1、四川省遂宁市第二中学2023届高三数学11月半期考试试题 理（时间：120分钟 满分：150分） 第（）卷（选择题，共60分）一选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1已知为虚数单位，复数，则（ ）AB2CD2已知集合，则=（ ）ABCD3双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD4已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布.从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，ABCD5已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，且，则D若，且，则6ABC中，角A、B
2、、C的对边分别是a、b、c，则“”是“”的（ ）条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分与不必要条件7的展开式的常数项是（ ）ABC2D48要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）A向左平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向右平移个单位 9对于任意，函数满足，且当时，函数，若，则大小关系是（ ）A B C D 10曲线在上存在单增区间，则的取值范围为（ ）ABCD11空间四面体ABCD中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）ABCD12设函数，对任意的，存在，使 成立，则实数的取值范围是（ ）A BC D第（）卷（
3、选择题，共60分）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13已知与垂直，则与的夹角为 .14已知，则= .15已知函数，若，且，则的取值范围为 . 16已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，过点M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则的最小值为 .三解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（本题满分12分）已知等比数列的前项和为，且是和的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）当时，令，
4、求数列的前项和18.（本题满分12分）由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.4非常满意满意合计3510合计（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的、地区的人数各是多少
5、（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：参考公式：.（3）若以抽样调查的频率为概率，从、两个地区随机抽取2人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望19.（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，.（1）求证：平面与平面不垂直；（2）若，求二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知动直线垂直于轴，与椭圆交于两点，点在直线上，.（1）求点的轨迹的方程；（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围. 21（本小题满分12分）已知函数(其
6、中,是自然对数的底数) .(1)若对任意,都有,求的取值范围;(2)设()的最小值为,当时,证明:.（二）选考题：共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线参数方程为为参数)，将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线.（1）求曲线的普通方程；（2）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求取得最小值时的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.答案解析（时间：120分钟 满分：150分）一选择题:本大
7、题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1已知为虚数单位，复数，则AB2CD答案：A解析：因为，所以.2已知集合，则=（ ）ABCD答案：C解析：因为，所以=3双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD答案：D解析：由题可知，所以4已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布.从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，ABCD答案：B解析：设长度误差为随机变量，由得，所以5已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A若，则 B若，则C若，且，则D若，且，则答案：D解析：一条直线平行一个平面，不能得到该
8、直线和平面内任意一条直线平行，所以A错；垂直于同一平面的两个平面可以相交，可以平行，所以B错；当m和n平行时，不能得到两平面平行，所以C错；D正确.6ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则“”是“”的（ ）条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分与不必要条件答案：B解析：因为，由正弦定理可得，所以有，又因为A、B为三角形内角，所以或，即或，所以“”是“”的必要不充分条件.7的展开式的常数项是ABC2D4答案：B解析：的通项为，r=3得，r=4得，所以展开式的常数项是.8要得到函数的图象，可将函数的图象A向左平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向右平移个单
9、位 答案：D解析：，因为，所以需要将的图象向右平移个单位.9对于任意，函数满足，且当时，函数，若，则，大小关系是ABCD答案：C解析：因为满足，所以的图象关于x=1对称.因为时，函数，所以在单调递增，由对称性可得在单调递减，所以离x=1越近的点，纵坐标越大.，因为，所以.10曲线在上存在单增区间，则的取值范围为ABCD答案：A解析：因为曲线在上存在单增区间，所以在上有解，所以在上有解，所以.令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以.11空间四面体ABCD中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）ABCD答案：D解析：因为空间四面体ABCD
10、中， AB=CD，AC=BD，AD=BC，于是可以将该四面体放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有：，于是，由于该四面体的外接球和长方体外接球为同一球，所以外接球的直径等于长方体的体对角线，所以,所以球的表面积.12设函数，对任意的，存在，使成立，则实数的取值范围是ABCD答案：B解析：由可得，因为对任意的，存在，都有，所以.当时，.，在单调递减，所以在单调递减，由于，所以在单调递增，单调递减，因为，于是，所以二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知与垂直，则与的夹角为 .答案：解析：由题可得，所以，所以与的夹角为.14已知，则= .答案：解析：因为，所以，所以
11、=.15已知函数，若，且，则的范围为 . 答案：解析：作出f(x)的图象可得，所以，所以，即，所以所以，因为，所以范围为16已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，过点M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则的最小值为 . 答案：6解析：设直线的方程为：，由，因为，所以，即，令，则，故的最小值为（当且仅当时取等号）.三解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17【解析】（1）由是和的等差中项，得 2 = + ，即 a
12、1q7 = 8a1q + 7a1q4，所以q67q38 = 0，即，解得公比或 2分当时，由，所以； 当时，由，所以；6分（2）当时，知，所以数列的前项和为 12分18. 【解析】（1）由题意，得：，解得，地抽取人，地抽取人 2分（2）完成表格如下：非常满意满意合计351045401555合计7525100， 7分没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系（3）从、B两地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取2人，的可能取值为0，1，2，的分布列为： 0 1 2 12分19、【解析】 (1)证明如下：作于点，假设平面平面， 则平面， 在直角梯形中， ， 平面， 平面底面，平面底面 平面， 在 中，不可能有两个直角，所以假设不成立. .5分（2）作于点，为中点，连接. 平面底面 底面 在直角梯形中，以、所在直线分别为、轴建立如图所示空间直角坐标系 ， ， ， 设平面的法向量为 由， 取同理可得平面的法向量 .10分. .11分 由图形可知，所求二面角为钝角，二面角的余弦值.
