1、 微专题 绝对值的三角不等式|a|b|ab|a|b|的证明与理解【学生版】知识梳理相关知识准备1、|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|及|a|b|分别具有什么关系？【解析】2、不等式|a|b|ab|a|b|中“”成立的条件分别是什么？【解析】不等式|a|b|ab|a|b|，不等式|a|b|ab|a|b|，3、绝对值不等式|ac|ab|bc|的几何解释是什么？【解析】定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立；推论1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】推论2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【证明】推论3：对任意的实数、；证明：，并指出等
2、号成立的条件；【提示】；【证明】推论4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】；【证明】推论5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】；【证明】推论6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；综上，得绝对值三角不等式：对任意的实数、；则；此时右边：当且仅当时，等号成立；左边：等号当且仅当时，等号成立；对任意的实数、；则；此时，右边等号当且仅当时，等号成立，左边等号当且仅当时，等号成立；典题例析例1、（1）下四个命题：若a，bR，则|ab|2|a|ab|；若|ab|1，则|a|b|1；若|x|2，|y|3，则|；若AB0，则lg( lg|A|lg|B|)其中
3、正确的命题有()A4个 B3个 C2个 D1个（2）不等式1成立的充要条件是_【提示】【解析】【说明】本题考查了绝对值三角不等式的结构特点与“数学代换”的交汇；1、绝对值的三角不等式：|a|b|ab|a|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边2、对|a|b|ab|a|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边的等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边等号成立中间部分|ab|肯定是非负的左端右端用“”连接时，ab0，右端取等号，ab0，且|a|b|
4、时，左端取等号；用“”连接时，ab0，且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立.例2、已知写出不等式等号成立的所有条件_【说明】本题主要考查绝对值三角不等式的推导思路，等价推导等号成立的条件，还考查了分析求解问题、等价转化等能力；例3、（1）已知0，|xa|，|yb|，求证：|(xy)(ab)|2.（2）设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式证明不等式；含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较
5、简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明例4、已知a，bR，且|ab1|1，|a2b4|4；求|a|b|的最大值【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值；1、求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的，其
6、巧妙之处令人赞叹不已2、求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助绝对值的定义，即零点分段；利用绝对值几何意义；利用绝对值不等式性质定理3、利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题（1），即|（2），即方法归纳1、定理（三角不等式）：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立2、绝对值三角不等式如果a，b是实数,则|a|-|b|a+b|a|b|注意：右边“”成立的条件是ab0， 左边“”成立的条件是ab0如果a，b是实数,则|a|b|ab|a|+|b|注意：右边“”成立的条件是ab0；左边“”成立的条件是ab03、如果a，b，c是实数,则|ac|ab
7、|+|bc|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立；4、由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式|a1a2an|a1|a2|an|.|a|b|ab|a|b|.|a|b|ab|a|b|.巩固练习1、已知|a|b|，m，n，则m，n之间的大小关系是（ ）Amn BmnCmn Dmn2、对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为()A5 B4C8 D73、若a，bR，则以下命题正确的是()A|a|b|ab|a|b| B|a|b|ab|0时，|ab|a|b| D当且仅当ab0时，|ab|a|b|4、以下四个命题：若a，bR，则|ab|2|a|ab|；若|ab|1，则|a|
8、b|1；若|x|2，|y|3，则；若AB0，则lg(lg|A|lg|B|)其中正确的命题有()A4个B3个C2个 D1个5、不等式成立的充要条件是 6、若不等式|x1|x2|a对任意xR恒成立，则a的取值范围是_7、|x1|2x|的最小值是_8、若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_9、两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次. 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？10、已知函数f(x)，m
