1、 2020 年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题专题 29 几何综合压轴问题几何综合压轴问题 一解答题（共一解答题（共 50 小题）小题）1（2020天水）性质探究 如图（1），在等腰三角形 ABC 中，ACB120，则底边 AB 与腰 AC 的长度之比为 3：1 理解运用（1）若顶角为 120的等腰三角形的周长为 4+23，则它的面积为 3；（2）如图（2），在四边形 EFGH 中，EFEGEH，在边 FG，GH 上分别取中点 M，N，连接 MN若FGH120，EF20，求线段 MN 的长 类比拓展 顶角为 2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 2sin：1 （用含 的式子表示）【分析
2、】性质探究：如图 1 中，过点 C 作 CDAB 于 D解直角三角形求出 AB（用 AC 表示）即可解决问题 理解运用：利用性质探究中的结论，设 CACBm，则 AB=3m，构建方程求出 m 即可解决问题 如图 2 中，连接 FH求出 FH，利用三角形中位线定理解决问题即可 类比拓展：利用等腰三角形的性质求出 AB 与 AC 的关系即可【解析】性质探究：如图 1 中，过点 C 作 CDAB 于 D CACB，ACB120，CDAB，AB30，ADBD，AB2AD2ACcos30=3AC，AB：AC=3：1 故答案为3：1 理解运用：（1）设 CACBm，则 AB=3m，由题意 2m+3m4+2
3、3，m2，ACCB2，AB23，ADDB=3，CDACsin301，SABC=12ABCD=3 故答案为3 （2）如图 2 中，连接 FH FGH120，EFEGEH，EFGEGF，EHGEGH，EFG+EHGEGF+EGHFGH120，FEH+EFG+EHG+FGH360，FEH360120120120，EFEH，EFH 是顶角为 120的等腰三角形，FH=3EF203，FMMGGNGH，MN=12FH103 类比拓展：如图 1 中，过点 C 作 CDAB 于 D CACB，ACB2，CDAB，AB30，ADBD，ACDBCD AB2AD2ACsin AB：AC2sin：1 故答案为 2si
4、n：1 2（2020青海）在ABC 中，ABAC，CGBA 交 BA 的延长线于点 G 特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 重合，另一条直角边恰好经过点 B通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，得到 BFCG请给予证明 猜想论证：（2）当三角尺沿 AC 方向移动到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边重合，另一条直角边交 BC于点 D，过点 D 作 DEBA 垂足为 E 此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长度，猜想并写出 DE、DF 与 CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想 联系拓展：（3）当三角
5、尺在图 2 的基础上沿 AC 方向继续移动到图 3 所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点C 不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【分析】（1）证明FABGAC 即可解决问题（2）结论：CGDE+DF利用面积法证明即可（3）结论不变，证明方法类似（2）【解答】（1）证明：如图 1 中，FG90，FABCAG，ABAC，FABGAC（AAS），FBCG （2）解：结论：CGDE+DF 理由：如图 2 中，连接 AD SABCSABD+SADC，DEAB，DFAC，CGAB，12ABCG=12ABDE+12ACDF，ABAC，CGDE+DF （3）解：结论不变
6、：CGDE+DF 理由：如图 3 中，连接 AD SABCSABD+SADC，DEAB，DFAC，CGAB，12ABCG=12ABDE+12ACDF，ABAC，CGDE+DF 3（2020河北）如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC=34点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且 AMCN2点 P 从点 M 出发沿折线 MBBN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点Q 在 AC 边上随 P 移动，且始终保持APQB（1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离；（2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部
7、分时，求 MP 的长；（3）设点 P 移动的路程为 x，当 0 x3 及 3x9 时，分别求点 P 到直线 AC 的距离（用含 x 的式子表示）；（4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界），扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒若 AK=94，请直接写出点 K 被扫描到的总时长 【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 H解直角三角形求出 AH 即可（2）利用相似三角形的性质求解即可（3）分两种情形：当 0 x3 时，当 3x9 时，分别画出图形求解即可（4）求出 CK 的长度，以及 CQ 的最大值，利用路程与速度的关系求解
