1、2023年11月Nov.2023文章编号：10 0 1-42 17(2 0 2 3)0 4-0 0 0 9-11汕头大学学报（自然科学版）Journal of Shantou University(Natural Science)第38 卷第4期Vol.38 No.4关于Ostrowski-Griss 型不等式的注记时统业1，曾志红，曹俊飞3（1.海军指挥学院，江苏南京2 118 0 0；2.广东第二师范学院学报编辑部，广东广州510 30 3；3.广东第二师范学院数学学院，广东广州510 30 3）摘要研究在导函数属于La,b情况下的Ostrowski型不等式和Ostrowski-Gruis
2、s型不等式.在一阶导函数属于La,b情况下，利用预Gruiss不等式和引人参数求最值的方法，建立了带有一个参数的Ostrowski型不等式.通过建立与Chebychev泛函有关的不等式，得到高阶导数属于La,b情况下的Ostrowski 型不等式以及涉及一个函数的积分均值与其在一个子区间上的均值的差值的估计.作为特例，得到已有平均中点和梯形不等式的加强。关键词Gruiss不等式；Ostrowski-Gruiss型不等式；Ostrowski型不等式；可微函数中图分类号0 17 8文献标识码A1 引 言Griuiss不等式2 9%和Ostrowski不等式2 是两个经典的积分不等式，在数值积分、概
3、率与优化理论、随机分析、积分算子理论等方面有着广泛应用.Ostrowski不等式是利用一阶导数的界给出函数值与函数平均值的差的估计.Griss 不等式利用函数的上界和下界给出Chebychev泛函的估计.学者们通过使用Griss不等式和Ostrowski不等式得到许多新的结果.Dragomir和Wang3使用Griss不等式率先建立了Ostrowski-Gruiss型不等式，我们从中获得启示：利用关于Chebychev泛函的恒等式和不等式，可以建立在不同条件下的Ostrowski-Griss型不等式.本文利用预Griuss不等式和引人参数求最值的方法，给出Dragomir等4建立的一个Ostr
4、owski-Gruss型不等式的加细.本文还建立了一个新的关于Chebychev泛函的不等式，并给出其应用.设函数f、g 和fg在a,b上可积，Chebychev泛函定义为6f(t)dtb-a1935 年，Gruiss/29%证明了收稿日期：2 0 2 3-0 4-11作者简介：时统业（19 6 3一），男，河北张家口人，硕士，副教授，研究方向：数学不等式.E-mail：s h t y c i t y s i n a.c o m基金项目：广东省基础与应用基础研究项目（2 0 2 1A1515010055）；广东省重点建设学科科研能力提升项目（2 0 2 1ZD JS0 55）；广东省普通高校科
5、研重点平台和项目重点领域专项（2 0 2 3ZDZX4042）；广州市海珠区科技计划项目（海珠工商信计2 0 2 2-37）1b-a10其中f和g在a,b上可积，ifTi，2 g T 2.Matic等5证明了Cerone 和 Dragomirlo称式(1)为预 Gruiss 不等式.从 Griss 不等式的证明过程可知有1938年，Ostrowski2证明了著名的积分不等式,f(t)dt(b-a)f(x）b-a其中f是a,b上的可微函数，对任意x=a,b有|f(x)|M.为方便起见，在下文中记La,b=h:a,bR1.fl=VFm(t)dt,Qn=T(f(n),f(m)=b-aJ(f;x):r
6、(x)+(x-a)(a)+(b-x)(b)2I.(f;x)=(1-)(x)+f(a+b-x)+(a)+(b)P(h;x)=(b-a)V(x-a)(b-x)1997 年，Dragomir 和Wang:利用Montgomery 恒等式u6s1f(x)b-a和Gruss不等式首次建立了Ostrowski-Gruiss型不等式(b)-f(a)(x)-(x-4th)2其中函数f在a,b上可微，且fI，f e Li a,b.式(4)包含一阶导数f的上界和下界，这比包含函数|f的上界更精确.文献7 把式(4)的右边加强为等8 利用积分恒等式和预Griss不等式(1)给出式(4)的改进和推广汕头大学学报（自然
7、科学版）1 T(f,g)/(Ti-i)(T2-2),4IT(f.g)I_ VT(g.g).2IT(f.F)(Ti-1),IT(f,g)/VT(f,f)T(g,g).+4h2(t)dtP2(g;x).对任意常数8，令=8+利用式(3)有T(h(,8),g)VT(hi(.,8),h(,8)T(g,g),因为T(h(,),g)-T(h.g)+2P(si)V(x-a)(b-)=T(h,g)-P(h;x)P(gix)+2npP(six)V(x-a(b-x),T(h(,s),h(,)=T,(x)+4(x=a)(b=),m?(b-a)2其中T(x)=T(h,h)-P2(h;x)，将式(14)、（15)代入式
8、(13)得T(h,g)-P(h;x)P(g;x)(n),其中p(m)为求(n)的最小值，求导得(b-a)2解得(n)有唯一驻点 no=因为()-(2-)(a)T(g.()+4(2),(b-a)2(n)在点mo处取得最小值(no)=VT(x)T(g,g)-P(g;x)丁.在式(16)中取n=no得T(h,g)-P(h;x)P(g;x)VT(h,h)-P(h;x)T(g,g)-P(g;x)T.(17)用(-h)替代式(17)中的 h得T(h,g)-P(h;x)P(g;x)-VT(h,h)-P(h;x)T(g,g)-P(g;x)T,时统业等：关于Ostrowski-Gruss型不等式的注记T(h,g
