1、考点40 排列、组合【命题趋势】从近五年的高考来看，本节内容是命题的热点，主要考查排列与组合的综合应用，分组分配问题是命题热点，多为选择题、填空题，难度中等偏下【重要考向】本节内容主要通过排列、组合的应用考查逻辑推理核心素养 计数原理1（1）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则（2）应用分类加法计数原理要注意的问题：明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法确立恰当
2、的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏2应用分步乘法计数原理要注意的问题：（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏3（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：
3、一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题（2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有个，真子集有个【典例】1甲、乙、丙、丁4名同学到3个不同的景点旅游，每人只选择1个景点，则不同的选择种数为（ ）ABCD12【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理，考虑4名同学逐个选景点进行计数计算即可【详解】每人都有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选择故选：A
4、排列问题解决排列问题的主要方法有： （1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置. （2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列. （3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. （4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.【典例】2某
5、班上午有5节课，分别安排语文数学英语物理化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ）A36B24C18D12【答案】A【分析】先将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列，再将数学插空，由分步乘法计数原理计算即可.【详解】将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列有种排法，数学不排在第一节课，将数学插空有种，由分步乘法计数原理可得不同的排课法的种数是种，故选：A.组合问题方法指导：组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关
6、键词的含义，做到不重不漏.【典例】3为配合国家的精准扶贫战略，某省示范性高中安排名高级教师到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少安排人，则不同的分配方案有（ ）A种B种C种D种【答案】D【分析】先分组，将六名教师分成“222”，“123”，和“114”三种形式，然后在分别讨论各情况的分配方案，最后把所有情况求和.【详解】分配方式有三种：如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种；如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种；如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种.共有种不同的分配方案.故选：.42020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难
7、，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的，三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为_.【答案】【分析】由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，当分成1，1，3时，有种情况，当分成1，2，2时，有种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有种情况.城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有（种），因此所求概率.故
8、答案为：排列与组合的综合问题【典例】5现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A152B126C90D54【答案】B【分析】根据题意，按丁、戌的分工情况不同分两种情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，（2）丁、戌不同时参加一项工作，分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案【详解】根据题意，分情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，种，（2）丁、戌不同时参
9、加一项工作，进而又分为2种情况一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有种，则有种，二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同一份工作有种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有种，所以有，由分类加法计数原理可得共有故选：B13名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（ ）A81B64C24D122从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（ ）A12B24C64D813若
10、把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）A9B18C19D204把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（ ）A20个B62个C63个D64个5从名男生与名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为（ ）ABCD6如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有（ ）种A36B48C54D727为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩、间隔而坐”的方案.若一排有个座位，安排名同学就坐，则共有_种不同的安排方法（用数字
11、作答）.8年春，荆楚大疫，染者数万计.举国防，皆闭户.各地医院紧急派遣医护人员支援湖北.现长沙市某医院需要从医院某科室的名男医生、名女医生中分别抽调名男医生、名女医生前往武汉，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_种.(用数字作答)9在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排、共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知、员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有、共3个人在五一长假期间共有_种不同的值班方案（用数字作答）1（2021年全国乙卷（理）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配
12、到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A60种B120种C240种D480种2（2021年全国甲卷（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）ABCD3（2019年全国卷（理科）（新课标）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是ABCD4（2018年全卷理数（全国卷II）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选
13、取两个不同的数，其和等于30的概率是ABCD 1已知，则可表示不同的值的个数为（ ）A8B9C10D122三名防控新冠疫情志愿者分别报名参加甲乙两个社区服务，每个人限报其中一个服务社区.则不同的报法种数是（ ）A12种B9种C8种D6种3某日，从赣州到南昌的火车共有10个车次，飞机共有2个航班，长途汽车共有12个班次，若该日甲只选择这3种交通工具中的一种，则甲从赣州到南昌共有（ ）A12种选法B24种选法C22种选法D14种选法45名同学站成一排，若同学A与同学B相邻，且同学A与同学C不相邻，则不同的排法种数为（ ）A36B25C16D485甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站
