1、经管学院 2010 级高等数学（上）期中考试试题1.证明题(20 分)：(1)用-N 定义证明：limnn2+a2n=1(n N+).(2)用-M 定义证明：limx11+x2=0.(3)设函数 f(x)在 a,b 上连续，a x1 x2 b,证明：对于任意正数 p 和 q，至少存在一点 (a,b)使得 pf(x1)+qf(x2)=(p+q)f().(4)证明方程 tanx=cosx 22有正根.(5)试证方程x32x=1 只有一个根，并给出一个长度尽可能短的根存在有限区间.(6)用无穷小的性质证明：当 limx+f(x)=A 1.(2)已知(x)存在，y=(secx)+arcsin2x,求
2、dy.(3)已知 x2y exy2=cosy+limx03(1+x)21x,求 y.(4)已知 y=(x2)(x3)x5(1+2x)1x,求dydx.(5)求极限 limx0(1+x4ex ax7)11cos x2,其中 a=0 为常数.(6)y=f(2x2),求 y(其中函数 f,皆二阶可导).(7)y=xcosx1+e2x,求 y.(8)limxx3(sin1x12sin2x).(9)limnn2arctann arctan(n+a)(a 0,n N+).(10)limxa(sinxsina)1xa.(11)limx4(tanx)tan2x.(12)limx+ln2(x2x+1)ln2(x
3、10+x+1).(13)y 5x2limt01cos t2arccot1t1cos t=sinn(2x)msec(n5x)(m,n=const.&m,n=0),求 y;(14)limx0(1sinx31tanx3)(e2x 1)3.(15)y=aax+xxa,求 y(a 0 且 a=1).(16)y=f(arccos1x),求 y及 y(2).(17)limx0ln(1+sinx2)tan(5x2+3x).(18)limx032x+x+5x53x+3x+5x.3.讨论题(30 分)：(1)讨论函数 f(x)=|x x3|sinx 的可导性.(2)讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可微性:f(
4、x)=x+cosx,x 0,sinxx x+xsin1x,x 0.(3)讨论函数的定义域、连续性及可导性：f(x)=ln1sinx1+sinx.(4)考虑函数f(x)=21x+1,x 1x2sin1x,1 x 0.i.讨论函数 f(x)在(,+)内的连续性.若存在间断点，指出间断点类型及其原因.ii.讨论函数 f(x)在(,+)内的导数.iii.讨论导函数 f(x)的连续性.经管学院 2010 级高等数学（上）期中考试参考答案1.证明题(20 分)：(1)用-N 定义证明：limnn2+a2n=1(n N+).证 0,?n2+a2n 1?=?n2+a2nn?=a2n(n2+a2+n)a2na2
5、.取 N=a2,当 n N时，有?n2+a2n 1?0,?11+x2 0?1x21.取 M=1,当 x M 时，有?11+x2 0?.limx11+x2=0.(3)设函数 f(x)在 a,b 上连续，a x1 x2 0,故可取 =x1或 x2.2若 f(x1)=f(x2),a x1 x2 b,则pp+qf(x1)+qp+qf(x2)介于 f(x1)与 f(x2)之间.f(x)Ca,b f(x)Cx1,x2.由介值定理可知必存在 (x1,x2)(a,b)使得pf(x1)+qf(x2)=(p+q)f().(4)证明方程 tanx=cosx 22有正根.证 令 f(x)=tanx cosx+22.f
6、(0)=22 1 0.而 f(x)C0,4,故由介值定理知 (0,4)使 f()=0.即方程 tanx=cosx 22有正根.(5)试证方程x32x=1 只有一个根，并给出一个长度尽可能短的根存在有限区间.证 令 f(x)=x3+2x.f(1)=12 0.f(x)C1,0,由介值定理得 (1,0)使f()=0.由于 f(x)=3x2+2xln2 0,在(,+)上严格单调递增.从而这样的 必唯一.得证.(6)用无穷小的性质证明：当 limx+f(x)=A 0,而limx+g(x)=0 时,limx+g(x)f(x)=0.证 因 limx+f(x)=A M(M是个充分大的正数)时,f(x)有界，即
