1、高一年级 数学,直线与平面垂直的性质及应用,主讲人 马旭,北京市顺义牛栏山第一中学,根据已有经验，我们可以探究直线a与平面内的直线的关系，但是由定义，a与内的所有直线都垂直，所以我们可以探究a、与其他直线或平面的关系,想一想 在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行吗？在空间中呢？,空间中，垂直于同一平面的两条直线平行吗？,观 察：（1）如图，在长方体 中，棱，所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间 具有什么位置关系呢？,是否平行呢？,（2）如图，已知直线a，b和平面 如果a，b，那么直线a，b一定平行吗？,平行吗？,同学们，你打算怎样证明它呢？想一想，证明两条直线平行的方法有哪些呢？什么方法
2、适合本题目呢？,（2）如图，已知直线a，b和平面 如果a，b，那么直线a，b一定平行吗？,由于无法把两条直线a，b归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”,（2）证明：如图，假设b与a不平行，且 显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O做直线/a，则直线b与 是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与 可以确定一个平面,反证法,设=c，则Oc a，b，ac，bc 又/a，c 这样在平面内，经过直线c上同一点O 就有两条直线b，与c垂直，显然不可
3、能，所以假设不成立，因此b/a,上述证明过程就是反证法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立 反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法往往会收到更好的效果,方法2 证明：如图，假设b与a不平行，且 显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定 一个平面，在内过点O做 直线/a，则 因为b，且，这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾所以假设不成立，因此b/a,定理 垂直于同一个平面的两条直线平行,直线与平面垂直的性质定理：,直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由
4、两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行 定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系,选一选 1.直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一个平面；（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一个平面；（D）l1平行于l2所在的平面,C,2.两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）（A）两个角均为锐角（B）一个角为0，一个角为90（C）两个角均为0（D）两个角均为90,选一选,D,证一证,3.如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，EF平面ABCD，且EF=PD，G，H分别为PC，DC中点 求证：FG/平面ABCD,分析：要证F
5、G/平面ABCD，只需证FG/EH，只需证四边形EFGH为平行四边形,证明：PD平面ABCD，EF平面ABCD，由线面垂直性质定理，EF/PD 又 G，H分别为PC，DC中点，GH为PCD中位线 GH/PD，且GH=PD又 EF=PD，EF/GH，且EF=GH,故四边形EFGH为平行四边形 FG/EH 又 FG 平面ABCD，EH 平面ABCD，由线面平行判定定理，FG/平面ABCD,请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？,共有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行,证明：直线b在平面外，假设b与相交 若b，因为a，则有a/b，这与已知ab矛盾；,思考：在a
6、的条件下，如果平面外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？,直线b平行平面,若b与不垂直，设 如图，取直线b上一点P，作PO，垂足为O连接AO，则有PO/a，且POAO 又 ab，POb 显然不成立 综上，假设不成立 所以b/,如果平面与平面平行，你又能得到什么结论呢？,直线a垂直平面,证明：在平面内任取两条相交直线m，n/，m/，n/在平面内存在两条相交直线，分别与 m，n平行,a，am且an，又，是平面内两条相交直线，a,同样的，我们可以把结论这样描述：,已知 a，若/，则a,分析：要证明直线l上各点到平面的距离都相等，只需证明直线l上任意两个点，到平面的距离相等,例题 如图，直线l
7、平行于平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等,证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线 AA1，BB1，垂足分别为A1，B1 AA1，BB1，AA1/BB1 于是直线AA1，BB1确定 一个平面,设直线AA1，BB1确定的平面为，=A1B1 l/，l/A1B1 四边形AA1B1B是矩形 AA1=BB1 由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等,一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离,算一算,已知长方体ABC
8、D-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1（1）直线A1B1到平面ABCD的距离 为_；（2）直线A1A到平面BCC1B1的距离 为_；,2,1,算一算,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1（3）直线CC1到平面BB1D1D的距离 为_；,关键确定直线CC1上一点及它到平面BB1D1D的垂线段,解：过点C作CHBD，垂足为H B1B底面ABCD，B1BCH 又 B1B BD=B，CH平面BB1D1D 在RtBCD中，CH=，所以直线CC1到平面BB1D1D的距离为,算一算,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1（4）若E为A1B
9、1中点，判断直线A1C与平面BEC1是否平行，若平行，求出直线A1C到平面BEC1的距离；若不平行，请说明理由,解：A1C/平面BEC1，理由如下：连接B1C，与BC1交于点O，连接OE O，E分别是B1C，A1B1中点，OE/A1C 又 A1C 平面BEC1，OE 平面BEC1，A1C/平面BEC1,因为AB=2，BC=CC1=1，易知BEC1为正三角形过B1作B1HOE，垂足为H，则B1H为点B1到平面BEC1的距离，等于直线A1C到平面BEC1的距离在RtOB1E中，B1E=1，B1O=，OE=，利用等面积法得B1H=所以直线A1C到平面BEC1的距离 为,前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？,棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离,例题 推导棱台的体积公式：其中，分别是棱台的上、下底面面积，h是高,分析：棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积,