9、R.（1）若m3，求不等式f(x)1的解集；（2）若对任意的xR，不等式f(x)24都成立，求实数m的取值范围 微专题 绝对值的三角不等式|a|b|ab|a|b|的证明与理解【教师版】知识梳理相关知识准备1、|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|及|a|b|分别具有什么关系？【解析】|a|b|ab|，|a|b|ab|a|b|.2、不等式|a|b|ab|a|b|中“”成立的条件分别是什么？【解析】不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0，且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b
10、|.3、绝对值不等式|ac|ab|bc|的几何解释是什么？【解析】在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|AB|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|AB|BC|；此结论还可以结合向量的几何表示与运算、复数的几何表示与运算为背景进行解读；定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立；【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式；【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明，即，也就是，所以，等号当且仅当时成立；（方法2：利用）由两式相加就有，将（）看作一个整体时，上面的式逆用，即可证明；推论1：对任意的实数、；证明：，
11、并指出等号成立的条件；【提示】将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可；等号当且仅当，即时成立。推论2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可；等号当且仅当，即时成立。推论3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】；【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”，有，则不等式成立；等号当且仅当，即时成立。推论4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】；【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”，有，则不等式成立；等号当且仅当，即时成立。推论5：对任意的实数、；证明：，并指出等
12、号成立的条件；【提示】，；【证明】由且，两式相加，化简，则不等式成立；等号当且仅当且，即时成立。推论6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】注意：“代换法”，用好代换；【证明】由以上三角不等式及其变式1，即可得原不等式成立；右边：当且仅当时，等号成立；左边：若，则平方整理得，等号当且仅当且时，等号成立；综上，得绝对值三角不等式：对任意的实数、；则；此时右边：当且仅当时，等号成立；左边：等号当且仅当时，等号成立；对任意的实数、；则；此时，右边等号当且仅当时，等号成立，左边等号当且仅当时，等号成立；典题例析例1、（1）下四个命题：若a，bR，则|ab|2|a|ab|；若|ab|1
13、，则|a|b|1；若|x|2，|y|3，则|；若AB0，则lg( lg|A|lg|B|)其中正确的命题有()A4个 B3个 C2个 D1个（2）不等式1成立的充要条件是_【提示】本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题解答问题（1）可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题（2）应分|a|b|与|a|b|时，有|a|b|0，|ab|a|b|a|b|.必有1，即|a|b|是1成立的充分条件当1时，由|ab|0，必有|a|b|0.即|a|b|，故|a|b|是1成立的必要条件故所求为：|a|b|；【说明】本题考查了绝对值三角不等式的结构特点与“数学代换”
14、的交汇；1、绝对值的三角不等式：|a|b|ab|a|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边2、对|a|b|ab|a|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边的等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边等号成立中间部分|ab|肯定是非负的左端右端用“”连接时，ab0，右端取等号，ab0，且|a|b|时，左端取等号；用“”连接时，ab0，且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，等号成立
15、；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立.例2、已知写出不等式等号成立的所有条件_【提示】注意利用实数性质与绝对值不等式推导思路，根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解；【答案】或【解析】因为，所以要证的等号成立条件 ，只需证的等号成立条件 ，即的等号成立条件 ，当时，当时，所以当且仅当，即或时，取等号，故答案为：或【说明】本题主要考查绝对值三角不等式的推导思路，等价推导等号成立的条件，还考查了分析求解问题、等价转化等能力；例3、（1）已知0，|xa|，|yb|，求证：|(xy)(ab)|2.（2）设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)【
16、提示】本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定；所以，结合题设与绝对值不等式关联；【证明】（1）|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|.|xa|，|yb|，|xa|yb|2.由得：|(xy)(ab)|2.（2）f(x)x2x13，|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|.又|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，|f(x)f(a)|2(|a|1).【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式证明不等式；含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通