8、即可【解析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 H ABAC，AHBC，BHCH4，BC，tanBtanC=34，AH3，ABAC=2+2=32+42=5 当点 P 在 BC 上时，点 P 到 A 的最短距离为 3 （2）如图 1 中，APQB，PQBC，APQABC，PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5，=（）2=49，=23，AP=103，PMAPAM=1032=43（3）当 0 x3 时，如图 11 中，过点 P 作 PJCA 交 CA 的延长线于 J PQBC，=，AQPC，:25=8，PQ=85（x+2），sinAQPsinC=35，PJPQsinAQP=2425（x+
9、2）当 3x9 时，如图 2 中，过点 P 作 PJAC 于 J 同法可得 PJPCsinC=35（11x）（4）由题意点 P 的运动速度=936=14单位长度/秒 当 3x9 时，设 CQy APCB+BAPAPQ+CPQ，APQB，BAPCPQ，BC，ABPPCQ，=，511;=;3，y=15（x7）2+165，150，x7 时，y 有最大值，最大值=165，AK=94，CK594=114165 当 y=114时，114=15（x7）2+165，解得 x732，点 K 被扫描到的总时长（114+63）14=23 秒 4（2020襄阳）在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 在边 BC
10、上，DEDA 且 DEDA，AE 交边BC 于点 F，连接 CE（1）特例发现：如图 1，当 ADAF 时，求证：BDCF；推断：ACE 90；（2）探究证明：如图 2，当 ADAF 时，请探究ACE 的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图 3，在（2）的条件下，当=13时，过点 D 作 AE 的垂线，交 AE 于点 P，交 AC于点 K，若 CK=163，求 DF 的长 【分析】（1）证明ABDACF（AAS）可得结论 利用四点共圆的性质解决问题即可（2）结论不变利用四点共圆证明即可（3）如图 3 中，连接 EK首先证明 ABAC3EC，设 ECa，则 ABAC3a，在 RtKC
11、E 中，利 用勾股定理求出 a，再求出 DP，PF 即可解决问题【解答】（1）证明：如图 1 中，ABAC，BACF，ADAF，ADFAFD，ADBAFC，ABDACF（AAS），BDCF 结论：ACE90 理由：如图 1 中，DADE，ADE90，ABAC，BAC90，ACDAED45，A，D，E，C 四点共圆，ADE+ACE180，ACE90 故答案为 90 （2）结论：ACE90 理由：如图 2 中，DADE，ADE90，ABAC，BAC90，ACDAED45，A，D，E，C 四点共圆，ADE+ACE180，ACE90 （3）如图 3 中，连接 EK BAC+ACE180，ABCE，=1
12、3，设 ECa，则 ABAC3a，AK3a163，DADE，DKAE，APPE，AKKE3a163，EK2CK2+EC2，（3a163）2（163）2+a2，解得 a4 或 0（舍弃），EC4，ABAC12，AE=2+2=42+122=410，DPPAPE=12AE210，EF=14AE=10，PFFE=10，DPF90，DF=2+2=(210)2+(10)2=52 5（2020牡丹江）在等腰ABC 中，ABBC，点 D，E 在射线 BA 上，BDDE，过点 E 作 EFBC，交射线 CA 于点 F请解答下列问题：（1）当点 E 在线段 AB 上，CD 是ACB 的角平分线时，如图，求证：AE
13、+BCCF；（提示：延长 CD，FE 交于点 M）（2）当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的角平分线时，如图；当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的外角平分线时，如图，请直接写出线段 AE，BC，CF 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若 DE2AE6，则 CF 18 或 6 【分析】（1）延长 CD，FE 交于点 M利用 AAS 证明MEDCBD，得到 MEBC，并利用角平分线加平行的模型证明 CFMF，AEEF，从而得证；（2）延长 CD，EF 交于点 M类似于（1）的方法可证明当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB的
14、角平分线时，BCAE+CF，当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的外角平分线时，AECF+BC；（3）先求出 AE，AB，即可利用线段的和差求出答案【解析】（1）如图，延长 CD，FE 交于点 M ABBC，EFBC，ABCAEFA，AEEF，MFBC，MEDB，MBCD，又FCMBCM，MFCM，CFMF，又BDDE，MEDCBD（AAS），MEBC，CFMFME+EFBC+AE，即 AE+BCCF；（2）当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的角平分线时，BCAE+CF，如图，延长 CD，EF 交于点 M 由同理可证MEDCBD（AAS），MEBC，由证明过程
