1、第八章 状态空间分析法 知识结构第八章 状态空间分析法要点 1、正确理解状态空间的基本概念，能够熟练地由物理模型结、正确理解状态空间的基本概念，能够熟练地由物理模型结构图列写出状态空间表达式。状态空间表达式与传递函数、构图列写出状态空间表达式。状态空间表达式与传递函数、微分方程的互相转换微分方程的互相转换 2、熟练掌握由系统传递函数写出可控标准形、可观标准形实、熟练掌握由系统传递函数写出可控标准形、可观标准形实现。现。3、熟练掌握由状态空间表达式求出系统传递函数矩阵、状态、熟练掌握由状态空间表达式求出系统传递函数矩阵、状态转移矩阵、状态空间表达式的解；熟悉状态转移矩阵的性质转移矩阵、状态空间表
2、达式的解；熟悉状态转移矩阵的性质 4、正确理解可控性、可观测性的基本概念，能熟练运用判据、正确理解可控性、可观测性的基本概念，能熟练运用判据进行可控性和可观测性判定。进行可控性和可观测性判定。5、对李雅谱诺夫稳定性概念应有清晰理解，并能用李雅普诺、对李雅谱诺夫稳定性概念应有清晰理解，并能用李雅普诺夫有关判据判断稳定性。（包含离散系统）夫有关判据判断稳定性。（包含离散系统）7、能对线性定常系统进行极点配置和全阶观测器设计。通过、能对线性定常系统进行极点配置和全阶观测器设计。通过状态反馈、输出反馈实现闭环系统极点配置状态反馈、输出反馈实现闭环系统极点配置状态空间法的基本概念 状态：状态：系统在时间
3、域中运动信息的集合系统在时间域中运动信息的集合 状态变量：确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量状态变量：确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量 状态向量：状态向量：称为状态向量。的分量，则向量变量看作是向量表示，并把这些状态、个状态变量用如果)()()()()(21tttxtxtxnnxxL 状态空间：维空间为横轴构成的、以状态变量ntxtxtxn)()()(21L 状态方程：描述系统的状态变量之间及其与系统输入量之间关系的函数关系的代数方程 输出方程：描述系统输出变量与状态变量（有时还包括输入变量）之间的函数关系的代数方程 状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合，它们构成对一个系统完
4、整的描述。状态空间法的基本概念状态向量121=nnxxxMx ABuyCdu+=+矩阵形式为：xxx系统矩阵=nnnnnnnnaaaaaaaaaALMMMLL212222111211输入矩阵121=nnbbbBM输出矩阵nncccC=121Ld前馈系数状态空间法的基本概念UxyCs1BADx),(DCBA系统实际系统的状态空间表达式()()cLcLLcccduiCi tdtdudiLRiuRCdtdtduy tuRCdt+=+=+=+i(t)有两个独立储能元件，需选两个状态变量，取12()(),()()Lcx ti tx tu t=11212112221221221()()()()()()()
5、11()()()()()()()()()()()()()()RRx tx tx ti tLLLx tCx ti tLx tRx tx tRCx tx tx ti tCCy tx tRCx ty tRx tx tRi t=+=+=+=+=+=+&21()110RRLLLtiCC=+xx&令u=i()1y tRRu=+x微分方程和传递函数的状态空间表达式输入信号无导数项()(1)11111.()().nnnnnnnnnnya yaya yb ubY sU ssa sasa+=+&12(1)nnxyxyxy=&LLLLL1223341 12211nnnnnxxxxxxxxxxb uyx=+=&LLL
6、LL&LL取：12210100000100 00001nnnAaaaaa=LLMMMMMLL00 0nBb=M100C=L输入信号有导数项，第一法()(1)()(1)110111011111.()().nnnnnnnnnnnnnnnnya yaya yb ububub ub sbsbsbY sU ssa sasa+=+=+&1021101322012(1)()(1)1101110.nnnnnnnnxyh uxxhuyh uhuxxh uyh uhuh uxxhuyh uhuhuh uyxh=+&LLLLL&00111 022201 101 1222211()().nnnnnnnhbhba bh
