1、概率统计期中考试题B解 珠海校区2008.5.7下午1. (10分)小张,小李,小陈和小王四位朋友射击的命中率分别是,和,每人射击一次,求至少有一人命中的概率.解 分别以,和记小张,小李,小陈和小王各人命中,则所求的概率是 .2. (15分)投掷一个骰子两次. 1) 已知两次中至少有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 2) 已知两次中至多有一次是6点,求第二次是6点的条件概率.解 设“第一次掷出6点”,“第二次掷出6点”，则, , ,， ，所求的条件概率是，.3. (10分)从10个数字中任取一个,取后放回,连取4次,得到4个数字.求事件“这4个数字中的最大者是7”的概率.解 在10个数字
2、中有放回地抽取4次,每次1个,有种可能的结果,样本点总数为.对,设“这4个数字中的最大者不大于”,则含有个样本点,故有.由于,故.4. (10分)设等腰直角三角形的直角边长为随机变量,有密度.求这个三角形的面积的期望和方差.解 这个三角形的面积是.5. (10分)设随机变量有均值5和方差36.为了使得随机变量有均值0和方差1,应该怎样选择常数和的值.解 由题意得, ,解方程组得,.6. (15分)设随机变量服从上的均匀分布.求随机变量的密度.解 有密度.解1 . 当时,. 当时,.综合上面的两种情况有 .解2 . 当时,. 当时,.综合上面的两种情况有.故.解3 有分布函数,. 当时, . 当
3、时,.综合上面的两种情况有.故.7. (12分)小张的五位朋友将会在未来的4天每人发送一份手机短信给小张,每份短信的发送时间是独立的,在这4天中的那一天发送都是等可能的.设这4天中有天当天小张都至少收到一份来自这五位朋友短信,求的期望.解 对于,设,则., ,故,.因而.8. (18分)设有密度. 1) 求的边缘密度. 2) 求条件密度. 3) 求概率. 4) 求条件概率.解 1) . 2) 当时, . 3) 方法1: . . 方法2: . 4) ,.附加题1. (5分)设都是事件.证明如果或,则相互独立.证 1) 设,则.因为,所以,从而,故独立. 2) 设.因为,所以,从而.由此得,故独立.附加题2. (5分)设在相同的条件下不断重复做某个试验,是试验的事件,在各次试验中的发生是独立的.证明:只要,则迟早会发生的概率为1.证1 设,.则对任意有,令得,因而迟早会发生的概率为.证2 设,.则,.B解-4