15、同理可得出 MFCF，AEEF，BCMEEF+MFAE+CF；当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的外角平分线时，AECF+BC 如图，延长 CD 交 EF 于点 M，由上述证明过程易得MEDCBD（AAS），BCEM，CFFM，又ABBC，ACBCABFAE，EFBC，FFCB，EFAE，AEFEFM+MECF+BC；（3）CF18 或 6，当 DE2AE6 时，图中，由（1）得：AE3，BCABBD+DE+AE15，CFAE+BC3+1518；图中，由（2）得：AEAD3，BCABBD+AD9，CFBCAE936；图中，DE 小于 AE，故不存在 故答案为 18 或 6 6
16、（2020辽阳）如图，射线 AB 和射线 CB 相交于点 B，ABC（0180），且 ABCB点 D是射线 CB 上的动点（点 D 不与点 C 和点 B 重合），作射线 AD，并在射线 AD 上取一点 E，使AEC，连接 CE，BE（1）如图，当点 D 在线段 CB 上，90时，请直接写出AEB 的度数；（2）如图，当点 D 在线段 CB 上，120时，请写出线段 AE，BE，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当 120，tanDAB=13时，请直接写出的值 【分析】（1）连接 AC，证 A、B、E、C 四点共圆，由圆周角定理得出BCEBAE，CBECAE，证出ABC 是等腰直角三角形，
17、则CAB45，进而得出结论；（2）在 AD 上截取 AFCE，连接 BF，过点 B 作 BHEF 于 H，证ABFCBE（SAS），得出ABF CBE，BFBE，由等腰三角形的性质得出 FHEH，由三角函数定义得出 FHEH=32BE，进而得出结论；（3）由（2）得 FHEH=32BE，由三角函数定义得出 AH3BH=32BE，分别表示出 CE，进而得出答案【解析】（1）连接 AC，如图所示：90，ABC，AEC，ABCAEC90，A、B、E、C 四点共圆，BCEBAE，CBECAE，CABCAE+BAE，BCE+CBECAB，ABC90，ABCB，ABC 是等腰直角三角形，CAB45，BCE
18、+CBE45，BEC180（BCE+CBE）18045135，AEBBECAEC1359045；（2）AE=3BE+CE，理由如下：在 AD 上截取 AFCE，连接 BF，过点 B 作 BHEF 于 H，如图所示：ABCAEC，ADBCDE，180ABCADB180AECCDE，AC，在ABF 和CBE 中，=，ABFCBE（SAS），ABFCBE，BFBE，ABF+FBDCBE+FBD，ABDFBE，ABC120，FBE120，BFBE，BFEBEF=12（180FBE）=12（180120）30，BHEF，BHE90，FHEH，在 RtBHE 中，BH=12BE，FHEH=3BH=32BE
19、，EF2EH232BE=3BE，AEEF+AF，AFCE，AE=3BE+CE；（3）分两种情况：当点 D 在线段 CB 上时，在 AD 上截取 AFCE，连接 BF，过点 B 作 BHEF 于 H，如图所示：由（2）得：FHEH=32BE，tanDAB=13，AH3BH=32BE，CEAFAHFH=32BE32BE=332BE，=3;32；当点 D 在线段 CB 的延长线上时，在射线 AD 上截取 AFCE，连接 BF，过点 B 作 BHEF 于 H，如图所示：同得：FHEH=32BE，AH3BH=32BE，CEAFAH+FH=32BE+32BE=3+32BE，=3:32；综上所述，当 120
20、，tanDAB=13时，的值为3;32或3:32 7（2020凉山州）如图，点 P、Q 分别是等边ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外），点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发（1）如图 1，连接 AQ、CP求证：ABQCAP；（2）如图 1，当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M，QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图 2，当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时，直线 AQ、CP 相交于 M，QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 【分析】（1）根据等边三角形的性质
21、，利用 SAS 证明ABQCAP 即可；（2）先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC60；（3）先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC120【解析】（1）证明：如图 1，ABC 是等边三角形 ABQCAP60，ABCA，又点 P、Q 运动速度相同，APBQ，在ABQ 与CAP 中，=，ABQCAP（SAS）；（2）点 P、Q 在 AB、BC 边上运动的过程中，QMC 不变 理由：ABQCAP，BAQACP，QMC 是ACM 的外角，QMCACP+MACBAQ+MACBAC BAC60，QMC60；（3）如图 2，点 P、Q 在
