1、第41卷第2期2024年3月新疆大学学报（自然科学版中英文）Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chinese and English)Vol.41,No.2Mar.,2024抛物型最优控制问题的全离散Crank-Nicolson有限元法张馨丹1，赵建平1，侯延仁1,2(1.新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017；2.西安交通大学 数学与统计学院，陕西 西安 710049)摘要：针对具有积分控制约束的抛物型最优控制问题,提出了一种基于 Crank-Nicolson 格式的全离散有限元法.使用分段
2、线性有限元对状态进行空间离散,采用 Crank-Nicolson 格式进行时间离散,对控制变量采用分段线性近似,从而得到离散的最优性系统.证明了状态变量、伴随状态变量和控制变量的误差估计,并通过数值算例验证理论结果.关键词：抛物型最优控制问题；Crank-Nicolson 格式；最优性系统DOI：10.13568/ki.651094.651316.2023.05.18.0001中图分类号：O241.82文献标识码：A文章编号：2096-7675(2024)02-0196-010引文格式：张馨丹，赵建平，侯延仁 抛物型最优控制问题的全离散 Crank-Nicolson 有限元法J 新疆大学学报(
3、自然科学版中英文)，2024，41(2)：196-205+245英文引文格式：ZHANG Xindan，ZHAO Jianping，HOU Yanren Fully discrete finite element method based on theCrank-Nicolson scheme for parabolic optimal control problemJ Journal of Xinjiang University(Natural ScienceEdition in Chinese and English)，2024，41(2)：196-205+245Fully Discret
4、e Finite Element Method Based on the Crank-NicolsonScheme for Parabolic Optimal Control ProblemZHANG Xindan1,ZHAO Jianping1,HOU Yanren1,2(1.School of Mathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi Xinjiang 830017,China;2.School of Mathematics and Statistics,Xian Jiaotong University,Xian
5、Shaanxi 710049,China)Abstract：Aiming at parabolic optimal control problem with integral control constraints,a fully discrete finiteelement method based on Crank-Nicolson scheme is proposed.The state is discretized by piecewise linear finiteelements for the space discretization,Crank-Nicolson scheme
6、for time discretization,and the control variables areapproximated by piecewise linear function approximation,so as to obtain a discrete optimal system.The errorestimates of state variables,adjoint state variables and control variables are proved,and the theoretical results areverified by numerical e
7、xamples.Key words：parabolic optimal control problem;Crank-Nicolson scheme;optimality system0引 言偏微分方程最优控制问题在实际工程领域有着广泛的应用1,例如,大气污染控制、癌症治疗过程中的热处理、低温超导激光能量的爆破、数值天气预测中的资料同化、飞机机翼阻力优化、最优形状设计、石油开采过程优化、流体控制和混凝土大坝的最优温度控制等,都涉及求解偏微分方程描述的最优控制问题.目前对偏微分方程最优控制问题的数值求解思路主要有两种2:第一种是先优化再离散,即先利用Lagrange收稿日期：2023-05-18基
8、金项目：国家自然科学基金“沙丘长时间移动演变行为的动力学模型及其数值模拟研究”（61962056）；新疆维吾尔自治区自然科学基金“带界面的抛物型最优控制问题高效数值算法研究”（2022D01C409）作者简介：张馨丹（1996），女，硕士生，从事偏微分方程的数值解法研究，E-mail：通讯作者：赵建平（1981），女，博士，教授，从事偏微分方程的数值解法研究，E-mail：第2期张馨丹，等：抛物型最优控制问题的全离散Crank-Nicolson有限元法197乘子方法推导出最优控制问题的最优性条件(状态方程、伴随方程、变分不等式),再利用数值方法进行离散,使之变成有限维的数值计算问题;第二种是先
