1、2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一 确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为，半径长为的圆上的点的集合就是集合.知识点二 圆的标准方程1圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点，圆心的坐标为，由，根据两点间的距离公式，得，等式两边平方得.若点在圆上，易知点的坐标满足方程；反之，若点的坐标适合方程，则点在圆上，我们把方程称为圆心为，半径长为的圆的标准方程.确定圆的标准方程
2、的条件（1）圆的标准方程中有三个参数，其中实数对是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2几种常见的特殊位置的圆的方程条件方程形式单位圆（圆心在原点，半径长为1）过原点（圆心，半径长）圆心在原点（即，半径长为，）圆心在轴上（即，半径长为，）圆心在轴上（即，半径长为，）圆心在轴上且过原点（即，半径长）圆心在轴上且过原点（即，半径长）与轴相切（圆心，半径长）与轴相切（圆心，半径长）知识点三 点与圆的位置关系1圆的标准方程的推导圆的标准方程为，圆心为，半径长为.设所
3、给点为，则点与圆的位置关系及判断方法如下：位置关系判断方法几何法代数法点在圆上点在圆上点在圆上点在圆内点在圆内点在圆内点在圆外点在圆外点在圆外（1）从几何意义上来看，点与圆的位置关系可以根据点到圆心的距离与半径大小的关系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；(3)经过点，圆心在点【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径. 【答案】（1）（2）（3）【解析】
4、(1)(2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为.(3)解法一：圆的半径，圆心在点圆的方程是解法二：圆心在点，故设圆的方程为又点在圆上，所求圆的方程是.例2 已知圆过两点，且它的圆心在直线上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为.依题意，有，即，解得.故所求圆的标准方程为.方法2：直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为2.线段的中点的横坐标和纵坐标分别为，.因此直线的方程为即.又因为圆心在直线上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得，解得.设圆心为，所以圆心坐标为，又因为半径长.所以所求圆的标准方程为.方法3：设圆心为.因为圆心在直线上
5、，所以可设圆心的坐标为.又因为，所以，解得.所以圆心为，半径长.故所求圆的标准方程为.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程考点二：点与圆的位置关系例3判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x5)2+(y6)2=10的位置关系【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内【解析】 圆的方程为(x5)
6、2+(y6)2=10，分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得(65)2+(96)2=10，M在圆上；(35)2+(36)2=1310，N在圆外；(55)2+(36)2=910，Q在圆内【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内|PQ|r；点P在圆上|PQ|=r；点P在圆外|PO|r从数的角度来看，设圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，圆心为A（a，b），半径为r，则点M（x0，y0）在圆上(x0a)2+(y0b)2=r2；点M（x0，y0）在圆外(x0a)2+(y0b)2r2；点M（x0，y0）在圆内(x0a)2+(y0b)2r2例4 已知点在圆：的内部，求实数的取值范围.解：因为点在圆的内部，所以.所以，.所以的取值范围是.总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点和，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心，半径长为.因为点为线段的中点，所以，即圆心坐标为.又由两点间的距离公式，得.所求圆的标准方程为.分别计算点，到圆心的距离：，.所以点点在此圆外，点在此圆上，点在此圆内.6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
