1、考点33 直线的位置关系此知识点常出现在圆锥曲线试题中的某一步，必须熟练掌握，有时高考也会单独出题，值得注意.（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交 与垂直与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况二、两条直线的交点对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，与的交点坐标就是方程组的解
2、（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解；（3）方程组有无数解与重合三、距离问题（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|（2）点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d（3）两条平行线AxByC10与AxByC20(C1C2)间的距离d四、对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检
3、验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与A垂直B平行C重合D相交但不垂直【答案】A【解析】直线经过，两点，直线的斜率：，直线的倾斜角为，直线的斜率，.故选A.典例2 若直线与直线互相平行，则的值为A4BC5D【答案】C【解析】直线的斜率为，在纵轴上的截距为，因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴上的截距不等于，于是有且，解得，故选C【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.1已知直线l的倾斜角为，直线经过点，且直线与l垂直，直线
4、与直线平行，则_考向二 两直线的相交问题1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例3 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1),因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为,由点斜式得直线l的方程
5、为3x-2y-4=0.方法二：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1)，因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点P的坐标代入得32-21+c=0，解得c=-4.故直线l的方程为3x-2y-4=0.方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+(4x-3y-5)=0(其中为常数),即(2+4)x-(1+3)y-5-3=0,因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以(-)=-1,解得=1.故直线l的方程为3x-2y-4=0.2已知两点，两直线（1）求过点且与直线平行的直线方程；（2）求过线段的中点以及直线与的交点的直线方程考向三 距离问题1.求两点间
6、的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例4 （1）若点A(2，3)，B(4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(1,2)，则直线l的方程为_；（2）若直线m被两直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角( 为锐角)为_ 【答案】（1）x3y50或x1；（2）1
7、5或75【解析】（1）方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20由题意知，即|3k1|3k3|，解得k直线l的方程为y2(x1)，即x3y50综上，直线l的方程为x3y50或x1方法二：当ABl时，有klkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50当l过AB的中点时，由AB的中点为(1,4)，得直线l的方程为x1综上，直线l的方程为x3y50或x1（2）显然直线l1l2，直线l1，l2之间的距离，设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|=，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足
8、为C，则|AC|=d=，在中，sinABC=，所以ABC=30，又直线l1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角为4530=15或45+30=75，故直线m的倾斜角 =15或753已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_.4已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（ ）A或B或C或D或考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上典例5 已知直线l:3x-y+3=0,求:（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;
9、（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P(x,y).kPPkl=1，3=-1，又PP的中点在直线3x-y+3=0上，3-+3=0.联立，解得.（1）把x=4,y=5代入,得x=-2,y=7,P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(-2,7).（2）用分别代换x-y-2=0中的x,y，得关于l对称的直线方程为，即7x+y+22=0.5已知点，直线，直线，则点A关于直线的对称点B的坐标为_，直线关于直线的对称直线方程是_考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到
10、两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例6 求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标【答案】详见解析.【解析】证法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两直线的交点为(2，3)将点(2，3)代入已知直线方程左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)4m23m9m110.这
11、表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，3)证法二：以m为未知数，整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，所以，解得x2，y3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，3)6已知直线（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程1“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2点到直线距离的最大值是（ ）ABCD3过点且与直线垂直的直线方程是（ ）ABCD4顺次连接点，所构成的图形是（ ）A平行
