1、2022届天津市各区高三一模数学分类汇编专题十五 平面向量1. 【2021天津卷】在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E且交AC于点F,则的值为_；的最小值为_2. 【2020天津卷】如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_3. 【2022和平一模】在中，则_，延长交于点，点在边上，则的最小值为_.4. 【2022部分区一模】在菱形中，则_；点为平面上一点，则的最小值为_.5. 【2022河东一模】在矩形ABCD中，P是对角线AC上一点，过点P的直线分别交DA的延长线DC于M，N，则_，若，则的最小值为_.6. 【2022红桥一模
2、】如图，四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 17. 【2022河西一模】如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，那么_；点M为线段CE上的动点，则的最小值为_8. 【2022南开一模】在ABC中，则_；若M是ABC所在平面上的一点，则的最小值为_9. 【2022河北一模】已知是边长为2的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为_10. 【2022天津一中四月考】 已知等腰直角三角形，点满足，点为线段上的动点，点为线段上的动点.如果，则_；当时，的最小值为_.11. 【十二区县一
3、模】如图，在中，D,E分别边AB,AC上的点,且，则_，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_.专题十五 平面向量（答案及解析）1. 【2021天津卷】在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E且交AC于点F,则的值为_；的最小值为_【答案】 1 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，为边长为1的等边三角形，为边长为的等边三角形，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.2. 【2020天津卷】如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_【答案】 【解析】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点
4、为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.3. 【2022和平一模】在中，则_，延长交于点，点在边上，则的最小值为_.【答案】 . . 【分析】(1)以，为基底表示，根据数量积运算律化简，由此可求BC，(2)建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式表示，再求其最小
5、值.【详解】解：由，可得由，可得，则.如图建立平面直角坐标系，可得，设，.，为中点，时，最小，最小值为.答案为：，.4. 【2022部分区一模】在菱形中，则_；点为平面上一点，则的最小值为_.【答案】 . . 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标计算公式求解即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，为中点所以，所以所以 设，则，所以当且仅当时取等号故答案为：；5. 【2022河东一模】在矩形ABCD中，P是对角线AC上一点，过点P的直线分别交DA的延长线DC于M，N，则_，若，则的最小值为_.【答案】 . # . #【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，根据，即可
6、求出的坐标，根据平面向量数量积的坐标表示计算，根据平面向量线性运算得到，再由平面向量共线定理的推论得到，最后利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：如图以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则、，所以，因为是对角线上一点且，可得；所以，所以因为，所以，所以，因、三点共线，设，则，所以，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故答案为：；6. 【2022红桥一模】如图，四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【分析】首先求得以及，然后结合二次函数的性质求得的最大值.【详解】设，由于，所以，依题意四边形ABCD中，设，则，所以
7、，所以，由得，所以，在三角形中，由余弦定理得，依题意，设，则，其中，所以，当时等号成立.所以的最大值为.故选：A7. 【2022河西一模】如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，那么_；点M为线段CE上的动点，则的最小值为_【答案】 . . #【分析】由已知条件及、，利用向量数量积的运算律及线段的位置关系求，若，则且，应用向量数量积的运算律有，结合二次函数性质求最值.【详解】由题设，且，所以；由题设，则，若，则且，所以，当时，的最小值为.故答案为：，【点睛】关键点点睛：利用图形中的线段关系及向量加法的几何意义，并应用向量数量积的运算律将、作转化.8. 【202
8、2南开一模】在ABC中，则_；若M是ABC所在平面上的一点，则的最小值为_【答案】 . # . #-0.25【分析】根据，得到D为AB的中点，再由，利用数量积运算得到，然后利用数量积的几何意义求解；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：如图所示：因为，所以D为AB的中点，又，且，所以，则，所以，则；建立如图所示平面直角坐标系：则，设，所以，则，所以，当，时，取得最小值，故答案为：，9. 【2022河北一模】已知是边长为2的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为_【答案】【分析】利用平面向量基本定理表示出，再利用数量积的运算即可解决问题【详解】点，分
9、别是边，的中点，且所以：所以=，又是边长为2等边三角形，则所以=【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理及向量运算知识，还考查了数量积的定义，考查计算能力，属于基础题10. 【2022天津一中四月考】 已知等腰直角三角形，点满足，点为线段上的动点，点为线段上的动点.如果，则_；当时，的最小值为_.【答案】 . 3 . 【分析】由结合向量共线定理证明，再由数量积公式得出的最小值.【详解】由题意可知，因为，所以又三点共线，所以，即.设，当时，故答案为：；11. 【十二区县一模】如图，在中，D,E分别边AB,AC上的点,且，则_，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_.【答案】 . 1 . 【分析
10、】由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果【详解】，；又因为且，为正三角形，设长为（），则，时取等号，的最小值为.故答案为：1，.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用学科网（北京）股份有限公司
