1、2023 年第 38 卷 第1期2023，38(1):0430-0448地球物理学进展Progress in Geophysicshttp:/wwwprogeophyscnISSN 1004-2903CN 11-2982/P邹婧博，刘财，赵鹏飞 2023 地震波正演问题的物理信息神经网络算法研究进展 地球物理学进展，38(1):0430-0448，doi:10 6038/pg2023GG0142ZOU JingBo，LIU Cai，ZHAO PengFei2023 esearch progress of physics-informed neural network in seismic wa
2、ve modeling Progress in Geophysics(inChinese)，38(1):0430-0448，doi:106038/pg2023GG0142地震波正演问题的物理信息神经网络算法研究进展esearch progress of physics-informed neural network in seismic wave modeling邹婧博，刘财，赵鹏飞*ZOU JingBo，LIU Cai，ZHAO PengFei*收稿日期2022-06-28;修回日期2022-11-21投稿网址http:/www progeophys cn基金项目国家自然基金项目(41874
3、125)、国家重点研发计划课题(2021YFC1523401)与自然资源部滨海城市地下空间地质安全重点实验室开放基金课题(BHKF2021Y02)联合资助第一作者简介邹婧博，女，1999 年生，博士研究生，主要从事地震正演方面研究 E-mail:2689083780 qq com*通讯作者赵鹏飞，男，1981 年生，博士，副教授，主要从事计算地球物理和地质统计学反演研究 E-mail:zhaopf jlu edu cn1 吉林大学地球探测科学与技术学院，长春1300262 吉林大学地球信息探测仪器教育部重点实验室，长春1300261 College of Geo-exploration Sci
4、ence and Technology，Jilin University，Changchun 130026，China2 Key Laboratory of Geophysical Exploration Equipment，Ministry of Education，Jilin University，Changchun 130026，China摘要偏微分方程作为一种描述客观物理规律的重要工具，可应用于解决大多数科学问题和工程问题 在地球物理学中，求解波动方程是地震波场数值模拟的重要步骤，对于偏移成像和反演起着至关重要的作用随着勘探目标复杂化，地震波方程的数学描述也更加复杂，现有的经典地震波数
5、值模拟方法存在一些待完善之处，需要一些新型正演算法的应用 物理信息神经网络(Physics-Informed Neural Network，简称 PINN)是一种利用神经网络求解偏微分方程近似解的有效手段，通过自动微分将偏微分方程及其定解条件引入损失函数中，在最小化数据驱动误差的同时，使其满足方程的物理约束条件 本文在分析 PINN 原理并总结其研究现状的基础上，对其在波动方程正演中已有成果进行归纳和分析，展望了其未来可能的研究方向，并对 PINN在一维声波方程正演中的应用进行了探究关键词地震波正演;物理信息神经网络;深度学习;自动微分中图分类号P631文献标识码Adoi:10 6038/pg
6、2023GG0142AbstractPartial differential equations，as important toolsto describe objective physical laws，can be applied to solvethe most scientific and engineering problems Solving waveequations is an important part of numerical simulation ofseismic wave field in Geophysics，which plays a necessaryrole
7、 in migration imaging and inversionBased on thecomplexity of the structure of exploration targets，themathematical descriptions of seismic wave equations arefacing challenges Classical numerical simulation methodshave some pending improvements，and the demand for neworthogonal algorithms has become mo
8、re vigorous Physics-Informed Neural Network(PINN)is effective to getapproximate solutions of partial differential equations byneural networks PDEs，initial and boundary conditionswill be embedded into loss functions through automaticdifferentiationtominimizedata-drivenerrorswhilesatisfying the physic
