1、高考数学,专题四导数及其应用4.2导数的应用,考点一导数与函数的单调性,考向一 求函数的单调区间,1.(2022长沙明达中学入学考,7)已知函数f(x)=xln x,则f(x)()A.在(0,+)上单调递增B.在(0,+)上单调递减C.在上单调递增D.在上单调递减答案D,2.(2022山东烟台莱州一中开学考,3)函数f(x)=-2ln x-x-的单调递增区间是()A.(0,+)B.(-3,1)C.(1,+)D.(0,1)答案D,3.(2022河北衡水中学模拟,15)已知一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|-1x5,则函数f(x)=ax3+bx2+cx的单调递增区间为.答案(-1,5),
2、4.(2023届哈尔滨师大附中月考,17)设函数f(x)=ln(1+ax)+bx,g(x)=f(x)-bx2.(1)若a=1,b=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若曲线y=g(x)在点(1,ln 3)处的切线与直线11x-3y=0平行,求a,b的值.解析(1)由题意知f(x)=ln(1+x)-x,定义域为(-1,+),求导得f(x)=-1=,令f(x)=0,得x=0,当-10,当x0时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+).(2)g(x)=f(x)-bx2=ln(1+ax)+bx-bx2,求导得g(x)=+b-2bx,因为曲线y=g(x)在点(1
3、,ln 3)处的切线与直线11x-3y=0平行,所以g(1)=,+b-2b=,g(1)=ln(1+a)+b-b=ln 3,解得a=2,b=-3.,5.(2022福建泉州质量监测二,17)已知函数f(x)=x-asin x的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=-x.(1)求a;(2)求f(x)在0,2上的单调区间.解析(1)对f(x)=x-asin x求导得f(x)=1-acos x,则f(0)=1-acos 0=1-a,根据f(x)=x-asin x的图象在(0,f(0)处的切线方程为y=-x,有1-a=-1,解得a=2.(2)由(1)可得f(x)=1-2cos x.在区间0,2上,由f(
4、x)=0,解得x=或x=.当00,则f(x)单调递增.,综上可得,f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.,考向二利用单调性比较大小、解不等式,1.(2023届江苏南京、镇江学情调查,7)设函数f(x)=-sin x+ln(+x)+x,则满足f(x)+f(3-2x)0的x的取值范围是()A.(3,+)B.(1,+)C.(-,3)D.(-,1)答案A,2.(2021湖南郴州质检三,8)已知a=4ln 3,b=3ln 4,c=4ln 3,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.bcaC.bacD.abc答案B,3.(2022河北邯郸二模,8)已知函数f(x)=ln x,且a=f,b=f,c=f
5、(),则()A.abcB.cabC.acbD.cba答案B,4.(2022全国甲文,12,5分)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则()A.a0bB.ab0C.ba0D.b0a答案A,5.(2022广东汕头一模,5)已知a=,b=,c=,则以下不等式正确的是()A.cbaB.abcC.bacD.bca答案C,6.(2023届广东六校联考,16)若不等式a(x+1)ex-x0有且仅有一个正整数解,则实数a的取值范围是.答案,考点二导数与函数的极(最)值,1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考,11)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-1)的极小值点,则()A.a1
6、C.aa2答案C,2.(2022海南海口四中期中,14)若函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,则a=.答案3,3.(2022沈阳三十一中月考,13)写出一个同时满足下列要求的函数f(x)=.f(x)的表达式中至少含有ex、xn(nN*)、ln x中的两个;存在一个极值点x=3.答案(或ex(x-4)(答案不唯一),4.(2021新高考,15,5分)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为.答案1,5.(2023届重庆八中入学考,18)已知函数f(x)=ax+b+cos x(a,bR),若曲线f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=x+2.(1)求f(x)的解析式;(
7、2)求函数f(x)在0,2上的值域.解析(1)因为f(x)=ax+b+cos x(a,bR),所以f(x)=a-sin x,由题意得即所以a=,b=1,则f(x)=x+1+cos x.(2)由(1)得f(x)=x+1+cos x,f(x)=-sin x,由f(x)0且x0,2可得0 x或x2,函数f(x)在区间和,上单调递增,由f(x)0且x0,2可得x,函数f(x)在区间上单调递减;因此当x=时,函数取得极大值f=+1+cos=1+,当x=时,函数取得极小值f=+1+cos=1+-,又f(0)=2,f(2)=2+1+cos 2=1+1=2+,1+-21+2+,所以函数f(x)在0,2上的最大
8、值为2+,最小值为1+-,所以f(x)在0,2上的值域为.,6.(2022河北衡水中学模拟一,21)已知函数f(x)=ln x-.(1)若a0,证明:f(x)在定义域内是增函数;(2)若f(x)在1,e上的最小值为,求a的值.解析(1)证明:由题意知f(x)的定义域为(0,+),f(x)=+=.a0,f(x)0,故f(x)在(0,+)上是增函数.(2)由(1)可知,f(x)=.若a-1,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为增函数,f(x)min=f(1)=-a=,a=-(舍去);若a-e,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为减函,数,
