1、第 卷 第 期 年 月测绘与空间地理信息 ，收稿日期：基金项目：李建成院士工作站（）；国家重点研发计划课题 中国大陆主要活动构造断裂带的分段运动特征研究（）资助作者简介：翁 烨（），男，四川资阳人，测绘工程专业硕士研究生，主要研究方向为测量数据处理。通信作者：邵德盛（），男，云南昆明人，教授，学士，主要从事地壳形变监测与地震预测预报研究工作。等式约束病态加权 平差模型的主成分解法翁 烨，邵德盛，（昆明理工大学 国土资源工程学院，云南 昆明；云南省地震局，云南 昆明）摘要：合理的等式约束条件有利于提高参数解的精度。针对病态总体最小二乘问题，考虑等式约束条件，对 平差模型进行线性化，通过对奇异值分
2、析设置截取门限，在等式约束下利用主成分方法得到一种迭代解法，对参数估值进行精度评定。本文设计了两个算例，验证了加权最小二乘估计、加权总体最小二乘估计、等式约束加权总体最小二乘估计以及本文方法估计。本文方法对等式约束病态 模型估计具有促进性，提升了病态 平差模型参数估计的可靠性。关键词：等式约束；病态总体最小二乘；线性化；奇异值；主成分估计中图分类号：文献标识码：文章编号：（），（，；，）：，：；引 言随着测量技术和理论的不断成熟，测量平差的对象由单一同类观测扩展为非等精度观测、异类观测和多源观测数据等，进而促使测量平差理论不断改进和创新。多源数据有利于信息获取的全面和高效，比单一的数据源更能获
3、得更加精确和可靠的数据信息。多源数据的融合也会出现一些关于函数模型和随机模型的先验信息，如参数间往往存在固有的几何关系，构成函数模型约束；也可能存在某些先验随机信息，构成随机模型约束。然而，模型假定函数模型已知、非随机，且仅观测向量包含随机误差，因此对于许多平差模型而言，观测误差、模型线性化等原因导致系数矩阵含有误差，称之为变量含误差（，）模型。模型是非线性回归模型，适用解法为总体最小二乘法（，）。但是在实际中，观测量与参数之间不是简单的线性关系，可能会随着自变量维数的增加而出现多重共线性的问题。对于有偏估计的研究，发现了在变量个数大于 时，最小二乘（，）估计拟合效果不够理想，于是在 年提出了
4、一种优于 估计的 估计；和 通过对法方程矩阵对角线上添加一个常数 得到了岭估计；提出一种新的估计方法 主成分估计，剔除存在多重共线性的因子，用来消除原有最小二乘估计因子中共线性问题的影响；主成分估计在于剔除系数矩阵中较小的主成分或者选取前 个特征根之和在所有特征根总和中所占比例达到预先设定要求，实行矩阵分块计算，相比较岭估计而言主成分估计的阈值更容易选取。基于病态加权 模型参数估计，考虑约束条件，结合参数回归模型理论和联合平差方法，推导出主成分估计解法，进一步采用迭代方法进行参数估计。经过算例验证，在同样等式约束情形下优于加权最小二乘法，主成分估计法减小偏差的同时可以得到更加稳定的参数解。病态
5、加权 模型的线性化在平差 模型：()()式中，为 阶观测向量，为 阶设计矩阵且（），为 阶未知参数向量，是 阶随机向量误差，是 阶设计矩阵 的误差矩阵。假设观测向量和系数矩阵之间相互独立且不等精度观测，其随机模型为：|（）|，|（）式中，是未知参数单位权方差，（）为矩阵的拉直运算，这里表示矩阵按行拉直得到的列向量；为（）（）阶观测值和系数矩阵元素之间的协因数矩阵，为 阶方阵，为 阶方阵。设未知参数的估值为 ，为参数的近似估计值，为改正数，因此模型（）扩展为模型：（）（）（）将（）式展开，并舍去二阶微小项，令 ，得：（）加权总体最小二乘准则为 （）在文献中指出了准则（）的等价形式为（）为等价观测
6、值 的方差协方差矩阵。等价观测值误差可以写成 （）（）|（）式中，为单位矩阵，为克罗内克积算子，根据协因数传播律可以得到()？|（）（）关于 的计算在文献中利用协因数传播律可以求得。模型（）的加权最小二乘解为：（）（）等式约束加权总体最小二乘的主成分迭代解法 等式约束加权总体最小二乘的主成分解法对模型（）进行典则参数变换：（）为正交方阵，为典则参数，令（），这里的（，）为 的 个特征根。将 的特征值按照 降序排列，在设计矩阵存在复共线性同时存在部分较小特征值，可采用主成分估计方法进行参数解算；由于设计矩阵病态性主要来源于小奇异值近似于 而导致（）变得很大，这里的小奇异值有可能不止一个，所以观测
