1、摘要：本文主要研究了带权的贝塞尔位势的积分方程。在整体可积的假设下，将单个带权的积分方程转化成方积分程组进行研究。利用移动平面法、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Hlder不等式、贝塞尔位势和Riesz位势的关系等方法，证明了带权的贝塞尔位势积分方程解具有径向对称性和单调性。关键词：贝塞尔位势；移动平面法；径向对称性；积分方程组中图分类号：O175.2文献标志码：A文章编号：2096-854X（2022）060112-05Symmetry of Solutions to Weighted Bessel PotentialIntegral EquationsWang Ha
2、ofeng，Li Yunting，Liao Qiuping，Yi Yunhui*（School of Mathematics and Computer Science,Jiangxi Science and Technology Normal University,Nanchang 330038,Jiangxi,P.R.China）Abstract:This paper mainly studies the integral equation of the weighted Bessel potential.Under the assumptionof overall integrabilit
3、y,this paper transformed the above single integral equation into a system of integral equations forresearch.By using the moving plane method,Hardy-Littlewood-Sobolev inequality and Hlder inequality,the relationshipof Bessel potential and Riesz potential and other conceptual methods,it is proved that
4、 the radial symmetry andmonotonicity of the solution of the weighted Bessel potential integral equation.Key words:Bessel potential;moving plane method;radial symmetry;integral equation带权的贝塞尔位势积分方程解的对称性王昊峰，李云亭，廖秋萍，易云辉*（江西科技师范大学数学与计算机科学学院，江西 南昌330038）【数学计算】收稿日期：2022-06-22最终修回日期：2022-08-20接受日期：2022-08-
5、21基金项目：江西省教育厅重点项目（GJJ211101）、江西科技师范大学研究生创新专项资金项目（YC2022-X01、YC2022-X09）作者简介：王昊峰，男，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程；李云亭，女，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程；廖秋萍，女，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程；*易云辉（通讯作者），男，副教授，硕士，研究方向：偏微分方程及应用，E-mail:。江西科技师范大学学报Journal of Jiangxi Science&Technology Normal University第6期Issue 62022年12月Dec.20221前言本文研究了如下带权的贝塞尔
6、位势的积分方程u（x）g*1*up11()()uq（x）（1.1）其中xRn，n3，（0，n），1（0，n）贝塞尔核g定义为g1（4）/2（/2）0exp-tx2-t4()t（-n）/2dtt假设v（x）=Rnup（y）y1x-ydy为研究单个方程（1.1）解的性质，本文转化为研究如下方程组2022年u（x）=g*vuq（x）v（x）=-*（-1up）（x）（1.2）在整体可积的条件下，利用积分形式的移动平面法，本文证明了方程解的径向对称性和单调性。该方法自2005年陈文雄教授和李从明教授等人1建立以来，已被广泛用于如贝塞尔位势方程2，Schrdinger-Hatree-Maxwell型方程3
7、，带权的积分方程45，分数阶Schrdinger方程6等各类积分方程。而关于贝塞尔位势方程，这是一类特殊方程的总称，它是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和赫姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔位势方程在解决波动问题以及各种涉及有势场的问题时起到了很关键的作用，对于此类方程的研究也具有很好的实际应用意义。本文拟进一步用该方法研究带权的贝塞尔位势方程，证明了如下定理。定理1设是区间（0，）内的任意一个常数，假设u，vLn（-1）/（Rn），up-1/y1Ln/n-（Rn），是方程组（1.2）的正解，且满足：q+1：（n+）/n，q0，p1，则u（x）和v（x）是关于原点径向对称且单调递
8、减的。为证明定理1，需要借助如下的一些引理。引理11当（0，）时gC1xn-eC2xCxn-，此处C1，C20，因此对于正函数f，可以得到对于xRn，有（f）（x）CI（f）（x）引理2（Hlder不等式）设为Rn中的一个区域，1，s，t并且11s+1t则对任意的uLs（）和vLt（）有uvL（）uLs（）vLt（）引理31（Hardy-Littlewood-Sobolev不等式）设n1，0sn，1pq，使得nq=np-s，则对于所有fLp（Rn）有Rnf（y）x-yn-sdyLq（Rn）Cn，s，p，qfLp（Rn）简要概括一下证明思路：首先定义，并计算u（x）-u（x）和v（x）-v（x）