7、A f(x)1f(x)1B.而 limxx0g(x)=0,由无穷小的性质即知,limx+g(x)f(x)=0.2.计算题(50 分)：(1)求 limx0limn(nanarctan1x+ln1+x1xx),其中 n N+,a 1.解 limx0limn(nanarctan1x+ln1+x1xx)=limx0ln1+x1xx=12limx0ln1+x1xx=12limx021x2=1.(2)已知(x)存在，y=(secx)+arcsin2x,求 dy.解 dy=(secx)secxtanx+214x2dx.(3)已知 x2y exy2=cosy+limx03(1+x)21x,求 y.解 lim
8、x03(1+x)21x=limx023xx=23,x2y exy2=cosy+23.等式两边同时对 x 求导得 2xy+x2y exy2xy2(2yylnx+y2x)=ysiny.从而有 y=exy2xy21y22xyx22yexy2xy2lnx+siny.(4)已知 y=(x2)(x3)x5(1+2x)1x,求dydx.解 函数的定义域为 x|2 x 3 或 x 5.12 x 5.所求导数同 1.3当 x=2 时,y+(2)=limx2+1x2(x2)(x3)x5(1+2x)1x=limx2+x3(x2)(x5)(1+2x)1x=+;当 x=3 时,y(3)=limx31x3(x2)(x3)
9、x5(1+2x)1x=limx3x2(x3)(x5)(1+2x)1x=+.(5)求极限 limx0(1+x4ex ax7)11cos x2,其中 a=0 为常数.解 limx0(1+x4ex ax7)11cos x2=elimx0 x4exax71cos x2=elimx0 x4exax7x42=e2.(6)y=f(2x2),求 y(其中函数 f,皆二阶可导).解 y=f(2x2)(2x2)2x2ln2 (2x).y=f(2x2)(2x2)2x22ln22 (4x2)+f(2x2)(2x2)22x2ln22 (4x2)+f(2x2)(2x2)2x2ln22 (4x2)+f(2x2)(2x2)2
10、x22ln2.(7)y=xcosx1+e2x,求 y.解 y=cosx1+e2xxsinx1+e2x+xcosxe2x1+e2x2xcosx1+e2x=(1+e2x)(cosxxsinx)+xe2xcosx21+e2xxcosx1+e2x.(8)limxx3(sin1x12sin2x).解 limxx3(sin1x12sin2x)=limt0sint12sin2tt3=limt0costcos2t3t2=limt0sint+2sin2t6t=12.(9)limnn2arctann arctan(n+a)(a 0,n N+).解 limnn2arctannarctan(n+a)=limx+x2a
11、rctanxarctan(x+a)=limt0+arctan1tarctan(1t+a)t2=limt0+1t21+1t21t21+(1t+a)22t=limt0+2ata2t22t(1+t2)t2+(1+at)2=limt0+2ata2t22t=a.(这里 x R.)(10)limxa(sinxsina)1xa.解 limxa(sinxsina)1xa=limxa(1+sinxsinasina)1xa=elimxasin xsin a(xa)sin a=ecota.(11)limx4(tanx)tan2x.解 limx4(tanx)tan2x=limx41+(tanx 1)tan2x=eli
12、mx4(tanx1)tan2x=elimx42 tan x1+tan x=1e.(12)limx+ln2(x2x+1)ln2(x10+x+1).解limx+ln2(x2x+1)ln2(x10+x+1)=(limx+lnx2(11x+1x2)lnx10(1+1x9+1x10)2=(limx+2lnx+ln(11x+1x2)10lnx+ln(1+1x9+1x10)2=125.(13)y 5x2limt01cos t2arccot1t1cos t=sinn(2x)msec(n5x)(m,n=const.&m,n=0),求 y.解 limt01cost2arccot1t1cost=limt0t22t2
