1、2015年数学（二）真题解析一一、选择题选择题（1）【答案答案】（D）.【解解】方法一方法一f+8 J 丁 I 4-f+J 丁由|=2=+得|丁3 发散；由肛dr=+亦工=+丙得肛山 发散；J 2 X Z I 2 J 2 Xf+1 1+8 f 4-00 1由|-dj;=In In j?=+oo 得|-dz 发散，故应选（D）.J 2 j;In I 2 J 2 jcx x方法二方法二rC+8 丁 C+8 2 丁+8 丁由 一dx=x x dj?=r（2）=1且 一dr为正常积分得 一djr收敛，故应选（D）.Joe，Jo Joe J 2 ex（2）【答案答案】（B）.厶沁./Sin t sn-I
2、 I【解解】/（x）=lim 1+-）=e（_zH0）,显然fCx）在尤=0处没有定义，因为Iim/（J7）=1,所以x Q为可去间断点，应选（B）.T-*0方法点评：本题综合考查重要极限及函数间断点的分类.先根据重要极限的计算方法求出/（工），再求出函数的间断点，最后判断间断点所属的 类型.【答案】（A）.【解解】lim=limcos-y,工-0 x 才o 工卩当 a 1 时,/（0）存在，且/（0）=0；x H 0 时，ff（jc）=axax cos 厶+sin 当 9工卩 JC-若 在 _z=0 处连续，则 a l,a B 一 l0,即 a 01,应选（A）.（4）【答案答案】（C）.【
3、解解】设f工）=0左边的零点为x=a,右边的零点为x=b,又=0处fO 不存在.因为x=a的左右两侧fx）都大于零，所以（a,/（a）不是拐点；因为x=0左右两侧）异号，所以（0,/（0）为拐点；因为攵=b左右两侧）异号，所以Cb,/（6）为拐点，故y）有两个拐点，应选（C）.141 淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及 二阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲 线上对应的点为拐点.（5）【答案答案】（D）.+y-=U 9【解解】令V解得工U二号，则u十1Q+1Q“2M2(1 一 V)5+1
4、)2(u+1)21+uOf2w(1 一 v)af 223u1+Vdv U(1+v)2:v=1=0,l?1u=1 nv=乙，应选（D）.（6）【答案答案】（B）.7C 1*希）侧【解解】=rcos(9,=rsin 67TT3/sin 201_f Geos 9,rsin(9)rdr，应选(E).jjfdy=；D 7（7）【答案答案】（D）.【解解】因为AX=b有无数个解，所以r（A）=r（A）由|A|=（a 1）（a 一 2）=0 得 a当a=1=1,a 2,0且A0,所以乂 一 0 为极小值点，极小值为/（o,-l）=-l.了=145 淘宝店铺：光速考研工作室X=一 1，(18)r解解】由由八八
5、2】因为区域D关于轴对称，所以jjjr(+3/)dx d_y=jjjr 2 dx dj/,D D=1 9y=1,故j=x(x+)dx djy=2JJ jr2 djr dyDx 2 a/2 x2 djr 一 2 0-282施cos t 施cos tdt-5T2504 sin21 cos21 ck-=2 I 4 sin2 2tdt-f-o 52 sinLck-=4 sin22zd(2)-J o 501 7t 2 7t 2一 x_=_2 2 5 4 5(19)解】由/z(j?)=Vl+x2+2jc Vl+2=(2j?1)/l+j?2=0 得 x=y当 y时，于(工)*时，厂(工)0,则工=*为极小值
6、点,极小值/(*)=；丿1+八山-J；yiTTdf 0 9 lim f O0 9J-00 J._|_oo所以于(工)有两个零点，一个在(一*,*)之间，另一个为工=1.方法点评：本题考查函数零点的讨论.讨论函数零点个数或方程的根的个数一般分如下三个步骤：第一步，求出函数的定义域；第二步，求出函数的驻点及不可导点，从而求出函数的极值及单调性；第三步，求函数在极值点两侧的变化趋势，根据函数的图像求出函数零点个数.(20)【解解】设/时刻物体的温度为T(t),由题意得1T=-kT(t)20以 0),dr整理得+kT=20k，解得 7(0=(*20&山+C)皿=Ce+20.(C+20=120，In 1
7、0由 T(0)=120,T(30)=30 得 观 解得 C=lQQ,kIC 叫+20=30,30In 10 in 10即 T(t)=100冇+20,当 T=21 时，由 21=100祈+20 得 t=60,故还需要冷却30分钟，物体的温度才可降到21C.146 淘宝店铺：光速考研工作室（21）【证明】切线方程为夕=y（b）（工b）+f（b）,切线与工轴的交点为心需,0），即工。=5 需因为/(J7)0,所以 f(b)f(a)=0,故 b 5）5）a 等价于 6/(6)-/(6)af,令(p(x)=xfx)一/(rr)af(.x)=(x 一 a)f l工)fCx),因为 f(a)=0,所以 cp
8、(工)=(_z a)/z(j;)_f(.jc)一/(a)=(z a)y(_z)(x 一 a)y(w)=(工 一 a)_fr Cx)一 _/()(a V g V z),因为fx)0,所以fQ)单调增加，从而/(.)/(),于是卩(工)0(a Vz Vb),取工=庆则 bfb)f(b)afb),即一5）a,故 a E)=010010-0100101020001100I10020010010、001100/147 淘宝店铺：光速考研工作室/2 0-1得(E-A2)-1=0 1 010 0/2 1 1 /2 0故 X=1 1-10 11 1 0 八八1 0方法点评：本题考查未知矩阵的求法.求未知矩阵一
9、般分如下情形：情形一：将矩阵关系式化简为AX=B,且A可逆，则X情形二：将矩阵关系式化简为AXB,其中A不可逆或A不是方阵，此时利用方程组求 解的方式求出未知矩阵X；情形三：用特征值与特征向量及矩阵对角化的方法求未知矩阵.(23)【解解】(I)因为AB,所以 l|A|=|B|,.工a+3=6+2,从而L 解得a=4,6=5.2a 3=6,(U)因为A所以的特征值相同，A 1 2 0由|AE-B|=0 A-5 0=(A-1)2(A-5)=0,得0-3 A-1A,B的特征值为入i=入2=1，入3=5.将人=1 代入QE A)X=0,即(E A)X=0,征向量为a=lj,a2=t/1-23 Z1-2 3由 E-A=1-23-000，得A的属于特征值入=1的线性无关的特123/o0将 A=5 代入QE A）X=0,即（5E A）X=0,I 5-23/!-2_1Z1-2由 5E-A=123 123 r 04121-23/o8/I04 r 011,得8/o0QA的属于特征值入/2 3 1/I 0 0令 P=1 0-1,则 PTap=o 1 0o 1 1 o 0 5148 淘宝店铺：光速考研工作室