7、ba ba hhba bahaha ha h=LLLLL12210100000100 00001nnnAaaaaa=LLMMMMMLL121 nnhhBhh=M100C=L00dhb=可控标准型输入信号有导数项，第二法()(1)()(1)11011.nnnnnnnnya yaya yb ububub u+=+&12210100000100 00001nnnAaaaaa=LLMMMMMLL0db=00 01B=M011 022011 0,.,nnnnCba bbabba bbab=()(1)11()(1)011.nnnnnnnnza zaza zuyb zb zbzb z+=+&1111.nnn
8、nsa sasa+1011(.)nnnnb sbsbsb+()U s()Z s()Y s(1)1211,.,nnnxz xxzxxz=&取可观标准型12210100000100 00001TTnnnAAaaaaa=LLMMMMMLL0db=0110220110,.,TTnnnnBCba bbabba bba b=0001TTCB =M例例设二阶系统微分方程为设二阶系统微分方程为，试列写可控标准型、可，试列写可控标准型、可观测标准型动态方程，观测标准型动态方程，解解系统的传递函数为系统的传递函数为21221)()()(+=nssTssUsYsG21221)()()(+=nssTssUsYsG于是
9、，可控标准型动态方程的各矩阵为=21cccxxx=2102cA=10cbTcc1=由G(s)串联分解并引入中间变量z有22zzzuyTzz+=+&对y求导并考虑上述关系式，则有TuTzzTzzTy+=+=2)21(&令可导出状态变量与输入，输出量的关系；,1zxc=,2zxc&=)21()()21()21(22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc+=+=&可观测标准型动态方程中各矩阵为22yyyTuu+=+&=21oooxxx=2102oA=Tbo110=oc根据实数极点建立状态方程1()()()()niiicY sN sU sD ss=没有重极点其中iiisssDsNc=)()(
10、)(1()()niiicY sU ss=有若令状态变量其反变换结果为)(1)(sUssXii=ni,2,1L=1()()()()()iiiniiix txtu ty tc xt=+=&展开得11 12221 122nnnnnxxuxxuxxuyc xc xc x=+=+=+=+&M&L11122301101nnnxxxxuxx =+&MOMM&1212nnxxycccx=LM若令状态变量若令状态变量则则Y(s)=)()(sUscsXiii=niisX1)(进行反变换并展开有1111222212nnnnnxxc uxxc uxxc uyxxx=+=+=+=+&M&L其向量-矩阵形式为111122
11、3200nnnnxxcxxcuxxc=+&MOMM&131 11nxxyx=LM有重极点131112321111()()()()()()niiiccY sN sccU sD sssss=+其其状态状态变量变量的的选取选取方方法法与与之之含含单单实实极点时极点时相相同同，可分，可分别得别得出出向量向量-矩阵形式的矩阵形式的动动态方程态方程：111111212113131444101001101nnnxxxxxxuxxxx =+&OMMM&1112134nycccccx=L11111111212112131311344441010nnnnxxcxxcxxcucxxcxx=+&MOMM&00011y
12、x=L线性定常系统特征方程0 100000010000010 01111221=+=nnnnnnnasasasAsIaaaaaAAsILLLMMMMMLL则：若：为系统特征方程由状态空间表达式求传递函数+=+DuCyBuAxxx：统的状态空间表达式为如果单变量线性定常系 1()()()Y sG sC sIABDU s=+求传递函数112212()()010()()231()1,2()x tx tux tx tx tyx t=+=&解+=321321000ssssAsI131()1()2(1)(2)sadj sIAsIAssIAss+=+=2211221221112112ssssssss1211
13、10()211212()1,222121()(1)(2)1212Y ssssssC sIABU sssssss+=+线性定常系统状态方程的解)0()()()0()()(111xAsItxXAsIsXA=l则：统齐次状态方程为：如果单变量线性定常系xx)()()0()()()()()0()()(111111sBUAsIxAsItxsBUAsIXAsIsXA+=+=+ll则：统非齐次状态方程为：如果单变量线性定常系Buxx求齐次方程的解例设系统状态方程为，试用拉氏变换求解。=)()(3210)()(2121txtxtxtx&解+=321321000ssssAsI状态方程的解为状态方程的解为:+=+