12、四边形B直角梯形C等腰梯形D以上都不对5对于直线，下列说法不正确的是（ ）A无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变B无论如何变化，直线一定不经过第三象限C无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限D当取不同数值时，可得到一组平行直线6设向量，若，则直线与直线的位置关系是（ ）A平行B相交且垂直C相交但不垂直D重合7已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数（ ）A或B或C或D或8设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）ABCD9已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ ）ABCD10抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为a，b（），若直线，则
13、直线的概率为（ ）ABCD11设，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点（异于点，），则周长的最大值为（ ）ABCD12已知直线，直线，则两平行直线间的距离为_.13已知点P(1，1)与点Q(3，5)关于直线l对称，则直线l的方程为_.14过两直线l1：和l2：的交点，且垂直于直线的直线方程为_.15设直线l过点，它被平行线与所截的线段的中点在直线上，则l的方程是_.16已知三边所在直线的方程为AB：，BC：，CA：，则AC边上的高所在的直线方程为_.17已知点，动点，分别在直线和上，且与两直线垂直，则的最小值为_.18已知直线和直线（）当时，若，求a的值；（）若，求的最小值19已知
14、直线的方程为，若在轴上的截距为，且.（1）求直线与的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程20已知直线，（1）直线l是否恒过定点，若是，求出此定点；（2）若点也在直线l上，求与直线l平行的且距离为的直线的方程1【2020年高考全国卷文数】点到直线距离的最大值为A1B CD22【2008福建高考真题（文）】“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3【2011浙江高考真题（文）】若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_.4【2018全国高考真题（文）节选】设抛物线，点，过
15、点的直线与交于，两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；变式拓展1【答案】8【分析】先由直线的倾斜角求出其斜率，然后根据与垂直求出的斜率并解得，最后由与平行解得，得到.【详解】由直线l的倾斜角为，则的斜率，由l1与l垂直，则且的斜率，得，又由与平行，则斜率，得，则.故答案为：.2【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据两直线平行设出所求直线方程，代入点的坐标可解得结果；（2）根据中点坐标公式求出线段的中点，根据两条直线方程解出交点坐标，由此可得所求直线方程.【详解】（1）因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为，因为所求直线经过点，所以，得，所以所求直线方程为（2）因为，所以线段的中点为，联
16、立，得，即直线与的交点为故所求直线方程为【点睛】结论点睛：与直线平行的直线方程可设为；与直线垂直的直线方程可设为.3【答案】0或【分析】利用已知条件得，求解检验即可得解.【详解】由题意得，解得或，经检验，两种情况均符合题意，ab的值为0或.故答案为：0或.【点睛】方法点睛：形如直线和直线，当l1l2时，A1B2A2B10，B1C2B2C10；当l1l2时，A1A2B1B20.4【答案】C【分析】分类讨论求出直线与直线和的交点，再根据线段长度为，解方程即可得到答案.【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得
17、，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选：C.5【答案】 【分析】由题知直线是线段AB的垂直平分线，可得点B的坐标；求出直线与直线的交点坐标，在上找一点再求其关于对称的点，由两点式方程可得答案.【详解】设点，由题可知直线是线段AB的垂直平分线，且线段AB的中点坐标为，所以，解得，所以；解方程组得，即直线与直线的交点为，因为在直线上，同理可求出关于对称的点为，直线关于直线的对称的直线经过、，代入两点式方程得，即，故答案为：；.【点睛】方法点睛：本题考查了点关于直线对称，直线关于直线对称的问题，解决对称问题常用的方法：（1）中心对称点关于的对称点满足；直线关于点
18、的对称可转化为点关于点的对称问题来解决（2）轴对称点关于直线的对称点，则有；直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决6【答案】（1）证明见解析； （2）面积的最小值为4，直线的方程为【分析】（1）先将直线方程化成点斜式，求得、的值，可得定点坐标，再根据定点在第一象限，可得直线始终经过第一象限；（2）法一：先求得、的坐标，可得的面积为表达式，再利用基本不等式，求得的最小值及此时的值，进而得到此时直线的方程法二：设直线的方程为，则，直线过定点，所以，利用基本不等式求得，则可得的最小值及此时的的值，进而得到此时直线的方程【详解】（1）因为直线，即，令，求得，即直线过定点且在第一象限，所以
19、无论取何值，直线始终经过第一象限（2）方法一：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，令，解得；令，得，即，则，当且仅当，也即时，取得等号，则，从而的最小值为4，此时直线的方程为，即方法二：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，设，设直线的方程为，则，又直线过定点，所以，又因为，所以，即：，所以，即的最小值为4，此时，解得，所以直线的方程为，即：【点睛】本题主要考查直线经过定点问题和直线方程，涉及三角形的面积、截距的定义，以及利用基本不等式求面积最值，考查计算能力考点冲关1【答案】A【分析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果.【详解】当两条直线斜率乘积为时，两条直线互相垂直，充分性
20、成立；当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.2【答案】D【分析】由点到直线距离公式求得距离，然后由函数的知识得最大值【详解】由题意所求点到直线距离为，当且仅当时等号成立，所以的最大值为2故选：D3【答案】C【分析】由两直线垂直的性质求出所求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程，化为一般式.【详解】解：由于直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，故所求直线的方程为，即，故选：C.【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于容易题.4【答案】A【分析】由四个点的坐标可求出， 根据斜率关
