1、数字图像处理学第3章 图像处理中的正交变换（第七讲）,3.6 小波变换,用尺度函数 构造的小波 可通过伸缩和平移形成正交集，而且 具有紧支集、平滑性、对称性是十分困难的。为此Daubechies提出了一种解决办法。她的思路是先由 的Fourier变换,(3553),求出 H()，再通过无穷乘积定义:,进而讨论使 正交的条件，为最后构造小波创造了条件。,设 是三角多项式，系数 是实数,则有：,（3554）,Q是实系数代数多项式，因为 所以 是 的偶函数,将其表示成 的多项式，,利用，可等价地表示为 的多项式，记为,，注意到 则有：,（3555）,而,(3556),因此:,(3557),由Ries
2、z定理，求出,Riesz定理：如果,则存在,使得,其中 可写成 在最简单的情况下，上式可简化为：,（3558）,求出，代入,(3559),就可以确定 H()及尺度系数 hn 及小波系数 gn。这样由 H()和Riesz定理给出的小波基函数称做Danbechies紧支集小波。,(3560),(3561),对应的尺度函数和小波函数记为,7.B样条小波分析,样条是一类分段光滑又在各段连接处具有一定光滑性的函数。它在数据的插值、拟合与平滑方面有很好的稳定性和收敛性，是函数逼近的有力工具。样条函数可以表示成变量的多项式，在小波分析中用得最多的是B样条函数（Cardinal B-spline）。B-样条具
3、有最小的支撑长度，而且有利于计算机实时处理。,n阶B样条是Harr尺度函数与其自身作m次卷积运算后所得的函数为 Nm(t)，可得到：,这里把分段常数空间记为 S1,分段多项式空间记为 Sm，m是多项式的阶数。当m为正整数时 Sm 称为基数样条空间，这是样条小波的基本空间。,(3562),(3563),(3564),即：,(3565),其中 N1(t)就是定义域 0,1)上为常数的特征函数 0,1)(t)，B-样条有如下递推公式：,(3566),图328 示出了N1(t),N 2(t),N3(t),的波形，由图可见 N1(t)不连续，N2(t)连续，但一阶导数不连续，N3(t)有连续的一阶导数，
4、因此，它比较常用。,图 328 m=1,2,3 时的基数B-样条波形,如果基数B-样条函数表示为对称于原点垂直轴的形式，则相应的波形如图329所示。,图329 B-样条函数的对称形式与构造,Nm(t)在频域中的形式可由Fourire变换得到：,(3567),当 m=1 时就是Haar系，当m=2 时就是Franklin小波。在一般情况下。其支撑区是 0,m，,(3568),这里，P是2m阶多项式，当m是偶数时，该展开式为：,(3569),其正交尺度函数表达式为：,经双尺度方程求出：,(3570),又可通过 Fourire反变换求出。,研究基数样条函数的目的是为了构造具有紧支撑的样条小波。其首要工作是构造尺度函数。对于基数样条函数来说，其简单的构造公式如下：,(3571),其中分母：,当m=1时：,
