1、【沪教版2020】必修 第一册 章节 知识点 内容提要解读与例析【学生版】第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数知识点解读与例析(2)知识点4、函数图像关于数轴对称例4、已知函数；（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）画出函数的图像；【提示】【答案】【解析】【说明】关于数轴对称的推广及其几个重要的结论：（一）函数图像本身的对称性（自身对称）1、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称；2、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称。3、函数满足的充要条件是图像关于直线对称。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）1、曲线与关于轴对称；2、曲线与关于轴对称；3、曲线与关
2、于直线对称；4、曲线关于直线对称曲线为；5、曲线关于直线对称曲线为；6、曲线关于直线对称曲线为；7、曲线关于点对称曲线为。知识点5、幂函数的严格增（减）性例5、已知，若，则下列各式中正确的是（ ）ABCD【提示】【答案】【解析】【说明】知识点6、幂函数图像通过定点：；例6、如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图像，则（ ）A1n0m1 Bn1，0m1 C1n0，m1 Dn1，m1知识点7、函数图像的平移变换例7、函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与的图像关于轴对称，则_4.2 指数函数知识点8、指数函数的定义例8、若函数是指数函数，则（ ）ABC或D且知识点9、指数函数的性质例9、求
3、函数的定义域、值域知识点10、指数函数的单调性例10、已知函数f(x)ax24x3.（1）若a1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)的最大值为3，求a的值知识点11、指数函数的图像特征例11、函数的图像恒过定点_.【附】指数函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点；(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)；(3)利用函数的奇偶性与单调性奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势；4.3 对数函数4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质（1）；4.3.2 对数函数的性质（2）知识点12、对数函数例12、若函数f(
4、x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_.知识点13、反函数例13、函数yf(x)的图像是过点(4，1)的直线，其反函数的图像过点(3，2)，求函数f(x)的表达式知识点14、定理： 当，时，；例14、已知实数alog45，b，clog30.4，则a，b，c的大小关系为（ ）Abca Bbac CcabDcba知识点15、对数函数性质例15、已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)，其中0a1；（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的最小值为4，求a的值；知识点16、对数函数的图像特征例16、（1）如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应yloga1x，ylo
5、ga2x，yloga3x，yloga4x的图像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？（2）函数f(x)loga|x|1(a1)的图像大致为（ ）【教师版】第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数知识点解读与例析(2)知识点4、函数图像关于数轴对称例4、已知函数；（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）画出函数的图像；【提示】注意：函数的奇偶性及其图像特征；（1）根据对数函数的性质得到不等式，解得即可；（2）根据奇偶性的定义判断即可；（3）先作出时，的图象，再由偶函数的图像关于轴对称的性质作出时，的图像，由此能画出函数的图像；【答案】（1）；（2）是偶函数；（3）图像见解
6、析；【解析】（1）因为，所以，解得所以，函数的定义域为（2）因为，所以，函数是偶函数；（3）由（2）知当时，当时，且，所以，先作出时，的图象，再由偶函数的图像关于轴对称的性质作出时，的图像，由此能画出函数的图像，如右图所示：【说明】关于数轴对称的推广及其几个重要的结论：（一）函数图像本身的对称性（自身对称）1、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称；2、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称。3、函数满足的充要条件是图像关于直线对称。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）1、曲线与关于轴对称；2、曲线与关于轴对称；3、曲线与关于直线对称；4、曲线关于直线对称曲线为；5、曲线
7、关于直线对称曲线为；6、曲线关于直线对称曲线为；7、曲线关于点对称曲线为。知识点5、幂函数的严格增（减）性例5、已知，若，则下列各式中正确的是（ ）ABCD【提示】确定函数在上单调递减，得到函数值的大小关系；【答案】B；【解析】在上单调递减，故，故；故选：B；【说明】当指数固定，幂函数的单调性性质如下：（1）若，则幂函数的图像通过原点，并且在区间上增函数（2）若，则幂函数在区间上减函数，在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方且无线地逼近轴；当趋于时，图像在轴上方且无限地逼近轴；知识点6、幂函数图像通过定点：；例6、如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图像，则（ ）A1n0m1 Bn
8、1，0m1 C1n0，m1 Dn1，m1【提示】注意：幂函数图像经过定点的图像特征【答案】B；【解析】选B.在(0，1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”；如图，0m1，n1；【说明】幂函数的性质：在区间上都有定义，并且图像都经过（1,1）；知识点7、函数图像的平移变换例7、函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与的图像关于轴对称，则_【提示】注意：图像平移对解析式的影响；由对称变换和平移变换依次写出函数的解析式即可；【答案】【解析】根据题意，与函数的图象关于轴对称的函数为，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为，故答案为：.【说明】常见的图像变化：一般地，函数
9、（a、b为正数）的图象可由函数的图象变换得到；将的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数的图象，再向上或向下平移b个单位长度可得到函数的图象（记忆口诀：左加右减，上加下减）；含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换。一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称；的图象与的图象关于y轴对称，的图象与的图象关于x轴对称；4.2 指数函数知识点8、指数函数的定义例8、若函数是指数函数，则（ ）ABC或D且【提示】注意：理解指数函数的定义；【答案】B；【解析】由指数函数的定义，得，解得；故选：B【说明】判断一个函数是指数函数的方法：（1）需判断其