21、系以及线段的长度，即可得结果.【详解】因为，所以，所以，所以四边形是平行四边形.故选：A【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件，考查了直线的斜率公式，属于基础题.5【答案】C【分析】将直线方程化为斜截式方程，即可判断各选项的真假【详解】直线可化为：，所以直线的斜率为，倾斜角为，所以正确；直线斜率为，纵截距为，所以直线经过一，二，四象限，所以正确，错误；直线是斜率为的平行直线系，所以当取不同数值时，可得到一组平行直线，正确故选：【点睛】本题主要考查通过直线的方程研究直线的特征，属于基础题6【答案】B【分析】根据向量垂直，得到，从而可得两直线斜率之间的关系，即可得出结果.【详解】因为向量，若，则，
22、即，所以直线可化为，直线可化为，两直线斜率之积为，所以两直线相交且垂直.故选：B.7【答案】B【分析】求出直线的斜率，当时验证与垂直，满足条件.当时，求出的斜率，由，则，求出的值.【详解】的斜率，当时，的斜率，即，解得，当时，、，直线为轴，直线为轴，显然，实数的值为或，故选：B.8【答案】A【分析】依据入射光线和反射光线关于直线对称，假设入射光线上两点、，求出这两点关于对称的两点，由两点式即可求得反射光线【详解】入射光线和反射光线关于直线对称，设入射光线上任意两点、，则关于直线对称的两个点的坐标分别为、且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反射光线所在的直线方程为，故选：A.9【答案】A【分析
23、】先在已知直线上取两点关于对称，在利用对称点求直线的方程即可.【详解】直线取两点，其关于对称的点为在直线上，故斜率为，即方程为，即.故选：A.10【答案】B【分析】先根据直线平行写出满足的基本事件数，再根据古典概型计算概率即可.【详解】解：根据题意，基本事件共36个，若直线，则满足且，所以包括的基本事件为，；，；当，时，直线和重合，不合题意，所以直线的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率，是基础题.11【答案】D【分析】根据，得到与始终垂直，即，则，由基本不等式，得到求解.【详解】直线：过定点，直线：过定点，因为，所以与始终垂直，又是两条直线的交点，.由，可得，则，即有，当且仅当时
24、，上式取得等号，周长的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系的应用以及基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12【答案】【分析】由求出a,再根据平行线间的距离公式求解即可【详解】因为，所以，解得，故由平行线间的距离公式知，故答案为：13【答案】xy40【分析】先利用两点之间的斜率公式求解直线PQ的斜率，再利用已知条件得到直线l的斜率k21，利用中点坐标公式求解线段PQ的中点坐标，最后利用点斜式求解即可.【详解】直线PQ的斜率k11，由点P(1，1)与点Q(3，5)关于直线l对称，直线l的斜率k21，又线段PQ的中点坐标为(1，3)，直线l的方程为xy40.故
25、答案为：xy40.14【答案】x+2y+9=0【分析】联立直线方程解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可【详解】联立方程组，解得，直线和的交点为，直线的斜率为2，由垂直关系可得所求直线的斜率为，所求直线的方程为，化为一般式可得故答案为：【点睛】方法点睛：求直线的方程，一般利用待定系数法，先定式，后定量.先定式，指的是根据已知条件从直线的5种形式里选择合适的一种作为直线的方程，后定量，指的是根据已知求出待定系数得解.15【答案】【分析】由于到平行线与距离相等的直线方程为，然后由可求出直线l被平行线与所截的线段的中点坐标，再利用两点式可求得方程【详解】解：因
26、为到平行线与距离相等的直线方程为.所以联立方程组解得，所以直线l被平行线与所截的线段的中点为.所以直线l的两点式方程为，即.故答案为：，【点睛】此题考查直线方程的求法，考查计算能力，属于基础题16【答案】【分析】联立方程组解得的坐标，根据垂直得到AC边上的高所在的直线的斜率，再根据点斜式可得结果.【详解】由得，所以交点的坐标为.因为边上的高所在的直线的斜率，边上的高所在的直线方程为，即.故答案为：.17【答案】【分析】设，求出点坐标，计算，再用几何意义求出的最小值即得【详解】解：设，由于与两直线垂直且，则，故.此式可理解为点到及的距离之和，其最小值即为.故所求最小值为.故答案为：.【点睛】方法
27、点睛：本题考查距离之和的最值问题，解题方法是：用坐标表示距离，化几何问题为代数问题，利用函数知识求解，对平方和（或二次根式下的平方和）形式，或一次分式形式的代数式又可利用几何意义：两点间的距离公式，点到直线的距离，直线的斜率，可代数问题转化为平面上的几何问题，利用图形易得结论18【答案】（1）；（2）2【分析】（1）通过l1l2，斜率相等，截距不相等，推出关系式，然后求b的取值范围；（2）利用l1l2，得到，然后利用基本不等式求|ab|的最小值【详解】（1）直线：和直线：，l1l2，且，即，且，若，则，整理可得，解得.（2）由，当任一直线斜率不存在时，显然不成立，又，当且仅当，即时等号成立，的
28、最小值为2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系、垂直关系，关键是熟记两直线平行时：系数满足；两直线垂直时，系数满足：，考查了计算能力.19【答案】（1） ；（2）或.【分析】（1）先根据设出直线的方程，再将点代入即可求得直线的方程，与直线联立即可求解；（2）讨论直线过原点和不过原点两种情况，过原点结合过与的交点即可写出方程，不过原点时，设出其截距式方程，即可求解.【详解】（1）设的方程为，. 因为在轴上的截距为，所以，解得，即：， 联立，得所以直线与的交点坐标为 （2）当过原点时，的方程为，当不过原点时，设的方程为，又直线经过与的交点，所以，得，的方程为， 综上，的方
29、程为或.【点睛】易错点睛：题目中给的条件在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，容易忽略横纵截距都为0的情况也符合题意.20【答案】（1）定点为；（2）或【分析】（1）将直线的方程化为点斜式，令，即可得出定点； （2）由点求出直线的方程，由平行设出的方程，再由平行直线距离公式求出的方程.【详解】（1）直线即为令，可得直线上的定点坐标为（2）将点代 入直线的方程，可得因为，所以设，根据平行直线距离公式可知，或所以或【点睛】对于直线过定点问题，关键是将直线方程化为点斜式方程，从而得出定点.直通高考1【答案】B【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.2【答案】C【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C.3【答案】【解析】，即.4【答案】（1）或.【分析】（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入抛物线方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；【详解】（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或所以直线的方程为或.29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