9、f(x)min=f(e)=1-=,a=-(舍去);若-e0,f(x)在(-a,e)上为增函数,当1x-a时,f(x)0,f(x)在(1,-a)上为减函数,f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,a=-.综上所述,a=-.,7.(2020北京,19,15分)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.解析由f(x)=12-x2得f(x)=-2x.(1)令f(x0)=-2,即-2x0=-2,得x0=1.又因为f(x0)=f(1)=11,所以切点为(
10、1,11).故所求的切线方程为y-11=-2(x-1),即y=-2x+13.(2)由题设知t0,根据对称性,只需考虑t0的情形.曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线方程为y=12-t2-2t(x-t).切线与x轴的交点是,与y轴的交点是(0,12+t2).,所以切线与坐标轴围成的三角形面积为S(t)=(12+t2)=.因此S(t)=(t2-4)(t2+12).令S(t)=0,即(t2-4)(t2+12)=0,得t1=-2(舍),t2=2.因为当t(0,2)时,S(t)0,S(t)单调递增,所以S(t)的最小值为S(2)=32.,考法一利用导数研究函数的单调性,考向一含参函数的单调性问题,
11、1.(2023届福建部分名校联考,21)已知函数f(x)=ae-x+x-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0恒成立,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)=ae-x+x-2=+x-2,所以f(x)=.若a0,则f(x)0恒成立;,若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)0.故当a0时,f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间;当a0时,f(x)的单调递增区间为(ln a,+),单调递减区间为(-,ln a).(2)f(x)0等价于a(2-x)ex,令函数g(x)=(2-x)ex,则g(x)=(1-x)ex,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x(1,+)
12、时,g(x)0,g(x)单调递减.则g(x)g(1)=e,故a的取值范围为e,+).,2.(2022山东莱州一中开学考,21改编)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(aR),求函数y=f(x)的单调区间.解析函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=2x-(a-2)-=.(1)当a0时,f(x)0对任意x(0,+)恒成立,所以函数f(x)在区间(0,+)上单调递增;(2)当a0时,由f(x)0得x,由f(x)0时,f(x)的单调增区间为,单调减区间为.,3.(2022浙江舟山中学质量检测,20改编)已知函数f(x)=x2-2x+aln x,当a0时,求函数f(x)的单调区间.解
13、析f(x)=x2-2x+aln x的定义域为(0,+),f(x)=2x-2+=(x0),令f(x)=0,可得2x2-2x+a=0(a0),当=4-8a0,即a时,f(x)0对于x(0,+)恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增.当=4-8a0,即00可得0,由f(x)0可得x,所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当a时,f(x)的单调递增区间为(0,+);当0a时,f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为.,4.(2020课标文,21,12分)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求c的取值范围;(2)设a0,讨论函数g(x)=的单调性.解析设h(x
14、)=f(x)-2x-c,则h(x)=2ln x-2x+1-c,其定义域为(0,+),h(x)=-2.(1)当00;当x1时,h(x)0.所以h(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.故当且仅当-1-c0,即c-1时,f(x)2x+c.所以c的取值范围为-1,+).(2)g(x)=,x(0,a)(a,+).g(x)=,=.取c=-1得h(x)=2ln x-2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当x1时,h(x)0,即1-x+ln x0.故当x(0,a)(a,+)时,1-+ln 0,从而g(x)0.所以g(x)在区间(0,a),(a,+)上单调递减.,5.(2021山东青岛二模,21)已知函数f(x)=aln x-+1(x0),aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若对任意x(0,+),均有f(x)0,求a的值;(3)假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81,若其10次投篮全部命中的概率为p,证明:p0,由f(x)0可得04a2,此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,4a2),单调递减区间为(4a2,+).综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,+)上为减函数;当a0时,函数f(x)在(0,4,