9、。接着对u（x）-u（x）和v（x）-v（x），u-u Lru()和v-v Lru()进行计算估计，在估计u（x）-u（x）的过程中，为了消去g（x-y），本文借助了引理1，根据定理的条件，可以证明u和v测度为零。最后，定义0，并证明其为零，进一步利用移动平面法证明u（x）和v（x）关于原点径向对称且单调递减。2定理的证明定理1设是区间（0，）内的任意一个常数，假设u，vLn（-1）/（Rn），up-1/y1Ln/n-（Rn），是方程组（1.2）的正解，且满足：q+1：n+/n，q0，p1，则u（x）和v（x）是关于原点径向对称且单调递减的。u（x）g*1*up11()()uq（x）证明：对于
10、u（x）g*1*up11()()uq（x）=Rng（x-y）1*up11()()uqdy对于给定的实数，定义x=（x1，xn）|x1u=（2-x1，x2，xn）u（x）=u（x）接下来令v（x）=Rnup（y）y1x-ydy，v（x）=v（x）且vLn（-1）/（Rn）也为正解，结合上式，可得王昊峰，李云亭，廖秋萍，等：带权的贝塞尔位势积分方程解的对称性113江西科技师范大学学报第6期u（x）=Rng（x-y）（uqv）（y）dy拆分区域后u（x）=g（x-y）（uqv）（y）dy+Rng（x-y）（uqv）（y）dy=g（x-y）（uqv）（y）dy+g（x-y）（uqv）（y）dy同理可得
11、u（x）=g（x-y）（uqv）（y）dy+g（x-y）（uqv）（y）dy则u（x）-u（x）=（uqv-uqv）（y）g（x-y）-g（xy）dy（1.3）v（x）=Rnup（y）y1x-ydy=up（y）y1x-ydy+Rnup（y）y1x-ydy=up（y）y1x-ydy+up（y）y1x-ydy同理可得v（x）=up（y）y1x-ydy+up（y）y1x-ydy则v（x）-v（x）=up（y）y1-up（y）y1111111111111111x-y-1x-y()dy（1.4）接下来本文将运用移动平面法证明u（x）是关于原点径向对称且单调递减的，过程分为两步。第一步：为使移动平面法起步
12、，需要证明：存在一个实数R0，使得在0中对R有u（x）u（x），v（x）v（x）（1.5）首先定义u=x0u（x）u（x）v=x0v（x）v（x）继续计算u（x）-u（x）u（x）-u（x）=（uqv-uqv）（y）g（x-y）-g（x-y）dy=（uq-uq）v（y）g（x-y）-g（x-y）dy+（v-v）uq（y）g（x-y）-g（x-y）dy=u（uq-uq）v（y）g（x-y）dy+u（vq-vq）uq（y）g（x-y）dy+I此处I=-u（uq-uq）v（y）g（x-y）dy+u（uq-uq）v（y）g（x-y）-g（x-y）dy-u（v-v）uq（y）g（x-y）dy+u（v-v
13、）uq（y）g（x-y）-g（x-y）dy由于在0上，x-y x-y，则g（x-y），g（x-y），可得I0，再由中值定理，结合引理1，则u（x）-u（x）quuq-1（u-u）v（y）g（x-y）dy+uuq（v-v）（y）g（x-y）dyquuq-1（u-u）v（y）x-yn-dy+uuq（v-v）（y）x-yn-dy=I1（x）+I2（x）记r=n（1）/，由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Hlder不等式可得I1 Lr（u）C uq-1v（u-u）Lnrn+rC urq-1v ru-u Lr（u）（1.6）I2 Lr（u）C uq（u-u）Lnrn+rC urq
14、u-u Lr（u）（1.7）则u-u Lr（u）urq-1v ru-u Lr（u）urqv-v Lr（u）()（1.8）接下来计算v（x）-v（x）1142022年v（x）-v（x）=up（y）y1-up（y）y1111111111111111x-y-1x-y()dyup（y）-up（y）y1x-ydy=uup（y）-up（y）y1x-ydy+uup（y）-up（y）y1x-ydyuup（y）-up（y）y1x-ydy由中值定理v（x）-v（x）uup1（u-u）（y）y1x-ydy由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Hlder不等式可得v-v Lr（u）Cup1y1（u
15、-u）Lnrn+rCup1y1Lnrn+r（u）u-u Lr（u）结合上式，有u-u Lr（u）CuLr（u）q-1v Lr（u）+uLr（u）qup1y1Lnrn+r（u）()u-u Lr（u）（1.9）由u，vLn（-1）/（Rn），up1/y1Ln/n-（Rn），选择一个足够大的N，当-N时，有CuLr（u）q-1v Lr（u）+uLr（u）qup1y1Lnrn+r（u）()12现在结合（1.9），有u-uLr（u）0，则u为零测度。类似的，可证得v也为零测度，因此（1.5）成立，步骤一完成。第二步：不等式（1.5）提供了移动平面的起点，如果（1.5）成立，本文从负无穷远处的位置开始向右
16、移动平面，并定义0：sup0：u（x）u（x），v（x）v（x），x0现在需要证明00（1.10）首先，证明u0（x）u（x），v0（x）v（x），x000（1.11）如果上式不成立，则在000上有u0（x）u（x）和v0（x）v（x），但u0（x）u（x）或v0（x）v（x）接下来证明平面可以进一步地向右移动。更准确地说，存在一个0，使得对任意（0，0）在000上有u0（x）u（x），v0（x）v（x）假设在000上v0（x）v（x）（1.12）由（1.9），对于所有0，0），有u-u Lr（u）CuLr（u）q-1v Lr（u）+uLr（u）qup1y1Lnrn+r（u）()u-u Lr（u）（1.13）选择足够小的，使得对所有（0，0）有下式成立，CuLr（u）q-1v Lr（u）+uLr（u）qup1y1Lnrn+r（u）()12（1.14）（1.14）的证明暂时放到后面。通过（1.13）和（1.14），可得u-u Lr（u）0因此u必须为零测度。类似的，v也必须为零测度。因此对于（0，0），和x0有u（x）u（x），v（x）v（x）这与0的定义相矛盾。因此（1.11）成立。接
