1、九省联考压轴题模式第19题分类汇编,三角函数新定义,01,三角函数的周期性,02,正切函数的图象,03,三角函数的图象变换,04,由三角函数的图象确定解析式,05,三角函数的最值,06,三角函数的恒等变换及化简求值,07,三角函数中的恒等变换应用,一三角函数的周期性,1.对于定义域为R的函数f(x)，如果存在常数T，T0，使得sinf(x)是以T为周期的函数，则称函数f(x)为正弦周期函数，且称常数T为f(x)的正弦周期已知函数g(x)满足以下四个条件：函数g(x)是以T为正弦周期的正弦周期函数；函数g(x)的值域为R；函数g(x)在区间(-，+)上单调递增：(0)=2，()=9 2(1)分别
2、判断函数h(x)=x2、()=2022+5 是否为正弦周期函数如果是正弦周期函数，写出它的正弦周期，(不需证明)；,(2)设ab,求证：对任意cg(a)，g(b)，存在唯一的x0a,b使得g(x0)=c；(3)求证：对于任意的x0，T，都有g(x+T)=g(x)+g(T)-g(0),【解析】解：(1)m(x+10)=2022x+20220+cos(+2)=m(x)+20220，sin(m(x+10)=sin(m(x)+20220)=sin(m(x)，m(x)=2022x+cos 是以10为周期的正弦周期函数没有实数T满足sin(h(x+T)=sin(h(x)所以h(x)=x2不是正弦周期函数；
3、,(2)函数g(x)的值域为R，所以对任意cg(a)，g(b)，c都是一个函数值，即存在x0R，使得g(x0)=c,若x0a,由函数g(x)在区间R上单调递增可知，c=g(x0)g(a)，与cg(a)，g(b)矛盾，所以x0a,同理可证x0b.故存在唯一的x0a,b使得g(x0)=c.(3)由条件知，g(x)为R上的连续函数，当x=0时，g(0+T)-g(0)=4，假设当x=x0时，g(x0+T)-g(x0)=4成立，,则当x=x0+x时，x为无穷小量g(x0+x)-g(x0)=，g(x0+T+x)-g(x0+T)=，g(x0+T+x)-g(x0+x)=g(x0+T)-g(x0)+-=4+-，
4、x0，|-|0，由条件可得，g(x0+T+x)-g(x0+x)=2k(kZ)，所以g(x+T)-g(x)=4，即g(x+T)=g(x)+g(T)-g(0)，所以命题得证,2.利用周期知识解答下列问题：()定义域为R的函数f(x)同时满足以下三条性质：存在x0R，使得f(x0)0；对于任意xR，有f(x+2)=9f(x)；f(x)不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数f(x)，则f(x)=(不必说明理由)()说明：请在(i)、(ii)问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择(i)计分(i)求f(x)=sin2x+cos3x的最小正周期并说明理由(i)求证：g(x)=si
5、nx+cosx不是周期函数,【解析】解：()f(x)=3xsin2x(答案不唯一)故答案为：3xsin2x.()若选择(i)我们知道y=sin2x与y=cos3x的周期分别为：，取T=2，则f(2+x)=f(x)，而f(+x)f(x)，可得：2是函数f(x)=sin2x+cos3x的最小正周期(ii)证明：我们知道y=sinx与y=cosx的周期分别为：2，2而2与2的整数倍不可能相等，因此g(x)=sinx+cosx不是周期函数,3.定义一种运算=，若函数()=2 且(0)=2，(3)=1 2 3 2(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)求使f(x)2的x的集合
6、,【解析】解：(1)由题意，得f(x)=2acos2x-bsinxcosx,f(0)=2，2a=2，a=1,f(x)=2cos2x-bsinxcosx又()=，()=，b=2()=+=+(+)f(x)的最小正周期为,(2)由(1)得()=+(+)，由+，得，从而得f(x)的单调增区间为：，()(3)要使f(x)2，则(+)，于是得+，,故所求的x的集合是(，)，,二正切函数的图象,4.若点(x0，y0)在函数f(x)的图象上，且满足y0f(y0)0，则称x0是f(x)的点函数f(x)的所有点构成的集合称为f(x)的集()判断 4 3 是否是函数f(x)=tanx的点，并说明理由；()若函数f(
7、x)=sin(x+)(0)的集为R，求的最大值；()若定义域为R的连续函数f(x)的集D满足DR，求证：x|f(x)=0,【解析】解：(I)不是函数f(x)=tanx的点，理由如下：设=，则=，()=，,因为，所以()=，所以y0f(y0)0，所以 不是函数f(x)=tanx的点；(II)先证明，若，则函数f(x)的最小正周期=，因为函数f(x)=sin(x+)(0)的集为R，所以对x0R，x0是f(x)的零点，令y0=f(x0)，则y0f(y0)0，因为函数f(x)=sin(x+)(0)的值域为-1，1，所以当y00，1时，必有f(y0)0，即f(x)=sin(x+)0对于x0，1恒成立，,