14、=ssssAsIAsIadjAsI213)2)(1(1)()(1+=2211221221112112ssssssss2211222222()()tttttttteeeetLsIAeeee=+=)0()0(2222)0()0()()()(2122222121xxeeeeeeeexxttxtxtttttttt求非齐次方程的解例设系统状态方程为，试用拉氏变换求解，u=1(t)。1122()()010()()231x tx tux tx t=+&解状态方程的解为状态方程的解为:1112111011212()()221211212ssssLsIABU sLsssss+=+221122tttteeee+=
15、222112222211()(0)222()(0)222ttttttttttttx txeeeeeex txeeeeee+=+状态转移矩阵状态转移矩阵三种方法求三种方法求1、定义，级数展开法、定义，级数展开法2、拉式变换、拉式变换3、凯莱、凯莱-哈密顿定理哈密顿定理()Atte=11AteL sIA=0()!kAtkkAtetk=状态转移矩阵的性质I=)0(1)()()()tAtt A=&2)121221()()()()()tttttt=3)11()(),()()tttt=4)表明与可交换，且()At()t AA=)0(&在式 3）中，令便可证明；表明可分解为的乘积，且是可交换的。21ttt=
16、)(21tt)()(21tt与)()(21tt与Itttttt=)0()()()()()()(t1()()(0),(0)()()()()x tt xxt x tt x t=证明:由性质3）有根据的这一性质，对于线性定常系统，显然有5)()()(1122txtttx=)()()()()0(),0()()(1111111txttxtxxttx=)()()()()()0()()(11211222txtttxttxttx=)(1tx)(2tx)(12tt 证明：由于则即由转移至的状态转移矩阵为状态转移矩阵的性质)(02tt)(12tt=)(01tt 6)()()(0022txtttx=)()()(00
17、11txtttx=)()()(1122txtttx=)(12tt)(01tt=)(0tx)(02tt=)(0tx证明：由和得到)()(kttk=)()()()(kteeetktAkAtkAtk=BAAB=AtBtBtAttBAeeeee=+)(7)8)若，则证明：9)若1APAP=，则11()()AtAttePePPt P=李雅普诺夫稳定性如果对于所有如果对于所有t t，满足，满足的状态称为平衡状态（平衡的状态称为平衡状态（平衡点）。点）。(,)0eexf x t=&ex&0 x=&1)1)平衡状态:平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令所求得的解 x,便是平衡状态。（1）只有状态
18、稳定，输出必然稳定；（2）稳定性与输入无关。2)李雅普诺夫稳定性定义：2)李雅普诺夫稳定性定义：如果对于任意小的 0，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足lim，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：0),(0texx0extxtx),;(00exx02021100)()(neneexxxxxx+=L3)3)一致一致稳定性稳定性：通常与、t0都有关。如果与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的与t0无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。李雅普诺夫稳定性4 4）渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具
19、有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：textxtx0),;(lim00称此平衡状态是渐近稳定的。5 5）大范围）大范围稳定性稳定性：当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时。,(),Sx 6 6）不）不稳定性稳定性：不论取得得多么小，只要在内有一条从x0出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。()S()S 注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。稳定判据1()