9、离散再优化,即先利用数值方法对最优控制问题进行离散,得到有限维的优化问题,然后再利用优化算法进行求解.不论选择哪种方法,数值离散都是不可缺少的,因此好的离散方法对于求出最优解是至关重要的.对于具有积分约束的椭圆型最优控制问题已有大量研究36,但对具有积分约束的抛物型最优控制问题,用Crank-Nicolson有限元方法进行数值求解的研究工作很少.Tang等7研究了一类具有积分约束的抛物型方程的二次最优控制问题,针对最优控制问题,构造了一个全离散的有限元格式,其中:空间离散为有限元离散,时间离散为向后Euler方法.Sun等8研究了具有积分约束的抛物型最优控制问题的向后Euler格式的自适应有限
10、元逼近.王世杰等9考虑了带积分约束的抛物型最优控制问题,对状态变量和伴随状态变量用线性连续函数离散,而控制变量使用分片常数离散,并得到最优的收敛阶.本文主要讨论具有积分控制约束的抛物型最优控制问题的有限元方法.对于状态变量的离散,在空间上采用标准分段线性有限元,在时间上采用Crank-Nicolson格式,控制变量采用分段线性离散,并得到控制变量、状态变量以及伴随状态变量关于时间和空间均为二阶收敛.最后给出了数值算例,验证理论结果.1预备知识设Rn(n=2)凸区域,且具有Lipschitz连续边界.Sobolev空间定义如下:Wm,p=uLp():DuLp(),|m.其中范数记作kkm,p,定
11、义如下:kv km,p,=X|mZ|Dv|pdx1p,p1,),半范数记作|m,p,定义如下:|v|m,p,=X|=mZ|Dv|pdx1p,p1,),其中=(1,n)Nn0为多重指标,|=nPi=1i,D表示阶数为|的微分算子.特别的,当p=2时,记Hm()=Wm,p()且范数kv km,=kv km,2,.设Lr(0,T;Wm,p()为从0,T到Wm,p()范数上所有Lr可积函数构成的Banach空间,其范数定义如下:kv kLr(0,T;Wm,p()=ZT0kv krm,p,dt1r,r1,),定义如下的内积形式:a(u,v)=Zuv dx,u,v H10(),(u,v)=Zuv dx,u
12、,v L2().2模型描述及全离散格式本节主要考虑以下抛物方程分布最优控制问题:minuUadJ(y,u)=12kyydk2L2(0,T;L2()+2kuk2L2(0,T;L2()(1)满足状态方程约束yty=f+Bu,(x,t)Ty=0,(x,t)Ty(,0)=y0,x(2)198新疆大学学报（自然科学版中英文）2024年其中R2凸多边形区域,T=(0,T,T=(0,T.设B是L2(0,T;L2()到L2(0,T;L2()的有界线性算子,积分型控制约束集Uad如下表示:Uad=uL2(0,T;L2():Zudx0.最优控制问题(1)(2)可以如下表示:minuUad12kyydk2L2(0,
13、T;L2()+2kuk2L2(0,T;L2()(yt,w)+a(y,w)=(f+Bu,w),wH10()y(,0)=y0(3)由文献1可知,最优控制问题(3)存在唯一解(y,u)L2(0,T;H10()H2()H1(0,T;H1()Uad.设(y,u)是最优控制问题(3)的解,当且仅当存在伴随状态pL2(0,T;H10()H2()H1(0,T;L2(),使得(y,p,u)满足下面的最优性条件:(yt,w)+a(y,w)=(f+Bu,w),wH10(),t(0,T,y(,0)=y0(4)(pt,q)+a(p,q)=(yyd,q),q H10(),t(0,T,p(,T)=0(5)(u+Bp,vu)
14、0,v Uad,t(0,T(6)其中B是B的伴随算子.变分不等式(6)可表示为u=1nmax(0,Bp)Bpo(7)其中Bp=(RBpdx)/(R1dx)代表Bp在上的积分平均.下面考虑最优控制问题(3)的有限元方法.设Th表示区域上的正规三角形剖分,使得=KThK.有限元空间Vh定义如下:Vh=v C()flflv|KP1(K),K Th,其中P1(K)是所有次不大于1的多项式函数空间.设V0h=VhH10().对于时间离散采用Crank-Nicolson格式.设t=T/N为均匀时间步长,节点用tn=nt(0nN)表示.设vi=v(x,ti),dtvi=(vivi1)/t和|v|=NXn=1
15、tkvn+vn12k20,12.定义Ritz投影Rh:H10()V0h满足如下条件:对任意uH10(),有(Rhu,vh)=(u,vh),vhV0h,和L2正交投影4Qh:UadUad,h满足如下条件:对任意v Uad(vQhv,vh)=0,vhUad,h,接下来给出近似性质:kwRhwk0,Ch2kwk2,第2期张馨丹，等：抛物型最优控制问题的全离散Crank-Nicolson有限元法199kvQhv kr,p,Chr+tkv kt,p,0r,t2.对最优系统(4)(6)建立如下的Crank-Nicolson有限元全离散格式:YnhYn1ht,wh+aYnh+Yn1h2,wh=fn+BUnh