22、运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动时，QMC 不变 理由：同理可得，ABQCAP，BAQACP，QMC 是APM 的外角，QMCBAQ+APM，QMCACP+APM180PAC18060120，即若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，QMC 的度数为 120 8（2020泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB 与ECD 恰好为对顶角，ABCCDE90，连接 BD，ABBD，点 F 是线段 CE 上一点 探究发现：（1）当点 F 为线段 CE 的中点时，连接 DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BDDF
23、你认为此结论是否成立？是 （填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BDDF，则点 F 为线段 CE 的中点请判断此结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 问题解决：（3）若 AB6，CE9，求 AD 的长 【分析】（1）证明FDC+BDC90可得结论（2）结论成立：利用等角的余角相等证明EEDF，推出 EFFD，再证明 FDFC 即可解决问题（3）如图 3 中，取 EC 的中点 G，连接 GD则 GDBD利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可【解析】（1）如图（2）中，EDC90，EFCF，DFCF，FCDFDC，ABC90，A+ACB9
24、0，BABD，AADB，ACBFCDFDC，ADB+FDC90，FDB90，BDDF 故答案为是 （2）结论成立：理由：BDDF，EDAD，BDC+CDF90，EDF+CDF90，BDCEDF，ABBD，ABDC，AEDF，A+ACB90，E+ECD90，ACBECD，AE，EEDF，EFFD，E+ECD90，EDF+FDC90，FCDFDC，FDFC，EFFC，点 F 是 EC 的中点 （3）如图 3 中，取 EC 的中点 G，连接 GD则 GDBD DG=12EC=92，BDAB6，在 RtBDG 中，BG=2+2=(92)2+62=152，CB=15292=3，在 RtABC 中，AC=
25、2+2=62+32=35，ACBECD，ABCEDC，ABCEDC，=，359=3，CD=955，ADAC+CD35+955=2455 9（2020常德）已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACB90，ABC30，过点 D 作 RtDEF使DEF90，DFE30，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EPCE，连接 BE，FP，BP，设 BC 与DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N（1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证：EBEP；EFP30；（2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：BFD+EFP30 【分析】（1）证明CBP 是直角三角形，根据直角三角形
26、斜边中线可得结论；根据同位角相等可得 BCEF，由平行线的性质得 BPEF，可得 EF 是线段 BP 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得PFEBFE30；（2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ，证明QEPDEC（SAS），则 PQDCDB，由 QEDE，DEF90，知 EF 是 DQ 的垂直平分线，证明FQPFDB（SAS），再由EF 是 DQ 的垂直平分线，可得结论【解答】证明（1）ACB90，ABC30，A903060，同理EDF60，AEDF60，ACDE，DMBACB90，D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACDM，=12，即 M 是
27、 BC 的中点，EPCE，即 E 是 PC 的中点，EDBP，CBPDMB90，CBP 是直角三角形，BE=12PCEP；ABCDFE30，BCEF，由知：CBP90，BPEF，EBEP，EF 是线段 BP 的垂直平分线，PFBF，PFEBFE30；（2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ，ECEP，DECQEP，QEPDEC（SAS），则 PQDCDB，QEDE，DEF90 EF 是 DQ 的垂直平分线，QFDF，CDAD，CDAA60，CDB120，FDB120FDC120（60+EDC）60EDC60EQPFQP，FQPFDB（SAS），QFPBFD，EF
28、 是 DQ 的垂直平分线，QFEEFD30，QFP+EFP30，BFD+EFP30 10（2020黔东南州）如图 1，ABC 和DCE 都是等边三角形 探究发现（1）BCD 与ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由 拓展运用（2）若 B、C、E 三点不在一条直线上，ADC30，AD3，CD2，求 BD 的长（3）若 B、C、E 三点在一条直线上（如图 2），且ABC 和DCE 的边长分别为 1 和 2，求ACD 的面积及 AD 的长 【分析】（1）依据等式的性质可证明BCDACE，然后依据 SAS 可证明ACEBCD；（2）由（1）知：BDAE，利用勾股定理计算 AE 的长，