20、()()Y sG sC sIABU s=所有极点都具有负实部由于G(s)所有极点都是A的特征值，故，系统渐进稳定，则输入输出稳定。而输入输出稳定，不一定渐进稳定有界输入有界输出稳定（BIBO稳定）：对有界输入所引起的输出都是有界的（工程意义更重视）稳定性分析ABuyC+=xxx系统判据一：渐进稳定的充要条件：矩阵A的所有特征值均为负实部李雅普诺夫第一法稳定性判据（间接法）特征值可由 detsI-A=0求得稳定性分析，李雅普诺夫第二法(,)V x t(,)V x t&(,)V x t&),;(00ttxtxV0),(txV&0 x0),(txV&0),(txV&具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函
21、数，通常选二次型函数，求其导数再将状态方程代入，最后根据是否有恒为零：令将状态方程代入，若能导出非零解，表示对，若导出的是全零解，表示只有原点满足的条件。的定号性判别稳定性。的条件是成立的；判断在非零状态下21xx=&212xxx=&021=xx&22212)(xxxV+=)(2)(212xxxxV=&021 xx0)(xV&012xx0)(xV&)(xV&(,)V x t2221)(xxxV+=222)(xxV=&02=x01x0)(=xV&0)(及0K。故06K时，系统渐近稳定。由于是线性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。(1)()0ex kGx kx+=在平衡状态渐进稳定的充要条件是：给
22、定一正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，满足线性定常离散系统稳定判据线性定常离散系统(G)()()G-TTPPx kxkx kQP =标量函数=是离散系统的一个李雅普诺夫函数线性系统的可控性和可观性111 nngnABCDrank BABABnnrank CBCABCABqqCCArankQrankCA+=+=LLM如果线性定常系统的状态空间表达式为：系统状态完全可控的充要条件为为状态变量的个数系统输出完全可控的充要条件为为输出变量的个数系统状态完全可观的充要条件为xxuyxun=例 试用可控性判断图中并联网络的可控性。解 网络的微分方程为uxCRxxCRx=+=+22221111&式
23、中，dtiCuxc=11111,dtiCuxc=22221状态方程为uCRxCRxuCRxCRx2222221111111111+=+=&于是=Abbrank2222222211111111CRCRCRCRrank当2211CRCR时，系统可控。21RR=，21CC=，有2211CRCR=，Abbrankn=1系统不可控，当线性系统的状态反馈与极点配置 )()0ABCKABKBCsIABK+=+=设线性定常系统为：如果将控制量 取为状态变量的线性函数则形成状态反馈，系统的状态空间表达式变为：（输入矩阵和输出方程没有变，系数矩阵改变，特征方程变为，可见，系统的极点发生了改变xxuyxuur-xx
24、xryx。实现极点配置的充要条件是系统是完全可控的线性系统的状态反馈与极点配置12211211010000001000 0000011 010000010000001()(nnnnnnABaaaaaKkkkAaka =+LLMMMMMLMLLLLMMMMML如果系统可控，则状态方程可写成可控规范型：设状态反馈阵为：则引入反馈后系统系数矩阵为2232111112100 0)()()()1()()()()0nnnnnnnnBkakakaksIABKsaksaksak =+=+=MLL特征方程变为：极点配置例 设系统传递函数为试用状态反馈使闭环极点配置在2，1。解 单输入-单输出系统传递函数无零极点
25、对消，故可控可观测。其可控标准型实现为321010()(1)(2)32yu ss sssss=+j01000010,10000231xxuyx =+=&设状态反馈矩阵为210kkkk=状态反馈系统特征方程为期望闭环极点对应的系统特征方程为0)2()3()(01223=+=kkkbkA0464)1)(1)(2(23=+=+jj由两特征方程同幂项系数应相同，可得1,4,4210=kkk即 系统反馈阵将系统闭环极点配置在2，1 。441k=j全维状态观测器,xAxBuyCx=+=&xCyBuxAx,=+=&xxyy yy 原系统模拟系统设计原理：设计H阵，将反馈引入状态观测器，使和尽快衰减至零。用全
26、维状态观测器实现状态反馈原理xCyyyHBuxAx),(=+=&HyBuxHCAxCyxxHCBuxAx+=+=)(),(&全维状态观测器状态方程为故有，式中，称为观测器系统矩阵，H为维矩阵。A-HC)(qn全维状态观测器为了保证状态反馈系统正常工作，必须满足0)lim(=txx状态误差向量的状态方程为xx)(xxHCAxx=&其解为)()(00)(0txtxexxttHCA=HyBuxHCAxCyxxHCBuxAx+=+=)(),(&,xAxBuyCx=+=&因为上两式想减得：当时，恒有，输出反馈不起作用；当时，有，输出反馈便起作用，这时只要观测器的极点具有负实部，状态误差向量总会按指数衰减
