1、例谈圆锥曲线中的同构思想圆锥曲线中，同构结构的出现一定等价于图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构”特征，这样的同构特征，往往是我们简化运算，同时也是解决一些问题的抓手.一双切线同构.显然，从已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，记切点为，那么这两条切线的地位是相同的,这样，我们就可按照下列方式来构造同构方程：第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系，式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程；第
2、3步：利用方程根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.其中，圆的双切线可以用几何方法解决，而圆锥曲线的双切线则只能使用韦达定理判别式来解决.例1如图，圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；（2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于ST两点，求的最小值.解析：（1）所以直线AB过定点.（2）设切线方程为，即，故到直线的距离，即（*），设PA，PB的斜率分别为，则它们为（*）式的解，即，把代入，得，当时，取得最小值.例2已知椭圆的一个焦点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到
3、椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程注：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆：解析：若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点的坐标是，或满足要求当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点的坐标为（，且），因此设过点的切线方程为（），由得因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以，因此进而可得二割线同构比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程.例3. 如图，已知点P是y轴左侧(不含y
4、轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上设AB中点M，证明：PM垂直于y轴.解析：显然，均是等价的，那么它们的中点也是等价的，将其中点坐标代入抛物线的方程后，就可以得到关于参数的同构方程，进而求解.设，因为，的中点在抛物线上，即满足：所以，为方程的两个不同的实数根所以因此，垂直于轴例4.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0（1）求的斜率；（2）若，求的面积解析：设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率.因为直线的斜率之和为，即，所以，
5、整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为.点评：的等价地位就意味着等价，则的坐标一定是曲线方程的同构解，此时若我们用的参数来表示的坐标，再利用同构解来求得的斜率，这就是整个问题的基本思路.三同构方程过定点例5.（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(1)证明：设,则又因为，所以.故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立所以
6、直线恒过定点.习题演练（2021全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由解析：（1）的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.学科网（北京）股份有限公司