17、过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明例4、已知a，bR，且|ab1|1，|a2b4|4；求|a|b|的最大值【题设】本题考查绝对值三角不等式的应用解答本题可先求出|ab|，|ab|的最值，再通过|a|b|与它们相等时进行讨论求出最大值；【解析】|ab|(ab1)1|ab1|1|2，|ab|3(ab1)2(a2b4)5|3|ab1|2|a2b4|5324516.若ab
18、0，则|a|b|ab|2；若ab0，则|a|b|ab|16.而当即a8，b8时，|a|b|取得最大值，且|a|b|ab|16.【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值；1、求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已2、求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助绝对值的定义，即零点分段；利用绝对值几何意义；利用绝对值不等式性质定理3、利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题（1），即|（2），即方法归纳1、定
19、理（三角不等式）：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立2、绝对值三角不等式如果a，b是实数,则|a|-|b|a+b|a|b|注意：右边“”成立的条件是ab0， 左边“”成立的条件是ab0如果a，b是实数,则|a|b|ab|a|+|b|注意：右边“”成立的条件是ab0；左边“”成立的条件是ab03、如果a，b，c是实数,则|ac|ab|+|bc|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立；4、由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式|a1a2an|a1|a2|an|.|a|b|ab|a|b|.|a|b|ab|a|b|.巩固练习1、已知|a|b|，m，n，则m，n之
20、间的大小关系是（ ）Amn BmnCmn Dmn【答案】D；【解析】|a|b|ab|a|b|，m1，n1.m1n.2、对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为()A5 B4C8 D7【答案】A；【解析】由题易得，|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.3、若a，bR，则以下命题正确的是()A|a|b|ab|a|b| B|a|b|ab|0时，|ab|a|b| D当且仅当ab0时，|ab|a|b|【答案】A ；【解析】由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A正确；在选
21、项A中，以b代b，可得|a|b|ab|a|b|，所以选项B不正确；当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个为零，即ab0时，|ab|a|b|，所以选项C不正确；当ab|a|b|，所以选项D不正确4、以下四个命题：若a，bR，则|ab|2|a|ab|；若|ab|1，则|a|b|1；若|x|2，|y|3，则；若AB0，则lg(lg|A|lg|B|)其中正确的命题有()A4个B3个C2个 D1个【答案】A ；【解析】|ab|(ba)2a|ba|2|a|ab|2|a|，|ab|2|a|ab|，正确；1|ab|a|b|，|a|b|1，正确；|y|3，又|x|2，正确；(|A|2|B|22|A|B|)(2|
22、A|B|2|A|B|)|A|B|，2lglg|A|B|，lg(lg|A|lg|B|)，正确5、不等式成立的充要条件是 【提示】注意：等价变形；【答案】a2+b20；【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即a2+b20 ，所以，两边平方得2ab2|a|b|，不等式恒成立；6、若不等式|x1|x2|a对任意xR恒成立，则a的取值范围是_【答案】(，3 ；【解析】|x1|x2|x1|2x|x12x|3，3a.7、|x1|2x|的最小值是_【答案】3；【解析】|x1|2x|(x1)(2x)|3，当且仅当(x1)(2x)0，即1x2时，取等号因此|x1|2x|的最小值为3；8、若不等
23、式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】 【解析】|2x1|x2|0，当且仅当x时取等号，因此函数y|2x1|x2|的最小值是.所以a2a2，即2a2a10，解得1a，即实数a的取值范围是；9、两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次. 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？【提示】画出数轴，分析题意；实际问题数学问题【解析】（1）设生活区应该建在离公路路牌km处，两个施工队每天往返的路程之和
24、为km（2）文字语言符号语言问题转化为求上式的最小值（3）解决数学问题法一：由定理2，实数与10，20距离的和最小值为10，故最小值为20km法二：由定理1， 当且仅当即时最小值为20km法三：由绝对值的定义，分段求各段最小值，并比较得最小值为20km10、已知函数f(x)，mR.（1）若m3，求不等式f(x)1的解集；（2）若对任意的xR，不等式f(x)24都成立，求实数m的取值范围【解析】（1）当m3时，f(x)，则f(x)当x1无解；当3x2时，令f(x)2x11，解得x0，则02时，f(x)5，则f(x)1恒成立，则x2.综上所述，不等式f(x)1的解集为(0，)（2）因为f(x)24对任意的xR都成立，所以4恒成立，只需min4即可，由绝对值三角不等式知，当且仅当(xm)(x2)0时等号成立，所以4，解得m2或m6.故实数m的取值范围为(，62，)学科网（北京）股份有限公司