29、可得 BD 的长；（3）如图 2，过 A 作 AFCD 于 F，先根据平角的定义得ACD60，利用特殊角的三角函数可得AF 的长，由三角形面积公式可得ACD 的面积，最后根据勾股定理可得 AD 的长【解析】（1）全等，理由是：ABC 和DCE 都是等边三角形，ACBC，DCEC，ACBDCE60，ACB+ACDDCE+ACD，即BCDACE，在BCD 和ACE 中，=，ACEBCD（SAS）；（2）如图 3，由（1）得：BCDACE，BDAE，DCE 都是等边三角形，CDE60，CDDE2，ADC30，ADEADC+CDE30+6090，在 RtADE 中，AD3，DE2，AE=2+2=9+4
30、=13，BD=13；（3）如图 2，过 A 作 AFCD 于 F，B、C、E 三点在一条直线上，BCA+ACD+DCE180，ABC 和DCE 都是等边三角形，BCADCE60，ACD60，在 RtACF 中，sinACF=，AFACsinACF132=32，SACD=12 =12 2 32=32，CFACcosACF112=12，FDCDCF212=32，在 RtAFD 中，AD2AF2+FD2=(32)2+(32)2=3，AD=3 11（2020金华）如图，在ABC 中，AB42，B45，C60（1）求 BC 边上的高线长（2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 E
31、F，沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求AEP 的度数 如图 3，连结 AP，当 PFAC 时，求 AP 的长 【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D解直角三角形求出 AD 即可（2）证明 BEEP，可得EPBB45解决问题 如图 3 中，由（1）可知：AC=60=833，证明AEFACB，推出=，由此求出 AF 即可解决问题【解析】（1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D 在 RtABD 中，ADABsin4542 22=4 （2）如图 2 中，AEFPEF，AEEP，AEEB，BEEP，EPBB45，PEB90，AEP1
32、809090 如图 3 中，由（1）可知：AC=60=833，PFAC，PFA90，AEFPEF，AFEPFE45，AFEB，EAFCAB，AEFACB，=，即42=22833，AF23，在 RtAFP，AFFP，AP=2AF26 方法二：AEBEPE 可得直角三角形 ABP，由 PFAC，可得AFE45，可得FAP45，即PAB30 APABcos3026 12（2020江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图 2，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以
33、 AB，AC，BC 为斜边向外侧作 RtABD，RtACE，RtBCF，若123，则面积 S1，S2，S3之间的关系式为 S1+S2S3；推广验证（2）如图 3，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以 AB，AC，BC 为边向外侧作任意ABD，ACE，BCF，满足123，DEF，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图 4，在五边形 ABCDE 中，AEC105，ABC90，AB23，DE2，点 P在 AE 上，ABP30，PE=2，求五边形 ABCDE 的面积 【分析】类比探究 （1）通过证明ADBBFC，可得=（）2，同理可得=（
34、）2，由勾股定理可得 AB2+AC2BC2，可得结论；推广验证（2）通过证明ADBBFC，可得=（）2，同理可得=（）2，由勾股定理可得 AB2+AC2BC2，可得结论；拓展应用（3）过点A作AHBP于H，连接PD，BD，由直角三角形的性质可求AP=6，BPBH+PH3+3，可求SABP=33+32，通过证明ABPEDP，可得EPDAPB45，=33，SPDE=3+12，可得BPD90，PD1+3，可求 SBPD23+3，由（2）的结论可求 SBCDSABP+SDPE=33+32+3+12=23+2，即可求解【解析】类比探究（1）13，DF90，ADBBFC，=（）2，同理可得：=（）2，AB
35、2+AC2BC2，13+23=（）2+（）2=2+22=1，S1+S2S3，故答案为：S1+S2S3（2）结论仍然成立，理由如下：13，DF，ADBBFC，=（）2，同理可得：=（）2，AB2+AC2BC2，13+23=（）2+（）2=2+22=1，S1+S2S3，（3）过点 A 作 AHBP 于 H，连接 PD，BD，ABH30，AB23，AH=3，BH3，BAH60，BAP105，HAP45，AHBP，HAPAPH45，PHAH=3，AP=6，BPBH+PH3+3，SABP=2=(3+3)32=33+32，PE=2，ED2，AP=6，AB23，=26=33，=223=33，=，且EBAP1
36、05，ABPEDP，EPDAPB45，=33，BPD90，PD1+3，SBPD=2=(3+3)(1+3)2=23+3，ABPEDP，=（33）2=13，SPDE=1333+32=3+12 tanPBD=33，PBD30，CBDABCABPCBD30，ABPPDECBD，又AEC105，ABPEDPCBD，由（2）的结论可得：SBCDSABP+SDPE=33+32+3+12=23+2，五边形 ABCDE 的面积=33+32+3+12+23+2+23+363+7 13（2020衡阳）如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，等腰ABC 的底边 BC 在 x 轴上，BC8，顶点 A 在 y的正半轴上，O