7、向量的微小扰动误差就会导致参数估计极不稳定。根据主成分估计原理，剔除降序排列的后（）个小奇异值，因此，主成分估计更加适用于系数矩阵特征根两级均匀分化且极小特征值较少的平差模型，记：（）（）|设置最小奇异值门限 ，（，），的取值为：对于式（）转换如下主成分典则形式：（）剔除掉后面的（）个自变量较小的主成分影响因素后得到 ，有 ，参数 的加权主成分估计为：（）|（）加权主成分估计的协方差和偏差分别为：（）（）（）（）（）式中，表示协方差，表示偏差。在测量平差的问题研究中，要以实际背景为基础，在实际中测量通常增加约束条件进行联合平差，提高参数第 期翁 烨等：等式约束病态加权 平差模型的主成分解法估计
8、的有效性。等式约束平差模型为：（）（）其中 是 阶随机向量，是 阶设计矩阵，（），结合等式约束条件和参数平差模型，令 ，构造出等式约束下的模型为：（）利用拉格朗日乘子算法构造出等式约束函数表达式：（，）（）（）（）（）式中，是 阶拉格朗日乘子向量，对，求偏导数有 （）（）（）由（）式可得出 （）（）（）将（）式代入到（）式中，有 （）（）（）把（）式代入到（）中，得到在等式约束加权总体最小二乘参数估计为：（）（）（）添加主成分思想，得到等式约束条件加权总体最小二乘参数的主成分估计为：（）（）（）（）迭代解法考虑均方误差（，）数值有意义下。均方误差（数值）的定义为：（）（）（）（）表示矩阵的 范
9、数，（）表示求矩阵的迹。设 （），为对称非零矩阵，（），则（）式可以改写为：（）（）（）根据协方差传播率可得到的协方差和偏差为：（）（）（）（）在等式约束加权平差模型下的主成分估计中，根据（）式同理计算其均方误差值：文献中得出当法方程系数矩阵存在复共线性关系时，估计虽然仍保持偏差部分为零，但方差却很大，解的精度较低，而主成分估计是以牺牲无偏性换取参数估值方差大幅度减小，最终降低均方误差，达到参数估计更优的目的。即满足：（）（）等式约束病态加权 平差模型的主成分迭代解法步骤为：）通过已知条件确定、和；）按照 模型线性化后得到 和 以及 ，利用主成分方法得到（）；）结合最小二乘联合平差原理，令（）
10、（），通过式（）得到迭代解为：（）（）（）（）满足（）（）时，计算结束。算例及分析为了验证等式约束病态加权 平差模型的主成分迭代解的优良性质，设计 种方案与之对比分析，具体不同方法见表。表 种方案及对应的方法 方案方法最小二乘法（）加权总体最小二乘法（）等式约束加权总体最小二乘法（）本文方法（）算例 采用文献 中的算例改化，在二次曲面（，）中模拟出观测值。第一类为带有协方差为 的观测噪声，利用模拟器模拟 （）（，）；第二类为等式约束观测噪声，分别见表、表。单位权方差为 ，；从文献中根据 和 的权矩阵已知可以计算得到等价权矩阵。由于算例中条件数（），具有严重病态性，依据主成分估计法计算得出最小奇
11、异值门限位置 。参数的近似估计值为等式约束总体最小二乘估计在随机 误 差 下 计 算次 取 均 值 得 到，为 ；。比 较 参 数的估计值，的均方误差值（）以及 与 的 范数 ，设置阈值为，其计算结果见表。测绘与空间地理信息 年表 第一类观测向量和设计矩阵 表 第二类观测向量和设计矩阵 表 不同方法参数估计结果 （）算例 采用文献中的病态数值算例，含有 个未知数，病态设计矩阵和观测向量真值如参考文献所示。参数的真值为 ，分别对观测值真值和设计矩阵真值添加模拟误差 和，其中 （，），（）（，（），为单位矩阵。参数的近似值模拟为 。（）（）是设计矩阵 中的误差向量矩阵按行拉直后得到的列向量元素矩阵
