1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第五章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,思维脉络,1.了解复合函数的概念.(数学抽象)2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算),课前篇 自主预习,【激趣诱思】我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,是把两个或几个函数“复合”起来.怎样“复合”呢?复合后的函数怎样求导呢?本节课就让我们来解决这些问题
2、.,【知识梳理】,1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成 x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x).2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,名师点析 求复合函数的导数需注意以下几点:(1)中间变量的选择应是基本函数结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
3、(4)善于把一部分表达式作为一个整体;(5)最后要把中间变量,微思考函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?提示 是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.微练习(1)函数y=sin 4x的导数为.(2)函数 的导数为.,课堂篇 探究学习,例1求下列函数的导数:(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-);(3)y=ln(4x-1);(4)y=e 2.分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.,反思感悟 复合函数求导的步骤,解(1)令u=3x-2,则y=10u,所以yx=yuux=10uln 10(3
4、x-2)=3103x-2ln 10.,易错警示 此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.,变式训练 2求下列函数的导数:(1)y=sin 2x+cos 2x;,等价转化思想在导数几何意义中的应用典例 已知P是曲线y=f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.审题视角所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直
5、线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.,方法点睛这类“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.,变式训练 曲线y=ln(2x-1)上的点到直
6、线2x-y+3=0的最短距离是(),答案 A,解析 由题意,曲线y=ln(2x-1)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线2x-y+3=0的距离最短.设切点坐标为(x0,y0).,1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是()A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1答案 A,2.(2020黑龙江大庆实验中学高二期末)已知f(x)=sin 2x+e2x,则f(x)=()A.2cos 2x+2e2xB.cos 2x+e2xC.2sin 2x+2e2xD.sin 2x+e2x答案 A解析 因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.,3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f(2)=-1,则a=(),答案 A,答案 A,5.(2020江苏宿迁高二期中)函数y=(2x+1)2在x=0处的导数为()A.0B.1C.3D.4答案 D解析 因为y=4(2x+1),所以函数y=(2x+1)2在x=0处的导数为41=4.故选D.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,