37、A2，一动点 E 从（3，0）出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向左运动，到达 OB 的中点停止另一动点 F 从点 C 出发，以相同的速度沿 CB 向左运动，到达点 O 停止已知点 E、F 同时出发，以 EF 为边作正方形 EFGH，使正方形 EFGH 和ABC 在 BC 的同侧，设运动的时间为 t 秒（t0）（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值；（2）设正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，请问是否存在 t 值，使得 S=9136？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，取 AC 的中点 D，连结 OD，当点 E、F 开始运动时，点 M 从点 O
38、出发，以每秒 25个单位的速度沿 ODDCCDDO 运动，到达点 O 停止运动请问在点 E 的整个运动过程中，点 M 可能在正方形 EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点 M 在正方形 EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可（2）由题意，在 E，F 的运动过程中，开始正方形 EFGH 的边长为 1，因为正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，S=9136，推出此时点 F 与 O 重合，已经停止运动，如图 12 中，重叠部分是五边形 OEKJG 构建方程求解即可 （3）分别求出点 M 第一次和第二次落在正方形内部（包括边界
39、）的时长即可解决问题【解析】（1）如图 11 中，由题意，OA2，OBOC4，EFEHFGHG1，当点 H 落在 AC 上时，EHOA，=，4=12，CE2，点 E 的运动路程为 1，t1 时，点 E 落在 AC 上 （2）由题意，在 E，F 的运动过程中，开始正方形 EFGH 的边长为 1，正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，S=9136，此时点 F 与 O 重合，已经停止运动，如图 12 中，重叠部分是五边形 OEKJG 由题意：（t3）2123;132（3t13）=9136，整理得 45t2486t+12880，解得 t=143或9215（舍弃），满足条件的 t 的值为143 （
40、3）如图 31 中，当点 M 第一次落在 EH 上时，4t+t3，t=35 当点 M 第一次落在 FG 上时，4t+t4，t=45，点 M 第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=4535=15（s），当点 M 第二次落在 FG 上时，4tt4，t=43，当点 M 第二次落在 EH 上时，4t（t+1）4，t=53，点 M 第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=5343=13，点 M 落在正方形内部（包括边界）的总时长=15+13=815（s）14（2020青岛）已知：如图，在四边形 ABCD 和 RtEBF 中，ABCD，CDAB，点 C 在 EB 上，ABCEBF90，ABBE8cm，B
41、CBF6cm，延长 DC 交 EF 于点 M点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，点 Q 从点 M 出发，沿 MF 方向匀速运动，速度为 1cm/s过点 P 作GHAB 于点 H，交 CD 于点 G设运动时间为 t（s）（0t5）解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上？（2）连接 PQ，作 QNAF 于点 N，当四边形 PQNH 为矩形时，求 t 的值；（3）连接 QC，QH，设四边形 QCGH 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（4）点 P 在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 P 在AFE 的平
42、分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）由平行线分线段成比例可得=，可求 CM 的长，由线段垂直平分线的性质可得 CMMQ，即可求解；（2）利用锐角三角函数分别求出 PH=65t，QN645t，由矩形的性质可求解；（3）利用面积的和差关系可得 SS梯形GMFHSCMQSHFQ，即可求解；（4）连接 PF，延长 AC 交 EF 于 K，由“SSS”可证ABCEBF，可得ECAB，可证ABCEKC90，由面积法可求 CK 的长，由角平分线的性质可求解【解析】（1）ABCD，=，8;68=6，CM=32，点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上，CMMQ，1t=32，t=32
43、；（2）如图 1，过点 Q 作 QNAF 于点 N，ABCEBF90，ABBE8cm，BCBF6cm，AC=2+2=64+36=10cm，EF=2+2=64+36=10cm，CE2cm，CM=32cm，EM=2+2=4+94=52，sinPAHsinCAB，=，610=2，PH=65t，同理可求 QN645t，四边形 PQNH 是矩形，PHNQ，645t=65t，t3；当 t3 时，四边形 PQNH 为矩形；（3）如图 2，过点 Q 作 QNAF 于点 N，由（2）可知 QN645t，cosPAHcosCAB，=，2=810，AH=85t，四边形 QCGH 的面积为 SS梯形GMFHSCMQS