9、al constraint conditions of PDEsBased on the analysis of PINN and the summary of itscurrentresearchstatus，thispapersummarizesandanalyzes its existing study of solving wave equations，looksforward to its possible research directions in the future，and explores the application of PINN in 1D acoustic wav
10、eequationsKeywordsSeismic modeling;Physics-Informed NeuralNetwork(PINN);Deep learning;Automatic differentiation2023，38(1)邹婧博，等:地震波正演问题的物理信息神经网络算法研究进展(www progeophys cn)0引言在地震勘探领域中，地下介质不均匀性和勘探目标复杂性导致波动方程难求解析解，20 世纪 60年代以来，有学者将有限差分法(Alterman andKaral，1968)、有限元法(Lysmer et al，1972)、谱元法(Priolo and Serian
11、i，1991)等数值方法应用于地震波场模拟 然而，在实际应用中存在以下几点问题:(1)以上数值方法需要离散化处理，必须进行网格剖分，尤其对于复杂几何结构(Kozdon et al，2013)或不规则界面的处理要求更大的计算成本(Zhang etal，2012);(2)对于复杂的方程，其数值格式也较复杂(张蕾，2014)，且部分算法需要额外的限制条件，如波动方程显格式有限差分算法需要满足 CFL条件(Courant-Friedrichs-Lewy Condition);(3)显式有限差分算法对于部分问题求解有明显优势，如横向非均匀介质中的波动模拟，但计算成本较大(Levander，1988);(
12、4)网格划分不够精细时，会引起数值频散，降低波场模拟精度(Sei and Symes，1995;Yang et al，2003)为了解决以上问题，学者们对传统数值方法做出了一系列改进 有限差分法适用于求解规则几何结构问题，相比之下有限元方法网格灵活性更高，可以处理复杂几何边界，但它难以高效解决高维或大型求解域问题，利用谱元法可以实现大尺度地质模型的波场模拟(Komatitsch et al，2005)虽然相比于显格式，隐格式的数值稳定性更高，但需要花费大量计算成本求解线性代数方程组，而显格式计算速度较快，易于并行处理(贺茜君，2015)为了减少计算成本和内存需求，学者们提出高阶差分格式(Dab
13、lain，1986;Levander，1988)，但其精度和稳定性较难控制，且规则网格无法适应复杂地形构造Opral 等提出应用于非均匀介质中波动方程求解的不规则网格形式(Opral and Zahradnk，1999)，Madariaga(1976)提出了交错网格有限差分格式，尽管对于多数问题能够实现高阶精度和计算稳定性之间的平衡，但这些变形形式需要待求解方程在坐标系之间正反变换，且对于物性参数或几何构造变化的模型求解难度较高 为了压制数值频散，学者们提出了相移滤波方法(Li，1991)、将交错网格和高阶差分格式结合(董良国等，2000)、FCT 校正(吴国忱和王华忠，2005;Zheng
14、et al，2006)等一系列方法，但一些情况下同时会引起计算量增加或有效信息缺失等其他问题 求解偏微分方程的另一种方法是通过径向基函数，与传统方法相比，该方法更适用于求解弯曲界面或不规则边界等问题，且无需网格化，但缺点在于其数值稳定性低于传统网格化方法(Hardy，1990;Golberg et al，1996;Sharan et al，1997;Fedoseyev et al，2002;Mai-Duy and Tran-Cong，2003;Chen et al，2012;Li et al，2013b)随着科学计算领域快速发展，深度学习作为一种无网格方法被越来越多地应用于偏微分方程的数值求解
15、，有望在以上传统数值方法面临的挑战中提供新的解决思路 根据万能近似定理(Universalapproximation theorem)，对于一个前馈神经网络，如果具有线性输出层和至少一层具有激活函数的隐藏层，只要给予足够数量的神经元，就能以任意精度拟合任意复杂度的连续函数(Cybenko，1989;Horniket al，1989，1990;Li，1996)与传统数值方法中用多项式来近似微分方程解的想法类似，神经网络万能函数逼近器的能力使得它被应用于求解偏微分方程(Meade and Fernandez，1994a，b;Lagaris etal，1998，2000)近年来，机器学习的快速发展推
16、动了其进一步的应用(Alli et al，2003;Long et al，2018;Fan et al，2019;Dockhorn，2019;Khoo etal，2021)，其中一种是纯数据驱动的方法(Moseleyet al，2020a，b;Kasim et al，2020)，但这种方法需要大量的训练数据，在实际应用中高质量的大数据往往是难以获得的，且具有“黑盒”性质，泛化能力较差 基于这种考虑，需要引入物理信息约束其学习过程，利用先验信息提高算法性能科学 机 器 学 习(Scientific Machine Learning，SciML)是一个新兴领域，在机器学习算法中引入物理原理或定律(Baker et al，2019)，例如，将微分方程及其定解条件作为约束从而求得其数值近似解，PINN 就是其中一种 aissi 等(2019a)提出物理信息 神 经 网 络(Physics-Informed Neural Network，PINN)，利用深度神经网络拟合函数的能力，将物理方程及定解条件作为限制，使网络预测结果被约束在一定的物理规律内 得益于自动微分的应用(Baydin et al