10、解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征（2）看是否具备指数函数解析式具有的三个特征：底数a为大于0且不等于1的常数；自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；ax的系数是1；知识点9、指数函数的性质例9、求函数的定义域、值域【提示】注意：利用指数函数的性质进行转化；【解析】要使函数有意义，则x应满足32x10，即32x132；因为，y3x在R上是增函数，所以，2x12，解得x；故所求函数的定义域为；当x时，32x1，所以，32x10，)则，原函数的值域为0，)；【说明】函数yaf(x)定义域、值域的求法：（1）定义域：形如yaf(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合
11、（2）值域：换元，令tf(x)；求tf(x)的定义域xD；求tf(x)的值域tM；利用yat的单调性求yat，tM的值域；【注意】（1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论；知识点10、指数函数的单调性例10、已知函数f(x)ax24x3.（1）若a1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)的最大值为3，求a的值【提示】注意：转化为若干个初等函数；【解析】（1）当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在
12、(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)；（2）令g(x)ax24x3，则f(x)g(x)，由于f(x)的最大值为3，所以g(x)的最小值为1，当a0时，f(x)4x3，无最大值；当a0时，有，解得a1，所以当f(x)的最大值为3时，a的值为1；【说明】对于指数型函数单调性的一些方法技巧：（1）求形如yaf(x)(a0，且a1)函数的单调性的特点：函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域；当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相反；（2）一般地，在复合函数
13、yf(g(x)中，若函数ug(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且函数yf(u)在区间(g(a)，g(b)或在区间(g(b)，g(a)上是单调函数，那么yf(g(x)在区间(a，b)上的单调性见下表：ug(x)增增减减yf(u)增减增减yf(g(x)增减减增由此可得，复合函数单调性的规律是：同增异减知识点11、指数函数的图像特征例11、函数的图像恒过定点_.【提示】利用指数函数恒过点(0,1)性质解题；【答案】【解析】因为 ，所以， 函数的图像恒过定点，故答案为； ；【说明】本题是利用指数函数yax(a0，且a1)恒过定点(0,1)的性质解决yag(x)k(k为常数)的恒过定点的问题，
14、此类问题常见解法如下：分别将g(x)，yk看作整体，令g(x)0，yk1，求出(x，y)值即为所求定点【附】指数函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点；(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)；(3)利用函数的奇偶性与单调性奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势；4.3 对数函数4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质（1）；4.3.2 对数函数的性质（2）知识点12、对数函数例12、若函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_.【提示】理解与明确对数函数的定义；【答案】1；【解析】a2a
15、11，解得a0或1，又a10，且a11，所以，a1；【说明】判断一个函数是对数函数必须是形如ylogax(a0，且a1)的形式，即必须满足以下条件：系数为1.底数为大于0且不等于1的常数对数的真数仅有自变量x；知识点13、反函数例13、函数yf(x)的图像是过点(4，1)的直线，其反函数的图像过点(3，2)，求函数f(x)的表达式【提示】注意：原函数与反函数图像间关系；【答案】由题意，设所求的函数为f(x)kxb(k0)，因为f(x)的图像过(4，1)，4kb1，又f1(x)的图像过点(3，2)，2kb3，解可得：k，b，从而f(x)x；【解析】本题主要考查了互为反函数的函数图像间的关系及性质
16、；知识点14、定理： 当，时，；例14、已知实数alog45，b，clog30.4，则a，b，c的大小关系为（ ）Abca Bbac CcabDcba【提示】注意：指数、对数函数的图像特征与“特殊值”在比较大小中的“巧用”；【答案】D；【解析】由题知，alog451，b01，clog30.40，故cba；【说明】在比较不同低的指数与对数时，注意发挥“0”、“1”的中介作用；知识点15、对数函数性质例15、已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)，其中0a1；（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的最小值为4，求a的值；【提示】注意：利用对数函数的性质；【解析】（1）要使函数
17、有意义，则有解得3x1，所以函数的定义域为(3,1)；（2）函数可化为：f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)loga(x1)24，因为3x1，所以0(x1)244；因为0a1，所以loga(x1)24loga4，即f(x)minloga4，由loga44，得a44，所以a4；【说明】特别注意：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1；对于对数型函数的性质之研究，主要是：在保证有意义前提下，分解成若干个初等函数解之；知识点16、对数函数的图
18、像特征例16、（1）如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的图像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？（2）函数f(x)loga|x|1(a1)的图像大致为（ ）【提示】注意：底数的对数等于1；明确对数函数的图像性质；【答案】（2）C；【解析】（1）据图，作直线y1，结合“底数的对数等于1”；它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4a31a2a10；（2）函数f(x)loga|x|1(a1)是偶函数，所以，f(x)的图像关于y轴对称，当x0时，f(x)logax1是增函数；当x0时，f(x)loga(x)1是减函数；又因为，图像过(1,1)，(1,1)两点，结合选项可知，选C.【说明】有关对数型函数图像问题的应用技巧：（1）求函数ymlogaf(x)(a0且a1)的图像过定点时，只需令f(x)1求出x，即得定点为(x，m)；（2）给出函数解析式判断函数的图像，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图像的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图像选出，解决此类题目常采用排除法；第14页普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）