27、，衰减速率取决于观测器的极点配置。)()(00txtx=)()(txtx=)()(txtx)()(txtx设计定理若系统可观测，则可用全维观测器来给出状态估值，矩阵H可按极点配置的需要来设计，以决定状态估计误差衰减的速率。实际选择H阵参数时，既要防止状态反馈失真，又要防止数值过大导致饱和效应和噪声加剧等，通常希望观测器的响应速度比状态反馈系统的响应速度快310倍为好。),(CBAHyBuxHCAxxHCBuxAx+=+=)()(&例 设受控对象传递函数为，试设计全维状态观测器，将其极点配置在10，10。)2)(1(2)()(+=sssusy解该单输入单输出系统传递函数无零极点对消，故系统可控可
28、观测。若写出其可控标准型实现，则有由于，输出反馈H为矩阵。全维观测器的系统矩阵为观测器的特征方程为期望特征方程为02,10,3210=cbA1,2=qn)12(=322120232101010hhhhHCA0)226()32()(1002=+=hhhHCAI010020)10(22=+=+由特征方程同幂系数相等可得5.23,5.810=hh分别为由引至的反馈系数。一般来说，如果给定的系统模型是传递函数，建议按可观标准型实现较好，这样观测器的极点总可以任意配置，从而达到满意的效果，若用可控标准型实现，则观测器设计往往会失败。10,hh)(yy 21xx&、六、七、八章典型例题六、七、八章典型例题
29、y2A24MNAA=希望输出频率，的近似正弦信号，确定k,a其中（）=Y(t)U(t)2a1s(1)ks s+1-1-例：2(1)()ImG()02a4()2()2414Re()|Re10()4431.4yaks ssajaU sY sAAkAG jN Ak=+=线性部分传递函数为G(s)=绘制图形可知，交点在负实轴上故，例：例：00011000001xaxubcyd x =+=1、求当系统可控又可观时，a,b,c,d应满足的条件2、系统是否渐进稳定？可否输入-输出稳定？此时a,b,c,d条件1120det0a,0,02)det()()0s10,(1)0,1,0()()G()1)detnnBA
30、BABCCAb bc cdCAsIAs sa sbcdsacd sbbacdas sa sbcdssa=+=LM不是渐进稳定 由G(s)=知，若取则可输入输出稳定 试用状态反馈的方法，使系统具有过渡过程时间为试用状态反馈的方法，使系统具有过渡过程时间为5.56s，超调量，超调量4.32%,在在单位阶跃信号作用下无稳态误差的性能指标，设一个闭环特征根为单位阶跃信号作用下无稳态误差的性能指标，设一个闭环特征根为s=-5，求：，求：状态反馈阵状态反馈阵 画出系统状态反馈结构图（要求标出各状态量）画出系统状态反馈结构图（要求标出各状态量）求求K的值的值 讨论讨论K的值对闭环系统稳定性的影响。的值对闭环
31、系统稳定性的影响。K)(sR21s+55s+1sY()s1X()s2X()s3X()s例：112332132010005500012103K,%6.48.0750.50.1070.2det()10A3)()(),6.48.07r50nsBABABkkktssssIABKKKKG sC sIAxxuyxankBKBsss =+=+=+=+L，能控。设反馈阵由得：期望多项式为由，比较系数得K=无稳且态误差，A0.5K10.2140.44)A=由传递函数知，不应影响闭环极点，对稳定性没有影响例：某单位负反馈位置随动系统，受控系统开环传函为：例：某单位负反馈位置随动系统，受控系统开环传函为：确定：确定
32、：1、确定反馈增益阵，使得阻尼比为、确定反馈增益阵，使得阻尼比为0.707，无阻尼自振角频，无阻尼自振角频率率20rad/s2、如用输出反馈，能否达到上述效果。、如用输出反馈，能否达到上述效果。9()(2)G ss s=+n1,22121221010021900.70720,s14.1414.1428.28400Kdet()40026.282us1detdet2992xxuyxjsskksIABKkkrhyrCXABhCsshks=+=+=+=+由，知令、则，比较系数，知无法达到111020212X,K23,XxxuyxVV=+=+=1、设计全维观测器，极点配置为-3，-4，写出观测器表达式、取状态反馈u=K其中是参考输入，为状态估计值 求此时的闭环传递函数例：注意：注意：1、状态观测方程、状态观测方程x()xy.AGCbUG=+=12X VB+=u=K，带状态观测器的状态反馈系统的传递函数和采用真实状态的状态反馈系统的传递函数完全一样G(s)=CsI-(A+BK)、状态反馈