44、HFQ，S=126（885t+6+885t+32）12326（645t）12（645t）（885t+6）=1625t2+15t+572；（4）存在，理由如下：如图 3，连接 PF，延长 AC 交 EF 于 K，ABBE8cm，BCBF6cm，ACEF10cm，ABCEBF（SSS），ECAB，又ACBECK，ABCEKC90，SCEM=12ECCM=12EMCK，CK=23252=65，PF 平分AFE，PHAF，PKEF，PHPK，65t102t+65，t=72，当 t=72时，使点 P 在AFE 的平分线上 15（2020山西）综合与实践 问题情境：如图，点 E 为正方形 ABCD 内一点
45、，AEB90，将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得到CBE（点 A 的对应点为点 C）延长 AE 交 CE于点 F，连接 DE 猜想证明：（1）试判断四边形 BEFE 的形状，并说明理由；（2）如图，若 DADE，请猜想线段 CF 与 FE的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图，若 AB15，CF3，请直接写出 DE 的长 【分析】（1）由旋转的性质可得AEBCEB90，BEBE，EBE90，由正方形的判定可证四边形 BEFE 是正方形；（2）过点 D 作 DHAE 于 H，由等腰三角形的性质可得 AH=12AE，DHAE，由“AAS”可得ADHBAE，可得 AHBE=12
46、AE，由旋转的性质可得 AECE，可得结论；（3）利用勾股定理可求 BEBE9，再利用勾股定理可求 DE 的长【解析】（1）四边形 BEFE 是正方形，理由如下：将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，AEBCEB90，BEBE，EBE90，又BEF90，四边形 BEFE 是矩形，又BEBE，四边形 BEFE 是正方形；（2）CFEF；理由如下：如图，过点 D 作 DHAE 于 H，DADE，DHAE，AH=12AE，DHAE，ADH+DAH90，四边形 ABCD 是正方形，ADAB，DAB90，DAH+EAB90，ADHEAB，又ADAB，AHDAEB90，ADHBAE（AAS），
47、AHBE=12AE，将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，AECE，四边形 BEFE 是正方形，BEEF，EF=12CE，CFEF；（3）如图，过点 D 作 DHAE 于 H，四边形 BEFE 是正方形，BEEFBE，ABBC15，CF3，BC2EB2+EC2，225EB2+（EB+3）2，EB9BE，CECF+EF12，由（2）可知：BEAH9，DHAECE12，HE3，DE=2+2=144+9=317 16（2020内江）如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合），连结 BP，将BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 B
48、C 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F（1）连结 CQ，求证：APCQ；（2）若 AP=14AC，求 CE：BC 的值；（3）求证：PFEQ 【分析】（1）证明BAPBCQ（SAS）可得结论（2）过点 C 作 CHPQ 于 H，过点 B 作 BTPQ 于 T由 AP=14AC，可以假设 APCQa，则 PC3a，解直角三角形求出 CHBT，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可（3）证明PGBQEB，推出 EQPG，再证明PFG 是等腰直角三角形即可【解答】（1）证明：如图 1，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BQ，BPBQ，PBQ90 四边形 ABCD 是正方形，B
49、ABC，ABC90 ABCPBQ ABCPBCPBQPBC，即ABPCBQ 在BAP 和BCQ 中，=，BAPBCQ（SAS）CQAP （2）解：过点 C 作 CHPQ 于 H，过点 B 作 BTPQ 于 T AP=14AC，可以假设 APCQa，则 PC3a，四边形 ABCD 是正方形，BACACB45，ABPCBQ，BCQBAP45，PCQ90，PQ=2+2=(3)2+2=10a，CHPQ，CH=31010a，BPBQ，BTPQ，PTTQ，PBQ90，BT=12PQ=102a，CHBT，=31010102=35，=38 （3）解：结论：PFEQ，理由是：如图 2，当 F 在边 AD 上时，
50、过 P 作 PGFQ，交 AB 于 G，则GPF90，BPQ45，GPB45，GPBPQB45，PBBQ，ABPCBQ，PGBQEB，EQPG，BAD90，F、A、G、P 四点共圆，连接 FG，FGPFAP45，FPG 是等腰直角三角形，PFPG，PFEQ 17（2020郴州）如图 1，在等腰直角三角形 ADC 中，ADC90，AD4点 E 是 AD 的中点，以 DE为边作正方形 DEFG，连接 AG，CE 将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转，旋转角为 （090）（1）如图 2，在旋转过程中，判断AGD 与CED 是否全等，并说明理由；当 CECD 时，AG 与 EF 交于点 H，求 G
