1、第20题 平面向量最值范围，解法灵活数形为本已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）ABCD本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要思路一是以切线长为变量x，将可表示为x的函数，再转化为方程用判别式法求解， 如图20-1所示，设（），则，令，则即，是实数，即，解得或故，此时，故选D1设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最大值等于 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要思路二是以OP长为变量r，将表示为关于的
2、函数，借助基本不等式求解. 如图20-2所示，设，则，有，当且仅当时等号成立，故选D（2023天津统考高考真题）2在中，记，用表示 ；若，则的最大值为 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要思路三是以O到AB中点M的距离为变量，将表示为关于的函数（利用向量运算三角形法则和直角三角形射影定理求得），借助基本不等式求解. 如图20-3所示，设AB的中点为M且，在中，由直角三角形射影定理有，当且仅当时等号成立，故选D（2024全国模拟预测）3已知非零且不垂直的平面向量，满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则，夹角的余弦
3、值的最小值为 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要思路四是引进为变量，将表示为三角函数，原问题进入了三角函数这一知识板块，应用三角恒等变换、三角函数的性质以及换元法求解. 设，则令，故选D4如图，已知等腰直角三角形中，两顶点分别在正半轴（含原点）上运动，分别是的中点，则的取值范围是 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要思路五是建立适当地平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，建立关于坐标的函数式，再求最小值. 如图20-4所示，以OP为x轴，O为原点
4、建立直角坐标系，则圆的方程为，设，故选D5如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要思路六是利用向量极化恒等式：进行转化，由基本不等式求最小值. 如图20-3所示，设AB的中点为M，在中，由直角三角形射影定理有，当且仅当时等号成立，故选D（2024吉林统考二模）6已知平面向量，且，则（）A与的夹角为B的最大值为5C的最小值为2D若，则的取值范围【点评】1.向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，由于向量既有几何形式（
5、有向线段）也有代数形式（坐标法表示），既有大小（长度）又有方向（夹角），所以具有很强的灵活性，向量进人高中数学之后，使高中数学各知识点之间的距离大大地缩短了，从而成为沟通数学各分支（平面几何、解析几何、立体几何、三角函数、不等式等）的桥梁和纽带，给传统的数学带来了无限生机和活力，向量法蕴含着浓厚的数学思想，处处闪烁着数学美的光辉2.向量法主要可以解决如下几类问题（1）利用（），求解平行问题（2）利用，求解有关垂直问题（3）利用，求解有关角的问题（4）利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关距离的问题（5）利用及等性质解决有关函数、不等式、三角函数问题，利用向量法证明不等式，方法漂亮、新
6、颖、耐人寻味（6）构造向量、用向量的方法可以解决某些代数、几何、三角中的问题（7）向量法在解析几何中的应用已成为高考命题的热点和亮点3.平面向量中最值问题的常用思路有，向量不等式法、目标函数法、几何性质法.具体方法包括判别式法、配方法、基本不等式法、换元法、坐标法、函数性质法、导数法等.（2024上湖南娄底高三统考期末）7已知平面非零向量的夹角为，且满足，则的最小值为（）AB12CD24（2022全国模拟预测）8已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的最大值为（）AB3CD6（山东日照2023一模）9已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任
7、意一点，则的最大值为（）A13B12C8D（2024下安徽高三合肥一中）10已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 11给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 .12设，若平面上点满足对任意的，的最小值为 .试卷第9页，共10页学科网（北京）股份有限公司参考答案：12【分析】由题意，可得，从而可得当时，；当时，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案【详解】解：，为单位向量，和的夹角等于，当时，则；非零向量，当时，故当时，取得最大值为2，综上，取得最大值为2
8、故答案为：22 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.3【分析】利用基本不等式求出，再根据向量投影求出，求出夹角的余弦值的最小值.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号设，的夹角为，则由题意得，易知，且，则，所以，所以，夹角的余弦值的最小值为故答案为：4【分析】以P点为圆心，AC所在直线为
9、X轴建立直角坐标系XOY，可设，且，由向量的坐标运算可得：，问题可得解.【详解】以P点为圆心，AC所在直线为X轴建立直角坐标系XOY,如下：则由已知得，所以点O在以P为圆心的单位圆上，可设，且所以，所以当时，解得故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算和三角函数值的范围，本题关键是重新建立合适的坐标系使问题得以解决，考查了转化思想，属于难题.5【分析】建立平面直角坐标系,用三角函数表示，最后根据函数单调性求最小值.【详解】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则 设 .又向量所以，令，则所以当时，取最小值为.【点睛】涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂
10、直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.6ACD【分析】利用平面向量的数量积公式求解选项，设，根据已知条件求出向量，建立直角坐标系，将转化为即可求其最大值；根据图形可知点的轨迹，利用几何性质即可求出的最小值；设出点的坐标，根据已知条件，转化为三角函数求最值的问题求解.【详解】对于A，由于，则，则，由于向量夹角范围为大于等于小于等于，故与的夹角为，则A正确；对于B，设，则，不妨设，,由于，即，故为等腰三角形，则，故，因为，所以，则点C在以为弦，且使得的两个优弧上，如图示：故C点所在优弧所在的圆的直径为，则其半径为，设该圆的方程为，将坐标代入，得
11、，解得或，则两优弧所在圆的圆心为，且两个圆心关于直线对称，设的中点为M，则，而到弦AB的距离为，故的最大值为，则的最大值为6，即的最大值为6，则B错误；对于C，即为，结合C点轨迹可知当C在圆上的那条优弧上运动时，会取到最小值，由于，故的最小值为，即的最小值为2，则C正确；对于D，结合以上分析可知，当C在圆上的那条优弧上时，圆的方程为，设，其中，则由可得，解得 ，即，所以，当C在圆上的那条优弧上时，圆的方程为，设，其中，则由可得，解得，即，所以，综上所述，的取值范围，则正确；故选：.【点睛】平面向量中的复杂问题，可以坐标化为纯代数运算来求解.7D【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，
12、利用基本不等式进行转化求解即可【详解】由已知非零向量的夹角为，所以，由，两边平方得当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为24.故选：D.8C【分析】根据题意，求得，得到，结合圆的切线的性质，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】如图所以，因为过点作圆的两条切线，可得，由，即，所以，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故选：C.9B【分析】以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示研究最值.【详解】以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB、DE交y轴于G、H，则，设，由正六边形对称性，不妨只研究y轴左半部分， （1）
13、当P在EH上时，则，则；（2）当P在AG上时，则，则；（3）当P在EF上时，则：，则；（4）当P在AF上时，则：，则.综上，所求最大值为12.故选：B.10【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可.【详解】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，又，则，即，解得，,因为，则，所以当时，取得最大值1，则的最大值为.故答案为：.112【详解】 所以最大值为212【分析】建立如图所示的坐标系，则，设，则，所以，从而，结合，可得，对任意恒成立，则必然成立，可得，而，从而可求得结果【详解】解：以线段的中点为原点，以所在的直线为轴，以其中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设，则，所以，因为，所以，化简得，由于上述不等式对任意恒成立，则必然成立，解得，所以或， 因为，所以，因为，所以，即，所以的最小值为，故答案为：【点睛】此题考查向量的数量积运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题答案第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司