12、。法矩阵 的条件数为（），严重病态性。这里假设（）矩阵是一个对角线元素为，其他元素为 的方阵，且（）。模拟随机约束条件为 ，。其中 ，在加入随机误差后的 模型进行线性化 处理，得到加入随机误差后病态系数矩阵 和经过线性化的观测向量 为：|依据主成分估计法计算得出最小奇异值门限位置 。比较参数的估值，的均方误差值（）以及 与 的 范数 ，设置阈值为，其计算结果见表。表 不同方法参数估计结果 （）根据文中推导过程及算例的计算结果，可以得出以下结论：）通过两个算例得出的参数估计值、均方误差值、真值与估计值的 范数 以及协方差矩阵的轨迹分析。主成分估计法更加适用于法方程系数矩阵的特征值分布两极均匀化且
13、最大特征值与最小奇异值门限比值适当的情况，算例一中的最大特征值与最小特征值呈两极分化，算例二中的特征值分布就两极均匀化。主成分估计在选取最小奇异值门限 时，要比岭估计及广义岭估计简便许多，但是主成分估计要损失一部分信息，损失的大小与特征值大小以及选取的 值有关。在算例一中由于特征值分布原因，主成分估计得到的参数值并没有得到明显的提升，反观算例二就更加适用于主第 期翁 烨等：等式约束病态加权 平差模型的主成分解法成分估计。主成分估计更加适用于存在特征值近乎为 的病态矩阵，损失的信息较少，均方误差数值会更小。）从两个算例中可以看出主成分估计相比较 估计有一定的提升。约束条件下的参数估计值会受到约束
14、条件自身影响，主成分估计主要依赖于主成分取舍位置。例如在算例一中由于特征值分布原因，可以适当调整最小奇异值门限的选取；容易发现被剔除部分的主成分会降低相应参数估计解的分辨率，但同时也提升了其他参数的估计精度。所以类似于算例一的奇异值分布情况，主成分估计的提升效果有限，但也优于 估计。为了比较等式约束下主成估计算法的优良性；分别计算 估计、估计、等式约束联合平差以及等式约束主成估计解协方差的迹为：算例一：()()()()算例二：()()()()结束语多元非线性回归模型的混合估计解法与联合平差的理论是一样的，多源数据进行的联合平差在具有等式约束条件下估计的精度更高。本文应用主成分估计于病态加权 平
15、差模型，验证了在精确线性约束的参数估计。当回归自变量之间存在复共线性关系时，选择适当的主成分个数，可使主成分估计比最小二乘估计有较小的均方误差。本文方法优势在于主成分估计应用于特征值分布呈现“极小特征值占比少，且最大奇异值与最小奇异值门限比值在适当范围内”时，参数估计值精度更高。证明了主成分在相同估计方法计算下，良好的约束条件可以增加参数解的可靠性。最后本文验证了在加权联合平差下主成分估计的有效性。参考文献：杨元喜，曾安敏 大地测量数据融合模式及其分析武汉大学学报（信息科学版），（）：杨元喜，曾安敏，景一帆 函数模型和随机模型双约束的 数据融合及其性质 武汉大学学报（信息科学版），（）：王乐洋
16、，余航 总体最小二乘方法的适用性研究大地测量与地球动力学，（）：，：，（）：，：，（）：，（）：武汉大学测绘学院测量平差学科组 误差理论与测量平差基础：第 版 武汉：武汉大学出版社，崔希璋，於宗俦，陶本藻，等 广义测量平差（新版）武汉：武汉大学出版社，王乐洋，许才军，鲁铁定 病态加权总体最小二乘平差的岭估计解法 武汉大学学报（信息科学版），（）：林东方，朱建军，宋迎春，等 正则化的奇异值分解参数构造法 测绘学报，（）：樊功瑜 主成分与主成分估计 测绘工程，（）：富伯亭 最小二乘估计与主成分估计的比较 吕梁高等专科学校学报，（）：宋迎春，宋采薇，左廷英 带有界不确定性的加权混合估计方法 武汉大学学报（信息科学版），（）：鲁铁定 总体最小二乘平差理论及其在测绘数据处理中的应用 武汉：武汉大学，王乐洋 附有等式约束的加权总体最小二乘平差方法 东华理工大学学报（自然科学版），（）：编辑：张 曦（上接第 页）翁昌凯，朱习朋 基于哨兵数据的云南地表形变监测 测绘通报，（）：洪兆阳，金双根 利用时序 监测青藏高原冻土区地表形变 测绘通报，（）：邵凯，张厚喆，秦显平，等 分布式 编队卫星精密绝对和相对
