1、Science and Technology&Innovation科技与创新2023 年 第 04 期21文章编号：2095-6835（2023）04-0021-03大范围运动悬臂梁理论模态计算与数值仿真李晨曦，王云海，丛 伟，陈 锋（山东交通学院航空学院，山东 济南 300357）摘要：飞行器运动过程中常存在沉浮、弯或扭等自由度，而经典的悬臂梁模型简化过多，因此在动力学仿真过程中，如模态计算中难以精确。为此，针对常见的伯努利-欧拉梁模型，首先将其拓展成为大范围运动悬臂梁模型，兼顾了机翼沉浮运动、机翼根部弯曲变形的情况。接着，借助整体坐标系与局部坐标系以及两者之间的联系，建立起较为真实的机翼结
2、构数学模型，并在此基础上基于理论方法和数值计算的方式获得了自由振动状态下的模态频率。算例表明，基于此提出的拓展悬臂梁模型，在小角度弯曲变形的情况下，理论方法的模态频率和基于 ANSYS 计算的模态频率结果高度一致，但 ANSYS 的模态结果中同时存在摆动方向上的模态信息，若增加摆动方向上的零位移约束，又会造成模态频率数值上的偏高，在工程应用中值得注意。关键词：模态理论；模态分析；悬臂梁模型；大范围空间运动中图分类号：O357.1文献标志码：ADOI：10.15913/ki.kjycx.2023.04.006飞行器运动过程中气动力引起结构变形，结构变形诱发附加气动力效应，构成了广为人知的气动弹性
3、耦合系统1。若结构子系统是线性的，利用模态叠加法求系统的响应无疑是最佳的方案2，其前提是获得结构自由振动条件下的模态数据（频率和模态振型）。但有时，需要先行确认结构子系统受力之后的平衡位置，然后再做模态分析3。经典的悬臂梁模型4，如伯努利-欧拉梁，是基于四阶偏微分方程的数学模型，不足以描述真实的飞行器机翼运动状态。本文拟以平面内大范围运动的悬臂梁模型5为研究对象，基于理论和数值仿真的方法研究其垂直平面内的运动模态。拓展后的梁模型可模拟出机翼根部的角位移以及飞行器整体沉浮运动带动机翼结构产生的位移。为此，首先建立全局坐标系和局部坐标系。然后，基于哈密顿原理构建结构运动方程，以理论推导的方式完成大
4、范围平面运动梁模型的模态计算。同时基于 ANSYS 仿真软件，讨论了三维空间运动形式下的悬臂梁模态计算，以及施加摆动方向零位移约束后的悬臂梁模态计算（垂直平面内的二维模态计算）。最后，讨论了拓展梁模型的理论模态结果和基于数值仿真计算的模态结果之间的差异，提出了建议。1空间悬臂梁结构建模图 1 是经典的悬臂梁模型，其中 W 为梁的挠度位移方向，L 为梁的长度，O 为坐标原点（固支约束条件），Y 为飞行器翼展方向，P 为翼梢部位受到的集中外载荷6，更常见的形式为分布式外载荷。图 1经典的悬臂梁模型飞行器的机身通常被视作刚体，它连同机翼部分一起做沉浮运动。机翼结构受空气外载荷分布力（力矩）的作用会绕
5、翼根产生角位移，同时产生纵向挠度位移曲线，如图 2 所示。图 2大范围运动悬臂梁结构示意图基金项目山东省博士科研基金项目（编号：BS2020022、Z202016）；山东省自然科学基金（编号：ZR2020MA061）；山东省高等教育青年创新科技计划（编号：2019KJJ009）OPLYW科技与创新Science and Technology&Innovation222023 年 第 04 期对于空间运动的悬臂梁模型7-8，为使问题描述变得简洁，本文选取 2 套坐标系统进行描述。具体地说，地面坐标系由1e?、2e?单位正交标架矢量所决定，机翼在翼根处的切线方向及其垂直方向构成了局部随体坐标系，由
6、1b?、1b?单位正交标架矢量所决定。描述机翼沉浮和转动的弹簧刚度分别定义为 ky和 k，机翼转动角定义为（t）。定义：OPR uyt?（，）02Ry te?（）12+r utu bv utb?（，）（，）根据矢量的仿射不变性，得到：212btuvbuetytyuR+=），（）（），（?（1）两套坐标系之间的变换为：=212121211000cossin-0sincoseeeebbbb基于小变形假设，有 sin。于是，式（1）关于时间的导数函数的线性部分为：2 butuvtytyuR?+=），（）（），（根据哈密顿原理：=+-LnctWVT0d）（2）这里，T、V、Wnc分别是系统的动能、势能
