1、,1.4 充分条件与必要条件1.4.2 充要条件,第一章 集合与常用逻辑用语,思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；,思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(3)若一元二次方程 2+=0有两个不相等的实数根，则0；(4)若是空集，则与均是空集.,如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要
2、条件，那么也是的充要条件.,例3.下列各题中，哪些是的充要条件？(1)：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分；(2)：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例；,例3.下列各题中，哪些是的充要条件？(3)：0，：0，0；(4)：=1是一元二次方程 2+=0的一个根，：+=0(0).,思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？,上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.,例4.已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：=是
3、直线与相切的充要条件.,例1.(多选)下列各题中，是的充要条件的有().A.:0，:=2+为二次函数B.:0C.:四边形是正方形，:四边形的对角线互相垂直平分D.:=1或=2，：1=1.,答案：AD.解：对于A，当0时，可得=2+为二次函数，当 2+为二次函数时，可得0，故是的充要条件，故A正确.对于B，当0时，0，0或0，0，故是的不必要条件，故B错误.对于C，当四边形对角线互相平分时，不能推出四边形是正方形，故是的不必要条件，故C错误.对于D，当=1或=2时，两边同时平方可得(1)2=1，解得=1或=2，故是的充要条件，故D正确.,变1.下列各题中，哪些是的充要条件？(1):15，:1且5
4、；(2):三角形是等腰三角形，:三角形是等边三角形；(3):=，:.,解：(1)151且5是的充要条件.(2)等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形不是的充要条件，是的必要不充分条件.(3)=,是的充要条件.,方法技巧：判断充分、必要条件的步骤,例2.已知:1(1)，:12.(1)当为何值时，是的充分不必要条件？,解：(1)是的充分不必要条件，|1|12，12.当12时，是的充分不必要条件.,例2.已知:1(1)，:12.(2)当为何值时，是的必要不充分条件？,例2.已知:1(1)，:12.(3)当为何值时，是的充要条件？,解：(3)是的充要条件，|12=|1，此时=2.当
5、=2时，是的充要条件.,变2.已知:1(1)，:12.(1)当为何值时，是的充分不必要条件？,变2.已知:1(1)，:12.(2)当为何值时，是的必要不充分条件？,解：(2)若是的必要不充分条件，即，但，亦即是的充分不必要条件，|1|12，12.当12时，是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件.,方法技巧：由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.,例3.求证：一元二次方程 2+=0有一正根和一负根的充要条件是0.,证明：证明必要性：若“一元二次方程 2+=0有一正根和一负根”成立，由韦达定理可得，
6、1 2=0，0成立.证明充分性：若“0”成立，此时一元二次方程 2+=0有一正根和一负根.所以“一元二次方程 2+=0有一正根和一负根”的充要条件是“0”.,变3.关于的方程 2 2(+1)+2=0的所有根的和为2的充要条件是_.,解：当=0时，方程为+2=0，解得：=2；当0时，方程为一元二次方程，设 1，2 是方程的解，则 1+2=+1 2，若 1+2=2，解方程+1 2=2，解得：=1 2 或1；当=1 2 或1时，0，即当=1 2 或1时，方程无解，故时符合题意.,方法技巧：充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件对要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“成立的充要条件为”:(1)充分性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；(2)必要性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出.,课堂小结：(1)充要条件；(2)充分、必要条件的判断.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P22的练习13题；(3)课本P22的习题1.4的3、4、5.,
