1、考点26 基本不等式基本不等式作为求最值的常用工具，常与其他知识相结合，注意使用基本不等式的条件.基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式1基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号2算术平均数与几何平均数设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，xy有最小值是.(简记：积定和最小)（2）如果和xy是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)4常
2、用结论（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）二、基本不等式在实际中的应用1问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；2经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及等解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等常见的变形手段有拆、
3、并、配.拆裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件并分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值配配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一
4、般是利用函数单调性求解.典例1 若正数a，b满足，则的最小值为A1 B6 C9 D16【答案】B 【解析】解法一：因为，所以ab=ab(a1)(b1)=1，所以=23=6(当且仅当，b=4时取“=”).故的最小值为6.解法二：因为，所以ab=ab，所以(当且仅当，b=4时取“=”)故的最小值为6.解法三：因为，所以，所以(当且仅当b=4时取“=”)故的最小值为6.【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误1已知，则的最小值为_2已知正实数，满足，则的最小值为_.考向二 基本不等式
5、的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资a元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第
6、一年为b元，以后每年增加b元（a、b是常数），用t表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y，即y= (设备单价+设备维修和消耗费用）设备使用的年数（1）求y关于t的函数关系式；（2）当a=112500，b=1000时，求这种设备的最佳更新年限【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以b为首项，b为公差的等差数列， 因此年平均维修和消耗费用为(元).于是有y=b2(t+1)+at=b2+bt2+at,t0. （2）由（1）可知，当a=112500，b=1000时，当且仅当t=225t,即t=15时，等号成立.答：这种设备的最佳更新年限为15年【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的
7、关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢.3为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（ ）ABCD考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几
8、何、解析几何等问题主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解（2）条件不等式问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解（3）求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是ABCD【答案】C【解析】对于A：(当时，)，A不正确；对于B：，B不正确；对于C：，C正确；对于D：，D不正确.故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的
9、特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.典例4 设，且恒成立，则的最大值是ABCD【答案】B【解析】等价于，而，当且仅当，即时取等号，故得到，则的最大值是3.故答案为B.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4下列说法中不正确的有（ ）A不等式恒成立B存在a，使得不等式成立C若，则D若正实数x，y满足，则5已知，且.若恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD典例5
10、 设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为_【答案】【解析】因为，所以则即.所以.当且仅当时取等号.故答案为：.【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值典例6 已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为ABCD【答案】A【解析】由题意得，因为，为正实数，则，当且仅当，即时取等号.所以选择A.【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.典例7 在中，内角、所对
11、应的边分别为、，且若，则边的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】由二倍角的正弦公式以及边角互化关系可求得的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值.【详解】，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立.因此，边的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理和基本不等式求边的最小值，同时也考查了正弦定理边角互化以及二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6若，为的内角，满足，成等差数列，则的最小值是_.1若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD2函数的最小值是（ ）ABCD3若，则恒成立的一个充分条件是（ ）ABCD4已知，则的最小值为（ ）A6B7C
12、8D95已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（ ）ABCD6用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A3cm2B6cm2C9cm2D12cm27若正数满足，则的最小值是（ ）A24B28C30D258已知，且，则的最小值为（ ）A2B4C6D89设，.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A3BCD10已知，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD11已知在时取得最小值，则_.12各项为正的等差数列中,与的等差中项为,则的最大值为_13已知关于的不等式的解集为，则的最小值是_14若实数满足，则的最大值为_.15若函数的最大值为，正数，满足，则的最小值为_.16若正
13、实数，满足，则下列正确的是_：的最小值为4；的最大值为；的最大值为；的最小值为.17扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.（1）求关于的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.1【2020年新高考全国】已知a0，b0，且a+b=1，则ABCD2（2019
14、年高考浙江卷）若，则“”是 “”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3（2019年高考天津卷文数）设，则的最小值为_.4（2018年高考天津卷文数）（2018天津文科）已知，且，则的最小值为 .5（2018年高考江苏卷）在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_6（2017年高考天津卷文数）若，则的最小值为_7（2017年高考山东卷文数）若直线过点,则2a+b的最小值为_8（2017年高考江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_9【20
15、20年高考江苏】已知，则的最小值是 10【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为_变式拓展1【答案】5【解析】【分析】由，然后结合基本不等式即可求解【详解】因为，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，合理构造利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2【答案】2【解析】【分析】由题意，得，可求出的最小值，可得的最小值.【详解】解：由，得，故（当且仅当，时取等号），故答案为：2.【点睛】本题主要考查基本不等式的性质与应用，解本题的关键是求出后利用基本不等
16、式求出的最小值，考查学生的推理与计算能力，属于中档题.3【答案】B【解析】【分析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长.【详解】设，则，所以，当且仅当，即时，取“”号，所以当时，最小故选:B【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.4【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断【详解】不等式恒成立的条件是，故A不正确；当a为负数时，不等式成立.故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选A.【点睛】本题考查基本不等式