9、)-P(h;x)P(g;x)=1h(t)dtg(t)dtx-ab-xb1h(t)x-ah(t)dtg(t)dt(b-a)P(h;x)2V(x-a)(b-x)h(t)-8,tea,x);hi(t,)=(h(t)+8,t ex,b.b-ab-aT;(x)+4(x=a(b-x)n(b-a)2b-a2V(x-a)(b-x)VT(g,g)-P(g;x)(b-a)2131bh(t)dt1g(s)dsdt+X1bh(t)dtg(t)dt=0,b-x，定义函数2r.g.8)-2Vg-p(g x)n.(b-a)2V(x-a)(b-x)(b-a)2mP(g;x)VT,(x)(t)dth(t)g(s)dsdt-b-
10、x-P(g;x),(b-a)320,故(18)(13)(14)(15)(16)14由式(17)和式(18)知式(12)成立.推论1设h、h、g、g 和 hg是a,b上的可积函数，则对任意xe（a,b)有IT(h,g)|VT(h,h)-P(h;x)T(g,g)-P(g;x)T+P(h;x)P(g;x)证明 利用不等式|A|-|B|A-B|和(A-B)(C-D)(AC-BD)即可得证.推论2 设h、h、g、g 和 hg 是a,b上的可积函数，且g关于“tb对称，则有IT(h,g)/1T(h,h)-(b-a)2证明在引理2 中取x=a+b即可得证.2注1 在引理2 中令xa,则 P(h;xt)=V(
11、x-(b-x)1h(t)dt0,同理有 P(g;x)0,由式(12)得|T(h,g)|VT(h,h)T(g,g).x-a2主要结果定理1设函数f在a,b上绝对连续，且f=La,b，=0,1，则对任意XEa+ab_a,a+b22II,(f;x)-v,(x)T|VL(Q-T),其中V如式(11)所定义，3v;(x)=(1-元)x+(a4(b-a)22-a(1-2)(x-a)L=V-(v;(x)2=48证明对任意常数8，定义函数b-at-a28汕头大学学报（自然科学版）VT(h,h)T(g,g).b4h(t)dt-a+b2有1b4第38 卷2a+b2h(t)dt1b-ab-x1a+b2ff(a)-f
12、(b)b-a2a+b2tea,x,T(g,g).h(t)dt-(19)ta+b8,2H(x,t;1;8)=a+b+8,2b-a+8,2利用式(3)得tEXa+b2a+bte,a+b-x2te(a+b-x,bl,第4期1b-a因为b1H(x,t;a;8)f(t)dt=b-a1b-a1bT(f.f):f(t)Pdt-b-ab1T(H(x,t;a;e),H(x,t;a;8)b-a2-2v,(x)+V=m?+L,其中m=8-v(x).综合式(2 0)-(2 4)，对任意常数m有I(f;x)-v(x)T VQ(n+L)+Tn=:(n).在引理1中取h=F，x=b，得Q,.当Q时，我们求6(n)的最小值。
13、20(n)=V0+T,(n)=LV(n+L)0.Vm+Ls(n)=0 有唯一解 mi=-TVL，则 9(n)在 m=m 处有最小值s(n)=VL(0l-T).VQi-T?在式(2 5)中取n=mi得I,(f;x)-v.(x)T VL(Qr-T).当T=Q时，(m)=T(V+），-8 时(n)0,在式(2 5)中令-8 知式(2 6)也成立.当T=-VQ时，(n)=T(-V+L)，+时(n)0，在式(25)中令+知式(2 6)也成立.对(-f)应用式(2 6)则得I,(f;x)-v.(x)T-VL(Qi-T).综合式(2 6)和式(2 7），则式(19)得证.注2 比较式(19)和式(10），显
14、然式(19)的右边小于或等于式(10)的右边.推论3设函数f在a,b上绝对连续，且fLa,b，=0,1，v(x)、T、L如定理1所定义，V如式(1)所定义.若T，则对任意xa+,2IL,(f;x)/v(x)T/+VV-(v(x)?(Q-T)VVQ/.I(fi;x)-v(x)T/VL(O,-T)_VL_VV.证明利用绝对值的三角不等式，由式(19)即可得到式(2 8)的左边不等式.由乘积型Minkowski不等式知式(2 8)的右边不等式成立.时统业等：关于Ostrowski-Gruiss型不等式的注记b1H(x,t;a;s)f(t)dt-H(x,t;A;)dtb-aVT(H(x,t;a;e),
15、H(x,t;a;8)T(f,f),1b-abH(x,t;A;8)dt=0,1b-aH(x,t;A;8)Pdt-2151bbK(x,t;a)f(t)dt-Ts=I(f;x)-Ts,f(t)dt)b-af(t)dt=Q1，1bH(x,t;A;8)dt2b-a(24)(25)(26)(27)，有2(28)(29)2(20)(21)(22)(23)16利用式(2)有1Q1b-a由定理1，式(2 9)成立.推论4设函数f在a,b上绝对连续，且f=La,b.T如定理1所定义，则对任意a+bXEa2f(x)+f(a+b-x)2特别地，若取x=a，则得平均中点和梯形不等式：式(30)强于式(8)（文献13推论
16、1中的不等式(2.10).若x=3+取，则得到强于文献14推论2.9 中的梯形不等式4f3a+b4证明在定理1中取入=0 即可得证.推论5设函数f在a,b上绝对连续，且feLa,b.T如定理1所定义，则对任意3a+b,a+bXE有42f(x)+f(a+b-x)4(b-a)2192特别地，取x=34+，得41 f(a)+f(b)42证明在定理1中取入=即可得证。2定理2 设f:a,bR，f(u -1在a,b上绝对连续，且f()eLa,b，则有I K,(x)/-1(b-a)(x-a)(b-x)其中汕头大学学报（自然科学版）12dt1（t有X3a+b4+.F(b）b-aa+3b14b-aa+bX2a
