续，仍给满分.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)已知连续函数)(xf满足条件320()()3xxtf xfdte,求)(xf.解：解：两端同时对x求导数，得一阶线性微分方程2()3()2xf xf xe1 分解此方程,有()f x233332(2)(2)2.xxxxxxxeedxc ee dxc ecee4 分由于(0)1,3.fc可得 5 分于是xxeexf2323)(.6 分微信公众号【考研

32、路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 15 页五、五、(本题满分本题满分 6 分分)将函数2ln(12)yxx)展成x的幂级数，并指出其收敛区间.解：解：2ln(12)ln(1 2)(1)ln(1)ln(1 2)xxxxxx 1 分 231ln(1)(1),(-1,1;23nnxxxxxn 其收敛区间为3 分 231(2)(2)(2)ln(1 2)(2)(1)23nnxxxxxn ,1 1,).2 2其收敛区间为-5 分于是有,2111(2)ln(12)(1)(1)nnnnnxxxxnn 11(1)21 1,).2 2nnnnxn其收敛区间为6 分六、六、(本题满分本题满

33、分 5 分分)计算 22()min,xyx y edxdy.解：解：2222yxyxxyIedyxedxedxyedy2 分 22222211.22yxxedyedxedx3 分作换元,令,22tdtxdx，有 2222121222ttIedtedt 4 分 2,22 5 分其中用到泊松积分22112tedt.七、七、(本题满分本题满分 6 分分)设某产品的需求函数为()QQ P,收益函数为RPQ,其中P为产品价格,Q为需求量（产品的产量），()Q P是单调减函数，如果当价格为0P时，边际收益00|Q QdRadQ,收益对价格的边际效应00P PdRcdP,需求对价格的弹性为1pEb，求0

34、P和0Q.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 16 页解：解：由收益RPQ对Q求导，有dRdPPQdQdQPdPPdQQ1()(1)pPPE，于是001(1)Q QdRPadQb.即0.1abPb3 分又由收益RPQ对Q求导，有()(1)pdQdRdQQQPQQQEdPdPdPP，故00(1).P PpdRQEcdP5 分因此0.1cQb6 分八、八、(本题满分本题满分 6 分分)设()f x、()g x在区间,a a(0a)上连续，()g x为偶函数，且()f x满足条件()()f xfxA(A为常数)(1)证明:0()()()aaaf x g x

35、dxAg x dx；(2)利用(1)的结论计算定积分22.sindxarctgexx证：证：(1)00()()()()()()aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dx而000()()()()()()aaaxtf x g x dxft gt dtfx g x dx.2 分 00()()()()()()aaaaf x g x dxfx g x dxf x g x dx于是00()()()()aaf xfx g x dxAg x dx.3 分(2)取(),()sin,2xf xarctgeg xx a，则(),()f x g x在,2 2 上连续，且()g x为偶函数.由

36、于(arctge+arctge)=0 xx，故arctge+arctge=Axx，4 分令0 x，得21arctgA，故.2A从而()().2f xfx5 分于是有2202sinsin2xxarctge dxxdx2200sin(cos)222xdxx.6 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 17 页九、九、(本题满分本题满分 9 分分)已知向量组(I)123,；(II)1234,；(III)1235,.如果各向量组的秩分别为 R(I)=R(II)=3，R(III)=4.证明:向量组12354,的秩为 4.证：证：因 R(I)=R(II)=3，所以

37、123,线性无关.而1234,线性相关，故存在数 123,使2423131.（1）3 分设有数1234,k k k k，使得123123454)(0kkkk，将（1）代入上式，化简得11 421232 433 445)(0()kkkkkkk.由 R(III)=4，知1235,线性无关.6 分所以11422433440000kkkkkkk，于是有12340kkkk.故12354,线性无关，即其秩为 4.9 分十、十、(本题满分本题满分 10 分分)已知二次型),(321xxxf323121232284434xxxxxxxx.(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型f化为标准

38、型，并写出相应的正交矩阵.解：解：(1)f的矩阵表达式为112312323022(,)(,)244243xf x x xx x xxx，2 分(2)二次型的矩阵为022244243A，A的特征方程为222|244(1)(36)0243 IA，由此得A的特征值为1231,6,6.对应的特征向量为1201,2152 ,3112；6 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 18 页对应的单位特征向量为125015，2130530230，3161626.由此可得正交矩阵123211530651(,03061225306P,).8 分对二次型f作正交变换112233

39、xyxP yxy，9 分则二次型f可以化为如下标准型222123123(,)66f x x xyyy.10 分十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分)假设一厂家生产的每台仪器，以概率为 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n 2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：(1)全部能出厂的概率；(2)其中恰好有两件不能出厂的概率；(3)其中至少有两件不能出厂的概率.解：解：对于新生产的每台仪器，引进事件：A=仪器需进一步调试，B=仪器能出厂，则A仪器能直接出厂，AB仪器

40、经调试后能出厂.由条件知,BAAB；()0.30,(|)0.80,P AP B A()()(|)0.30 0.800.24P ABP A P B A，()()()0.70 0.240.94P BP AP AB，3 分设 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X 作为 n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为(,0.94)n的二项分布，因此 0.94nP Xn，4 分 22220.940.06nnP XnC，6 分 12 11 10.940.06 0.94nnP XnP XnP Xnn .8 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 19 页