17、的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意一正二定三相等另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性5【答案】C【解析】【分析】由题意，利用基本不等式，可得的最小值为12，得到，即可求解实数的取值范围，得到答案【详解】由题意，利用基本不等式，可得，当且仅当，时，取等号，得，解得或，故选C【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中利用基本不等式求得的最小值，合理转化恒成立问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题6【答案】【解析】【分析】根据，成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到，然后由
18、，利用基本不等式求解.【详解】因为，成等差数列，所以，由正弦定理得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.考点冲关1【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质先得到和，再由基本不等式得到，最后给出答案.【详解】解：因为，所以，由基本不等式：当时，所以故选：B【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小、利用基本不等式比较大小，是基础题.2【答案】D【解析】【分析】由，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.【点睛】本
19、题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3【答案】B【解析】【分析】先由基本不等式求出，再根据恒成立求出，最后给出答案即可.【详解】解：因为，由基本不等式，当且仅当即时，取等号，要使得恒成立，则，所以恒成立的一个充分条件是故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求最值、根据恒成立求参数范围、根据充分条件求参数范围，是基础题.4【答案】D【解析】【分析】将展开，即可由基本不等式求出最小值【详解】当且仅当，即时，等号成立故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意“一正二定三相等”的使用条件，属于基础题5【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，得到，再由基本不等式，即可
20、求出结果.【详解】因为是双曲线的半焦距，所以，则，当且仅当时，等号成立.故选：C.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，考查双曲线的性质，属于基础题型.6【答案】C【解析】【分析】由已知可得，而矩形的面积，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为 cm，则有，即，矩形的面积， cm2，当且仅当时等号成立，故选：C【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.7【答案】D【解析】因为，所以的最小值，应选答案D点睛：本题重在考查基本不等式的灵活运用求解这类问题的最大最小值时，可适时灵活使用基本不等式，使得求解过程简捷、明快解答本题的关键在于巧妙地将目
21、标函数变为，然后再运用基本不等式使得问题获解8【答案】A【解析】【分析】由基本不等式得，即可由此求出的最小值.【详解】由基本不等式可得，令，则，即，解得（舍去）或，当且仅当，即时，取的最小值为2.故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9【答案】D【解析】【分析】是与的等比中项，可得.利用及其基本不等式的性质即可得出.【详解】是与的等比中项，.，.，当且仅当时取等号.的最小值为.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值
22、；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10【答案】B【解析】【分析】根据，利用“1”的代换，结合基本不等式求得的最小值，然后根据不等式恒成立，由求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，取等号，又因为不等式恒成立，所以，即，解得，即 ，故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得且仅当时，取得最小值，再结合题意，得到，即可
23、求解.【详解】因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值，又由在时取得最小值，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12【答案】6【解析】与的等差中项为，当时等号成立；故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用等差数列的性质及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（
24、主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13【答案】【解析】【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，由韦达定理知，所以当且仅当取等号【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题14【答案】【解析】【分析】令，可得，则，进而可得，然后求出最大值即可.【详解】令，则，即，所以，当时，；当时，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查由基本不等式求最值，解题关键是代数式的变形，即设，将原式转化为，从而得出可用基本不等式的形式.15【答案】9【解析】【分析】先化，得出
25、其最大值，推出，再与所求式子相乘，展开后利用基本不等式，即可求出最值.【详解】因为，所以其最大值，即，又，为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题型.16【答案】【解析】【分析】根据基本不等式逐项判断即可得正确的选项.【详解】对于，当且仅当时等号成立，故正确；对于，由基本不等式有，即，当且仅当时等号成立，故有最大值，故正确；对于，因为，故，当且仅当时等号成立，故有最大值，故正确.对于，因为，当且仅当时等号成立，故有最小值，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”，考查学生逻辑推理能力
26、与运算求解能力，属于基础题.17【答案】（1）；（2）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.【解析】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.试题解析：（1），其中， ，得，由，得，. （2）得，腰长的范围是 （3），当并且仅当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时腰长为米直通高考1【答案】ABD【解析】对于A，当且仅当时
27、，等号成立，故A正确；对于B，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.2【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时
28、取等号成立.又因为所以的最小值为.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.4【答案】14【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a+18b=2a+2-3b，因为对于任意x，2x0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2-3b22a2-3b=22-6=14.当且仅当2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1时等号成立.综上可得2a+18b的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”5【答案】9【解析】由题意可知，SABC
29、=SABD+SBCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120=12a1sin60+12c1sin60，化简得ac=a+c,1a+1c=1，因此4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac5+2ca4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.6【答案】【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：，
30、当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”7【答案】【解析】由直线 过点可得,所以.当且仅当，即时等号成立.【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式8【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“
31、正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误9【答案】【解析】且，当且仅当，即时取等号.的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