17、+bb-a213a+bX4a+b2b-aVQi-T28V3VH.(x).n!(x-a)f(u-1(b)+(b-x)f(n-1)(a)-(b-a)fan-1(x)?,第38 卷b-a)dt6-af(t)dt：f(t)dtx-a.f(a)+f(b)b-a2(Qi-T2)b-a44V33a+ba+3b44b-a4V3b-a/Qi-T?4V3b-a/Qi-14V31b-aQi-T?1f(t)dtb-aO1T2dt(30)(32)第4期(b-x)f(n-1(b)-f(n-I(x)1+(-1)(x-a)f(n-1(x)-f(n-1(a)lH,(x)=(x-a)*l-(x-b)1+/(n+1)(b-a)(x
18、-a)-(x-b)2(x-a)(b-x)(n+1)(b-a)(t-a),tea,t);n！证明在引理2 中取h(t)=(t-b),te x,b,n!推论6 设函数f在a,b上绝对连续，且fLa,b，则对任意xe（a,b)，有(b_a-(x-a)(b-x)IJ(f;x)/-2其中证明在定理2 中取n=1即可得证.注3若fT，则由推论5得|(f;x)|-4不等式弱于式(7)，因为有4b_g-(x-a)(b-x)(x-g(t-(b(r-).3注4 在式(31)中取x：a+b也可得到式(30).2定理3设f是a,b上的绝对连续函数，且f=La,b.acdb.则有f(t)dt-b-ad-c1b-a-(d
19、-c)_(c-a)(b-d)X23Ve-Ld-arb+b-ro-b-arar(b-a)(d-a)(b-d)证明定义核a-tb-aa-tKc.a(t)=,t Ec,d;b-ad-cb-tt ed,b,b-a由文献16 中的引理3和定理2.4 有时统业等：关于Ostrowski-Gruiss型不等式的注记(b-x)1+(-1)*(x-a)+11K,(x)=f(x)b-ak=1(n+1)!(b-a)2(2n+1)(b-a)3D=f(x)-b-a(c-a)(d)-(a)-(b-d)(b)-f(a)1f(t)dt+217-f(k)(x)+(k+1)!1b-a(x-a)n+1-(x-b)n+12n(x-a
20、)2n+1-(x-b)n+1(n+1)2(2n+1)(b-a)g(t)=f(m)(t)即可得证.D?Q1(x-a)(b-x)b-xf(a)f(t)dt,(31)x-af(b).b-a(b-a)-(x-a)(b-x),此38(b-a)d-ab-ad-at e a,cl;18T(Kc.d,f)经计算可得P(Kc.d;d)=2(b-a)V(d-a)(b-d)在引理2 中取h(t)=Kc.a(t)，g(t)=f(t)，则式(32)得证.注5在定理3中取c=x，d x，可得式(31).参考文献1 MITRINOVICDS,PECARICJE,FINK A M.Inequalities for funct
21、ions and theirintegrals and derivativesM.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1994:296,565.2 OSTROWSKI A.Uber die absolute abweichung einer differentiebaren funktion von ihren integralmittelwertJ.Commentari Mathematici Helvetici,1938,10(1):226-227.3 DRAGOMIR S S,WANG S.An inequality of Ostrowski-Gru
22、ss type and its applications to the estimation oferror bounds for some special means and for some numerical quadrature rulesJJ.Computers and Mathematicswith Applications,1997,33(11):15-20.4 DRAGOMIR S S,KHAN A R,KHAN M,et al.A new integral version of generalized Ostrowski-Grisstype inequality with a
23、pplicationsJ.Journal of King Saud University-Science,2022,34(5):1-6.5 MATIC M,PECARICJ,UJEVIC N.On new estimation ofthe remainder in generalized Taylors formulaJ.Mathematical Inequalities and Applications,1999,2(3):343-361.6 CERONE P,DRAGOMIR S S.Three point quadrature rules involving,at most,a firs
24、t derivativeEB/OL.RGMIA research report collection.1999,2(4):1-64.https:/vuir.vu.edu.au/id/eprint/17231.7时统业，曾志红：若干Ostrowski型双边不等式J.温州大学学报（自然科学版），2 0 2 2，43（4)：1-10.8 MATIC M,PEVCARICJ,UJEVIC N.Improvement and further generalization of inequalities of Ostrowski-Gruss typeJJ.Computers and Mathematics