41、十二、十二、(本题满分本题满分 8 分分)已知随机变量X和Y的联合概率密度为4,01,01(,)0,xyxyx y若其他,求X和Y的联合分布函数(,)F x y.解：解：(1)对于00 xy或，有(,),0F x yP Xx Yy.1 分(2)对于01,1xy0，有2200(,)4xyF x yuvdudvx y，分(3)对于1,1xy，有(,)1F x y.分(4)对于1,1xy0，有2(,)1,F x yP XYyy.分(5)对于1,1yx0，有2(,),1F x yP Xx Yx.分故X和Y的联合分布函数22220,0001,1(,)1,11,111,1xyx yxyF x yxxyy

42、xyxy或000.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 20 页数学（试卷五）数学（试卷五）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设ataxxdttexx,)1(lim则常数a 2.(2)【同数学四第一、(2)题】(3)【同数学四第一、(3)题】(4)【同数学四第一、(4)题】(5)设 X 是一个随机变量，其概率密度为1,10()1,010,xxf xxx 若若其他,则方差XD16.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15

43、分分)(1)【同数学四第二、(1)题】(2)【同数学四第二、(2)题】(3)设n维行向量11(,0,0)22,矩阵TAI,2TBI,其中I为n阶单位矩阵，则AB等于(C)(A)0(B)I(C)I(D)TI(4)设矩阵 Amn的秩为 R(A)=m n,Im为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是(C)(A)A 的任意 m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个 m 阶子式不等于零(C)非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解(D)A 通过初等行变换，必可以化为（Im 0）的形式.(5)【同数学四第二、(5)题】三、三、(本题满分本题满分 6 分分)【同数学四第三题】四、四、(本题满分本

44、题满分 6 分分)求不定积分dxx2)(arcsin.解：解：2222 arcsin(arcsin)(arcsin)1xxx dxxxdxx2 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 21 页 222arcsin(arcsin)(1)1xxxdxx3 分 22(arcsin)2 1arcsin2xxxxdx5 分 22(arcsin)2 1arcsin2xxxxxc.6 分五、五、(本题满分本题满分 7 分分)【同数学四第八题分值不同】六、六、(本题满分本题满分 6 分分)【同数学四第七题】七、七、(本题满分本题满分 5 分分)设)(xf在区间,a b

45、上连续，在(,)a b内可导，证明：在(,)a b内至少存在一点，使)()()()(ffabaafbbf.证：证：做辅助函数()()F xx f x，1 分则()F x在,a b上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(,)a b内至少存在一点，使()()().F bF aFba3 分由于()()()F xf xxfx.4 分可见()()()()bf baf affba.5 分八、八、(本题满分本题满分 9 分分)求二元函数2(,)(4)zf x yx yxy 在由直线6xy，x轴和y轴所围成的闭区域上的极值、最大值与最小值.解：解：由方程组222(,)2(4)0(,)(4)0 xyfx

46、yxyxyx yfx yxxyx y，得0,(06)(4,0),(2,1).xy及点因点(4,0)及线段0 x 在 D 的边界上，故只有点(2,1)是可能的极值点.由于222862,834,2xxxyyyfyxyyfxxxy fx 3 分故在点(2,1)处，有22186260 xxxyAfyxyy ，2218344,xxyyBfxxxy 22128xyyyCfx ，21648320BAC.因而点(2,1)是极大值点，其极大值为(2,1)4f.5 分显然在边界0(06)xy和0(06)yx上，有(,)0f x y；而在边界6xy上，6yx，代入(,)f x y中有，32212(06)Zxx

47、x.6 分微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 22 页由26240Zxx，得0,4xx，又44Z1224240 xxx ，所以点(4,2)是边界6xy上的极小值点，极小值为(4,2)64f.8 分经比较得，最大值为(2,1)4f，最小值为(4,2)64.f 9 分九、九、(本题满分本题满分 8 分分)对于线性方程组123123123322xxxxxxxxx ，讨论取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解？在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.解：解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：113112112A 112011000(2)(1)3

48、(1)2 分（1）当21 且时，()()3R AR A，从而方程组有唯一解.3 分（2）当2 时，()2,()3R AR A，由于()()R AR A，方程组无解.4 分（3）当1时，有A1112000 0000 0.此时()()1 3R AR A，故此时方程组有无穷多组解.5 分又由此可得与原方程组同解的方程组为1232xxx.令230 xx，得特解0(2,0,0)Tu .6 分而与原方程组的导出组同解的方程组为123xxx，由此可得导出组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)TTvv .于是，原方程组的全部解为01 12 212211010001xucvc vcc，其中12,c

49、 c为任意常数.8 分十、十、(本题满分本题满分 8 分分)设三阶矩阵A满足),3,2,1(iiaAaii其中列向量1(1,2,2)T，2(2,2,1)T，3(2,1,2)T，试求矩阵A.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1995 年第 23 页解：解：由(1,2,3)iiAii，可得123123(,)(,2,3)A .2 分记123123(,),(,2,3)PB .上式可写为APB.因123122|,|221270212P 3 分所以矩阵P可逆，由此可得1ABP.4 分而112212219212P.7 分所以1461227/302/3124322105/32/

50、392262122/32/32A.8 分注：注：由i是A的对应于特征值i的特征向量(1,2,3)i，得到123,线性无关，说明矩阵P可逆，可得 3 分.十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分)【同数学四第十一题】十二、十二、(本题满分本题满分 7 分分)假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：XeY21在区间(0,1)上服从均匀分布.证：证：X的分布函数21,0()00 xexF xx，21xye 是单调增函数，其反函数ln(1)2yx.2 分设()G yY是的分布函数，则2()1xG yP YyPey0,0ln(1),121,1yyP Xyy 若若0若，5 分 0,0,

展开阅读全文