8、所以，即f(x)的最小正周期T2，与T2矛盾；再证明的值可以等于，令f(x)=sinx,对x0R，当y0=f(x0)0，1时，f(y0)0，1，y0f(y0)0；当y0=f(x0)-1，0时，f(y0)-1，0，y0f(y0)0，所以x0是f(x)的点，即函数f(x)=sin(x+)(0)的集为R，综上所述，的最大值是；(III)因为函数f(x)的集D满足DR，所以存在x0R，使得y0=f(x0)且y0f(y0)0，即f(x0)f(y0)0，因为若x0=y0，则()()=()，所以x0y0，因为函数f(x)的图象是连续不断的，,不妨设x0y0，由零点存在定理知，必存在x1(x0，y0)使得f(
9、x1)=0，所以f(x)存在零点，即x|f(x)=0,三三角函数的图象变换,5.定义向量=(,)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”为=(,)，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S()设函数()=2(6)，求证：f(x)S；()记向量=(1，2)的相伴函数为g(x)，当g(x)=2且(0，2)时，求sinx的值；()将()中函数f(x)的图象向右平移 3 个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到h(x)的图象已知A(-3，3)，B(3，11)，,问在y=h(x)的图象上是否存在一点P，使得
10、 若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由,【解析】(I)()=()=+，f(x)是“相伴向量”=(，)的“相伴函数”，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S，f(x)S(II)记向量=(，)的相伴函数为g(x)，g(x)=sinx+2cosx,当g(x)=2且(，)时，sinx+2cosx=2，sin2x+cos2x=1，sinx=0.8(III)由I可得，()=()，将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数()=()=，将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到()=，,设(,)，A(-3，3)，B(3，11)，=(+，)，=(，)，(+)()+()()=0，()=，(1)
11、,，()，又25-x225，当且仅当x=0时，等式(1)成立，h(x)图像上存在点P(0，2)，使得,四由三角函数的部分图象确定解析式,6.若实数x,y,m满足|x-m|y-m|，则称x比y远离m.()若0比sinx远离 1 4，求x的取值范围；()已知函数f(x)的定义域为D=|2+4，kZ，任取xD，f(x)为sinx与cosx中远离0的值，求出f(x)的解析式；写出f(x)的周期，对称轴方程，并指出最大值点(只需写出结论，不要求证明),【解析】解：()若0比sinx远离，则|0-|sinx-|即-,sinx-，求得0sinx，2kx2k+，或 2k+x，kZ，即x的取值范围为(2k，2k
12、+)(2k+，)，kZ()函数f(x)的定义域为D=|+，kZ，任取xD，f(x)为sinx与cosx中远离0的值，可得由题意知f(x)=,(+，+)，,(，+)，,，大致图像如下：_显然，函数f(x)的周期T=2，对称轴方程为x=k+，kZ，当函数f(x)取得最大值时，x=2k，或x=2k+，kZ,五三角函数的最值,7.对nN*，定义()=1(2)(1)求a2(x)-a1(x)的最小值；(2)nN*，有an(x)A恒成立，求A的最大值；(3)求证：不存在m,nN*，且mn,使得am(x)-an(x)为恒定常数,【解析】解：(1)a2(x)-a1(x)=(sin2x-cos2x)-(sin2x
13、-cosx)=-sin2x-cos2x+cosx=-sin2x-(1-2sin2x)+cosx,=-sin2x-+sin2x+cosx=sin2x+cosx-=(1-cos2x)+cosx-=-cos2x+cosx,令t=cosx,t-1，1，则y=-t2+t,对称轴t=-()=1，,所以ymax=-12+1=(2)an=(sin2x-cosnx)，因为nN*，-1cosnx1，所以an=(sin2x-cosnx)=-1，所以A-1，所以A的最大值为-1(3)证明：令g(x)=fm(x)-fn(x)，下面比较g(x)在x=0，处的函数值，,有()=()=()()()=+()()，由-=cos(