7、和非保守外力功，分别为：?ymLuvyAuvuAuvAJymTLLL21ddd212121222+=）（3）uuvEIkykVLyd21212122222+=（4）Wnc=0（自由振动问题）（5）式（3）（4）中：231mLJ=，为系统的转动惯量；EI为机翼梁模型的弹性刚度。将式（3）（5）代入式（2），依据哈密顿变分原理，得到如公式（6）所示的 3 个控制方程以及公式（7）所示的边界条件：=+=+=+0021d0d2144uvEIyAAuvAymLkuvuAJykuvAmLymLLy?）（6）=0000003322），（），（），（），（tLvutLvutvutv（7）2求解过程假设悬臂梁模
8、型做简谐运动，则有：=tititieYtyeteuVtuv）（）（）（），（8）式（8）中：V（u）、Y 分别为 3 个自由度运动方向的振幅；为系统的模态频率。考虑到（t）的转动效应，图 2 中的 P 点在2b方向的位移可表示为：+=uuVuW）（）（9）将式（8）和（9）代入微分方程组表征的拓展悬臂梁模型式（6）和式（7）中，即可通过求解获得飞行器悬臂梁系统简谐振动的模态解。3拓展模型与经典模型之间的联系本文采取的悬臂梁模型拓展了经典的悬臂梁模型，最主要的特征差异体现在自由度的增加，而经典悬臂梁模型的控制方程仅相当于本文多自由度悬臂梁模型式（6）的简化，注意到经典的情况下ux，有：44=+=
9、0y ttvAv EIx?（）0（）0（10）从式（10）可以看出，简化模型忽视了机身刚体运动、机翼绕翼根部位转动引起的惯性力对机翼横向位移的影响。关于式（9）的理论解，具有如下形式：+=uEIAcuEIAcuEIAcuW434241coshsincos）（-LyuuWALkAuEIAcdsinh2244）（11）关于式（10）的理论解，注意到ux，有：+=xEIAcxEIAcxEIAcxEIAcuV44434241sinhcoshsincos）（12）Science and Technology&Innovation科技与创新2023 年 第 04 期23将式（12）代入式（8）以及边界条件
10、式（7），并注意到00）（）（tty。当给定悬臂梁模型的结构参数，如表 1 所示，基于 Maple 程序求解得到系统的模态频率2f，结果如表 2 所示。表 1悬臂梁模型的结构参数长/mm185宽/mm10高/mm0.65密度/（gcm-2）7.80弹性模量/MPa21010泊松比0.3表 2模态频率理论值模态阶次模态频率/Hz文献结果/Hz14.912 673 0024.912 1230.787 196 1730.799 1386.205 040 7486.210 44168.927 474 3168.928 505 2将式（11）代入控制方程式（8）和边界条件式（7），不妨假设=1000Kt
11、ty）（）（，结构参数仍采用表 1 数据。基于 Maple 程序求解系统的一阶模态时，模态频率变为 4.855 Hz，与固支模型相比，降低了大约 1.17%。若取 K=0，则模态频率变为 4.818 4 Hz，降低了约 1.92%。4算例分析ANSYS 算例分析的空间悬臂梁模型，结构参数如表 1 所示，采用实体单元建模法（也可采用线体模型），结构网格尺寸设置为 0.65 mm，如图 3 所示。计算结果显示，空间梁模型出现了摆动方向上的频率，除此之外，模态计算结果和我们的理论值高度吻合，误差在 0.5%左右，如表 3 所示。图 3悬臂梁实体单元模型表 3基于 ANSYS 的空间梁模型的模态频率分