25、 with Applications,2000,39(3/4):161-175.9 BARNETT N S,DRAGOMIR S S,SOFO A.Better bounds for an inequality of the Ostrowski type withapplicationsJJ.Demonstratio Mathematica,2001,34(3):533-542.10 CHENG X L.Improvement of some Ostrowski-Griss type inequalitiesJ.Computers and Mathematicswith Application
26、s,2001,42(1/2):109-114.11时统业，曾志红.Ostrowski型和Ostrowski-Gruss型不等式的加强J.湖南理工学院学报（自然科学版),2 0 2 2，35(4)：1-8.12曾志红，时统业，张然然一个Ostrowski-Griss 型不等式的加强和推广.韩山师范学院学报，2021,42(6):1-10+42.13 ZAFAR F,MIR N A.A Generalization of Ostrowski-Gruiss type inequality for first differentiablemappingsJ.Tamsui Oxford Journal
27、of Mathematical Sciences,2010,26(1):61-76.14 LIU W J.New bounds for the companion of Ostrowskis inequality and applications.Filomat,2014,28(1):167-178.汕头大学学报（自然科学版）b1f(t)dtb-aT(Ked,Ke.a)=(b=a+c-d)2(b-d)(c-a),P(;d)=(d-a)rb)+(b=d)a)-(b-a)(d),第38 卷1f(t)dt-a+b_c-d f(b)-f(a)d-c12(b-a)2(b-a)V(d-a)(b-d)2b-
28、a第4期15 DRAGOMIR S S.Some companions of Ostrowskis inequality for absolutely continuous functions andapplicationsJJ.Bulletin of the Korean Mathematical Society,2005,42(2):213-230.16 HWANG D Y,DRAGOMIR S S.Some results on comparing two integral means for absolutely continuousfunctions and applications
29、JJ.Bulletin of the Australian Mathematical Society,2014,90(2):264-274.时统业等：关于Ostrowski-Gruiss型不等式的注记19A Note on Ostrowski-Griss Type InequalitiesSHI Tongye,ZENG Zhihong,CAO Junfei3(1.PLA Naval Command College,Nanjing 211800,Jiangsu,China;2.Editorial Department of Journal,Guangdong University of Educ
30、ation,Guangzhou 510303,Guangdong,China;3.School of Mathematics,Guangdong University of Education,Guangzhou 510303,Guangdong,China)Abstract Ostrowski type inequality and Ostrowski-Gruss type inequality in the case of derivativefunction belonging to La,b are studied.In the case that 1st derivative bel
31、ongs to Lia,b,anOstrowski type inequality with one parameter is established by using the pre-Griuss inequalityand the method of introducing parameters to find the optimal value.By establishing the inequalityassociated with Chebychev functional,Ostrowski type inequality is obtained for the case where
32、the higher-order derivatives belong to La,b and the estimation for the difference between theintegral mean of a function and its mean over a subinterval.As a special case,the existing meanmidpoint and trapezoidal inequality are strengthened.Keywords Gruiss inequality;Ostrowski-Griss type inequality;Ostrowski-type inequality;differentiable function