14、n)-cos(m)，可得m,n均为偶数，进而cos()，cos()-1，1，于是g()0，-，-，,考虑到-0，于是g()=，此时 为偶数且 为奇数，进而=-，即=3，矛盾，综上所述，不存在符合题意的m,n.,六三角函数的恒等变换及化简求值,8.函数=2 称为“双曲正弦函数”，类似地，函数=+2 称为“双曲余弦函数”()判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；()双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是 _(填写序号)sinh2x+cosh2x=1；sinh2x=2sinhxcoshy；cosh2x=cosh2x-sinh2x.(),请合理定义
15、“双曲正切函数”y=tanhx,写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之,【解析】解：()sin(-hx)=-sinhx,双曲正弦函数是奇函数；()sinh2x+cosh2x=+1，不正确；sinh2x=2sinhxcoshy,正确；cosh2x-sinh2x=+-+cosh2x,不正确,()y=tanhx=，e2x=+tanh2x=+=-+故答案为：,七三角函数中的恒等变换应用,9.对于集合A=1，2，n和常数0，定义：=2(1 0)+2(2 0)+2(0)为集合A相对0的“余弦方差”(1)若集合=3，4，0=0，求集合A相对0的“余弦方差”；(2)求证：集合=3，2 3，相对
16、任何常数0的“余弦方差”是一个与0无关的定值，并求此定值；(3)若集合=4，0，)，2)，相对任何常数0的“余弦方差”是一个与0无关的定值，求出、,【解析】(1)解：当集合=，=时，集合相对0的“余弦方差”=()+()=；(2)证明：当集合=，时，集合相对于常数0的“余弦方差”=()+()+()，(+)+(+)+=+=,，此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；(3)解：当集合=，)，)时，集合相对于任何常数0的“余弦方差”=()+()+()，=(+)+(+)+(+),，要使上式对任何常数0是一个常数，则1+sin2+sin2=0且+=+，所以+=+=，所以()=，又0，)，2)，解得=或=,1
17、0.对于集合=1，2，n和常数0，定义：=2(1 0)+2(2 0)+2(0)为集合相对0的“余弦方差”(1)若集合=3，4，0=0，求集合相对0的“余弦方差”；(2)若集合=3，2 3，证明集合相对于任何常数0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；(3)若集合=4，0，)，2)，相对于任何常数0的“余弦方差”是一个常数，求，的值,【解析】解：(1)当集合为=，0=0时，集合相对0的“余弦方差=()+()=；(2)当集合=，时，集合相对于常数0的“余弦方差”=()+()+()=(+)+(+)+,=+=此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；(3)当集合=，0，)，2)时，集合相对于任何常数0的
18、“余弦方差”=()+()+(),=(+)cos20+(1+sin2+sin2)sin0cos0+(+)sin20要是上式是一个常数，则1+sin2+sin2=0且+=+由0，)，2)，取=或=满足上式,11.定义向量=(,)的“伴随函数”为f(x)=asinx+bcosx；函数f(x)=asinx+bcosx的“伴随向量”为=(,)()写出向量=(4，3)的“伴随函数”f(x)，并直接写出f(x)的最大值M；()求函数()=2(+3)2 2 2+1 的“伴随向量”的坐标；()已知|=|=1，向量、的“伴随函数”分别为f(x)、g(x)，设=+(0，0)，且,的“伴随函数”为h(x)，其最大值为
19、m.求证：向量=的充要条件为m=+,【解析】解：()由题意得：f(x)=4sinx-3cosx,又f(x)=4sinx-3cosx=5sin(x-)，其中tan=，所以M=5；()()=(+)+=cosx-sinx-1+cosx+1=2cosx-sinx,所以“伴随向量”=(-，2)；,()设=(cos，sin)，=(cos，sin)，因为=+=(cos+cos，sin+sin)，所以h(x)=(cos+cos)sinx+(sin+sin)cosx=(cossinx+sixcosx)+(cossinx+sincosx)=sin(x+)+sin(x+)，充分性：h(x)=sin(x+)+sin(x+)+，当且仅当存在x0使得：+=+=+时，等号成立，其中k1，k2Z，,所以-=2(k1-k2)，即=；必要性：当=时，=+2k，kZ，所以h(x)=sin(x+)+sin(x+)=(+)sin(x+)+，当且仅当x+=+2k(kZ)，时，等号成立，所以m=+，综上：向量=的充要条件为m=+,