12、析模态阶次ANSYS 模态/Hz理论模态/Hz误差/（%）14.931 94.912 70.39230.90430.7870.38375.466486.54486.205（3 阶）0.395169.65168.927（4 阶）0.436173.11施加零位移约束条件如图 4 所示。图 4 显示，若追加 y 轴方向的零位移约束条件，仅获得基于 ANSYS软件的悬臂梁模型垂直平面内的模态频率结果。表 4给出了 ANSYS 软件模态结果与理论计算模态结果的差异，相对误差大约在 4.85%附近。图 4施加零位移约束条件（y 轴方向）表 4基于 ANSYS 的平面运动梁模型模态频率分析模态阶次ANSYS
13、 模态/Hz理论模态/Hz误差/（%）15.151 74.912 74.86232.28430.7874.86390.38786.2054.854177.10168.9274.845结论针对飞行器结构运动具有多自由度的特点，本文拓展了经典的悬臂梁模型，基于哈密顿原理建立了系统的控制方程和边界条件。在转动角位移是小量的情况下，柔性悬臂梁模型相比经典的固支悬臂梁模型，算例表明其模态频率略有下降，大约在 2%以内。此外，本文基于 ANSYS 软件建立了实体单元的固支悬臂梁模型。算例分析表明：固支条件下的空间梁模型会出现摆动方向上的频率信息。如果施加该方向的零约束条件，计算所得模态数据则会高于真实值，
14、算例误差可达 4.85%。综上所述，基于本文提出的拓展悬臂梁模型和理论分析方法，计算结果和 ANSYS 仿真结果高度一致。但是，ANSYS 软件会产生多余的模态信息。消除多余模态信息所施加的零位移约束，相当于提高了原始模型的刚度，从而带来了较大的误差，应引起注意。参考文献：1 DOWELL E H.气动弹性力学现代教程 M.北京：航空工业出版社，1991.2由于，张伟，高翔，等.基于模态叠加法的航空发动机轮盘振动特性研究 J.应用力学学报，2020，37（2）：661-665，934.3张家玮.初始载荷对梁力学性能非线性影响的研究D.兰州：兰州交通大学，2010.4周根华.连续梁横向振动模态分
15、析J.上海电力学院学报，1996，12（1）：48-53.5张腾飞.变结构柔性机械臂动力学建模仿真与样机优化M.镇江：江苏科技大学，2019.（下转第 26 页）xyzxyz科技与创新Science and Technology&Innovation262023 年 第 04 期图 1城际轨道交通收益三维关系由图表可知，目前城际轨道交通定价 41 元，收益值 304.71 万元，对比其他收益并不是最优票价，从收益最大化角度出发，在票价为 44 元时，城际轨道交通收益为 312.86 万元，在此票价下收益值最大化。4分析结论本文以城际轨道交通为研究对象，基于旅客出行影响因素建立广义费用，构造 L
16、ogit 客流分配模型，通过改变票价参数，计算城际轨道交通不同票价下的分担率，进而得到不同票价下的收益值，找到最优票价，将该分析方法应用于西铜城际轨道交通中，通过计算，结果表明：在西铜城际旅客主要以轨道交通出行为主，其次为城际巴士，最后为小汽车，这是因为城际轨道交通对比巴士具有速度快、安全性高的特点，对比小汽车具有价格低的特点，在各类交通方式中性价比最高；在城际旅客出行选择影响因素上，票价的影响程度较大，说明城际旅客对票价变化较为敏感；在通道内总客流不变下，城际轨道交通客流会随票价调整而变化，价格上涨客流量下降，相反客流量上涨；目前西铜城际轨道交通票价并不为最优票价，优化后的票价能够满足城际轨道交通企业收益最大化，企业应权衡利润与客流量，进一步调整票价。参考文献：1李文君，符卓.高速铁路客运需求弹性J.铁道科学与工程学报，2016，13（11）：2116-2124.2卞长志，陆化普.城市轨道交通和常规公交的票价博弈研究J.公路工程，2009，34（1）：49-52.3冯妍，李得伟.基于 Logit 模型的城际运输通道客运量分担率计算研究 J.铁道运输与经济，2016，38（4）：41-