14、2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）A160B200C210D2206在某校举行一次阅读分享活动中，需从4名男生和3名女生中任选4人参加，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法的种数是（ ）ABCD7高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（ ）A864种B432种C288种D144种8学校准备在周二上午第1、2、3、4节举行化学、生物、政治、地理共4科选考科目讲座，要求生物不能排在第1节，政治不能排在第4节，则不同的安排方案的种数为（ ）A12B14C20D249用红、黄、蓝
15、、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为_10近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、红、绿四种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有_种不同的种法.（用数字作答）参考答案跟踪训练1【答案】B【分析】有题意可知每个同学有4种不同的选法，按照分步计数原理相乘即可.【详解】解：因为每个同学可自由选择一门，所以每个同学有4种不同的选法，所以共有种不同的选择种数.故选
16、：B2【答案】B【分析】题目考察简单的排列问题，即四本书选三本给三个人，符合的含义【详解】4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为故选：B3【答案】C【分析】先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，再排3个“r”， 结合分步计数原理即可求出所有的排法，减去正确的1种顺序即可求出结果.【详解】单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”和“o”，则共有种，再排3个“r”，直接放进剩余的3个位置即可，有1种，结合分步计数原理可得，这5个字母共有种放法，其中正确的有1种，故可能出现的错误写法的种数为种
17、，故选：C.4【答案】B【分析】该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据7前面的数字的个数多少分类即可【详解】该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当7前有1个数字时，有种，当7前有2个数字时，有种，当7前有3个数字时，有种，当7前有4个数字时，有种，当7前有5个数字时，有种，根据分类计数原理，共有种，故选：B5【答案】B【分析】可以用直接分类分步方法求解；也可以从反面间接计算.【详解】解法一：根据题意，选取的人中，女生人数为人或人，选派的方法数有;解法二：没有女生的选派方法为所选两人都是男生，有种，从5人中选2
18、人总的选派方法有，故至少有一名女生的选派的方法数有.故选：B.6【答案】D【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】解：由题意，如图，假设5个区域为分别为1、2、3、4、5，分2种情况讨论：当选用3种颜色花卉的时，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法种，当4种不同颜色的花卉全选时，即2、4或3、5用同一种颜色，共有种，则不同的种植方法共有种；故选：D.7【答案】【分析】题目考察简单的排列问题，先排空座，一种情况，出现6个空，再将5名学生插空排列【详解】根据题意，一排有个座位，先排个空座位不坐学生，形成个
19、空位，再在个空位中任选个位置就坐，则有种不同的安排方法.8【答案】【分析】利用组合数求选派方法.【详解】由题意可知不同的选派方法有种.故答案为：9【答案】150【分析】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天；1人值1天，其余2人各值2天.分别计算出结果相加即可.【详解】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天，共有种方案；1人值1天，其余2人各值2天，共有.因此共有种值班方案.故答案为：150真题再现1【答案】C【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连
20、同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.2【答案】C【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.3【答案】A【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A4【答案】C【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有
21、种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.模拟检测1【答案】B【分析】对的值一一列举即可得到答案.【详解】因为，所以时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；一共有9个不同结果.故选：B2【答案】C【分析】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，结合分步计数原理计算即可得到答案.【详解】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，即2种情况，则不同的报法种数是种，故选：C.3【答案】B【分析】根据计数原理的加法法则可得选项.【详解】由计数原理的加法法则可得，甲从赣州到南昌共有10+2+12=24种选法.故选：B.4【答案】A【分析】先
22、利用捆绑法求得同学A与同学B相邻的排法，减去其中A与C相邻的情况种数，即得所求.【详解】将A、B捆绑在一起看成一个元素，与其余3名同学排列，并注意A、B之间的不同顺序排列，同学A与同学B相邻的排法有中排列方法，其中A与C相邻的情况有CAB,BAC两种，每一种看做一个元素，与另外的两名同学全排列，有种排列，故符合题意的不同排法种数为,故选：A.5【答案】C【分析】根据每级台阶最多站2人，运用分类讨论思想，结合排列、组合的定义进行求解即可.【详解】当甲、乙、丙3人单独站在一级台阶上，共有种方法；当甲、乙、丙3人中有两人在同一台阶上，另一人在另一个不同的台阶上，共有种方法，所以不同的站法种数是种方法
23、，故选：C6【答案】D【分析】这4人必须既有男生又有女生分为3类，然后根据分步计数原理以及组合数分别求出结果，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】这4人必须既有男生又有女生分为3类，（1）1男生3女生，共有种，（2）2男生2女生，共有种，（3）3男生1女生，共有种，根据分类计数原理，共有种，故选：D.7【答案】A【分析】分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，由乘法原理可得【详解】由题意可分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，方法数为故选：A8【答案】B【分析】根据生物进行分类，根据分类计数原理求解【详解】解：若生物排在第4节，
24、则其它3节任意排，则有种，若生物不排在第4节，则生物排在第2节或第3节，然后将政治排在前3节中的剩下的2节，最后化学、地理排在剩下的2节，则有种，所以根据分类计数原理可知共有种，故选：B9【答案】120【分析】分红色可以涂2个圆或3个圆讨论；当涂2个圆时，再分涂色的位置逐个分析即可【详解】根据题意，红色至少要涂2个圆，则红色可以涂2个圆或3个圆，共2种情况讨论：（1）红色涂3个圆，则红色只能涂第1，3，5个圆，此时有种涂法，（2）红色涂2个圆，若红色涂第1，3个圆，有种涂法，若红色涂第1，4个圆，有种涂法，若红色涂第1，5个圆，则有种涂法，若红色涂第2，4个圆，有种涂法，若红色涂第2，5个圆，
25、有种涂法，若红色涂第3，5个圆，有种涂法，此时有种，所以共有种，故答案为：120【点睛】本题主要考查分类与分步计数原理，需要根据题意先对可能的情况进行分类，再根据特殊位置有限考虑进行分析，属于中档题10【答案】【分析】分用三种颜色或四种颜色涂色该区域，当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时和不同色时两种情况讨论求解即可.【详解】解：当用三种颜色涂色该区域时，先从四种颜色中选三种颜色，有种方案，再用三种颜色涂色，则有种方案，故有种方案；当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时，有种不同方案，当区域不同色时，有种不同方案，故有种不同方案.综上，共有种不同方案.故答案为：15原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司