13、2=2.原方程变为 y 52x2=sinn(2x)msec(n5x).y=52x222xy 52x2+nsinn1(2x)m cos(2x)m m(2x)m1 sec(n5x)+sinn(2x)msec(n5x)tan(n5x)n5xln5.(14)limx0(1sinx31tanx3)(e2x 1)3.limx0(1sinx31tanx3)(e2x 1)3=limx01sinx3(1 cosx3)(2x)3=116.(15)y=aax+xxa,求 y(a 0 且 a=1).解 y=aax+xln2a+xxa+a1(alnx+1).(16)y=f(arccos1x),求 y及 y(2).解 y
14、=f(arccos1x)1x211x2=f(arccos1x)1|x|x21,y=f(arccos1x)1x2(x21)+f(arccos1x)12x2x2(x21)3/2(x 0);y=f(arccos1x)1x2(x21)+f(arccos1x)2x21x2(x21)3/2(x 0).y(2)=112f(3)7123f(3).(17)limx0ln(1+sinx2)tan(5x2+3x).解 limx0ln(1+sinx2)tan(5x2+3x)=limx0sinx25x2+3x=limx0 x25x2+3x=0.(18)limx032x+x+5x53x+3x+5x.解 limx032x+
15、x+5x53x+3x+5x=limx05x53x=153.3.讨论题(30 分)：(1)讨论函数 f(x)=|x x3|sinx 的可导性.解 f(x)=|x x3|sinx=(x x3)sinx,x 1,(x3 x)sinx,1 x 0,(x x3)sinx,0 1,f(x)C(,+).f(x)=(1 3x2)sinx+(x x3)cosx,x 1,(3x2 1)sinx+(x3 x)cosx,1 x 0,(1 3x2)sinx+(x x3)cosx,0 x 1,f(1)=2sin1=f+(1)=2sin1=f(1)不存在,f(0)=0,f(1)=2sin1=f+(1)=2sin1=f(1)
16、不存在.(2)讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可微性:f(x)=x+cosx,x 0,sinxx x+xsin1x,x 0.解 1f(00)=limx0f(x)=limx0(x+cosx)=1,f(0+0)=limx0+f(x)=limx0+(sinxxx+xsin1x)=1.f(0+0)=f(0 0)=f(0).故 f(x)在 x=0 处连续.2f(0)=limx0 x+cosx1x=1,f+(0)=limx0+sin xxx+xsin1x1x=1+limx0+sinxxx2+limx0+sin1xx=1+limx0+cosx12x+limx0+sin1xx=1+limx0+sin1xx
17、.而 limx0+sin1xx不存在,因此 f(0)不存在.(3)讨论函数的定义域、连续性及可导性：f(x)=ln1sinx1+sinx.解：11sinx1+sinx 01+sinx=0=1 sinx 1=定义域为x|x=k+2,k Z.2函数 f(x)在其定义域内连续,(i)在间断点 x=2k+2(k Z)处，limx(2k+2)ln1sinx1+sinx=,为无穷间断点.(ii)在间断点 x=2k 2(k Z)处，limx(2k2)ln1sinx1+sinx=+,为无穷间断点.3f(x)=2cosx1sin2x=2cosx,x=k+2.(4)考虑函数f(x)=21x+1,x 1x2sin1
18、x,1 x 0.i.讨论函数 f(x)在(,+)内的连续性.若存在间断点，指出间断点类型及其原因.ii.讨论函数 f(x)在(,+)内的导数.iii.讨论导函数 f(x)的连续性.解 i.f(1 0)=limx1f(x)=limx121x+1=0,f(1+0)=limx1+f(x)=limx1+x2sin1x=sin1,f(00)=limx0f(x)=limx0 x2sin1x=0,f(0+0)=limx0+f(x)=limx0+(1 x6)6x+1x2+x=elimx0+x(6x+1)6(x2+x)=e16.函数 f(x)在(,1),(1,0),及(0,+)上连续，而在 x=1,0 为跳跃间断点.ii.f(x)=21x+1ln2(x+1)2,x 1,2xsin1x cos1x,1 x 0.iii.f(x)在(,+)上除 x=1,0 两点外都连续.在 x=1,0 处间断.