16、+fn1+BUn1h2,wh,Y0h(x)=Rhy0,whV0h,n=1,2,N(8)PnhPn1ht,qh+aPnh+Pn1h2,qh=Ynhynd+Yn1hyn1d2,qh,PNh(x)=0,qhV0h,n=N,N 1,1(9)Unh+Un1h2+BPnh+Pn1h2,vUnh+Un1h20,v Uad,h,n=1,2,N(10)其中Uad,h=v Uadflflv|KP1(K),K Th.3收敛性分析为了得到主要结论,引入如下的辅助变量,对于任意v Uad,设(y(v),p(v)是下列方程的解:yt(v),w+ay(v),w=f+Bv,w,wH10(),t(0,T,y(v)(,0)=y0
17、(11)pt(v),q+ap(v),q=y(v)yd,q,q H10(),t(0,T,p(v)(,T)=0(12)对于任意v Uad,设(yh(v),ph(v)是下列方程的解:yht(v),wh+ayh(v),wh=f+Bv,wh,whV0h,t(0,T,yh(v)(,0)=Rhy0(13)pht(v),qh+aph(v),qh=yh(v)yd,qh,qhV0h,t(0,T,ph(v)(,T)=0(14)对于任意v Uad,设(ynh(v),pnh(v)满足下列方程组:ynh(v)yn1h(v)t,wh+aynh(v)+yn1h(v)2,wh=fn+Bvn+fn1+Bvn12,wh,y0h(v
18、)(x)=Rhy0,whV0h,n=1,2,N(15)pn1h(v)pnh(v)t,qh+apnh(v)+pn1h(v)2,qh=ynh(v)ynd+yn1h(v)yn1d2,qh,pNh(v)=0,qhV0h,n=N,N 1,1(16)定理1设y(u)是方程(11)的解,yh(u)是方程(13)的解,则有如下不等式成立:ky(u)yh(u)k20,Ch4ky k22,+ZT0kyt(u)k21,dt.证明 由方程(11)和(13),可得如下方程yt(u)yht(u),wh+ay(u)yh(u),wh=0.利用Ritz投影的性质,上述方程可以表示为yt(u)Rhyt(u),wh+Rhyt(u)
19、yht(u),wh+aRhy(u)yh(u),wh=0(17)设e=Rhy(u)yh(u),在方程(17)中取wh=Rhy(u)yh(u),利用Young不等式和H older不等式,可得ddtkek20,+C1kek20,C12kek21,+C2kyt(u)Rhyt(u)k21,.200新疆大学学报（自然科学版中英文）2024年利用Rh的性质,则有ddtkek20,+C12kek20,C2h4kyt(u)k21,+C12kek20,(18)对方程(18)在时间上积分,并利用Gronwall引理得kek20,+Zt0kek20,dtCh4ZT0kyt(u)k21,dt(19)利用三角不等式和R
20、h的性质,得ky(u)yh(u)k20,ky(u)Rhy(u)k20,+kRhy(u)yh(u)k20,Ch4ky(u)k22,+Ch4ZT0kyt(u)k21,dt.定理2设yh(u)和ynh(u)分别是方程(13)和(15)的解.当h和t充分小时,存在常数C使得kyh(u)(tn)ynh(u)k20,C(t)4ZT0kyhttt(u)k20,dt(20)证明 在方程(13)中分别取t=tn和t=tn1,则得到如下的方程yht(u)(tn)+yht(u)(tn1)2,wh+ayh(u)(tn)+yh(u)(tn1)2,wh=fn+Bun+fn1+Bun12,wh(21)将方程(15)和(21
21、)相减,得yht(u)(tn)+yht(u)(tn1)2dtynh(u),wh+ayh(u)(tn)+yh(u)(tn1)yn1h(u)ynh(u)2,wh=0(22)设enh=yh(u)(tn)ynh(u),在方程(22)中取wh=enh=(enh+en1h)/2,得12tkenhk20,ken1hk20,+a enh,enhC?dtyh(u)(tn)yht(u)(tn)+yht(u)(tn1)2?0,kenhk0,+ken1hk0,C1(t)1?Ztntn1|(ttn1)(tnt)yhttt(u)|dt?0,kenhk0,+ken1hk0,C2(t)32Ztntn1kyhttt(u)k20
22、,dt12kenhk0,+ken1hk0,C()(t)3Ztntn1kyhttt(u)k20,dt+kenhk20,+ken1hk20,.将上式方程整理得kenhk20,ken1hk20,+C1tk enhk20,C()(t)4Ztntn1kyhttt(u)k20,dt+tkenhk20,+ken1hk20,(23)对方程(23)从n=1到k求和,则有kekhk20,+C1tkXn=1k enhk20,C()(t)4ZT0kyhttt(u)k20,dt+2tkXn=1kenhk20,(24)利用离散Gronwall引理10,则有kekhk20,+c1tkXn=1k enhk20,C()(t)4
23、ZT0kyhttt(u)k20,dt(25)结合定理1和定理2,可以得到以下yn(u)和ynh(u)的误差估计.第2期张馨丹，等：抛物型最优控制问题的全离散Crank-Nicolson有限元法201定理3设y(u)和ynh分别是方程(11)和(15)的解,当h和t充分小时,存在常数C使得kyn(u)ynh(u)k20,C(t)4ZT0kyhttt(u)k20,dt+C1h4ky(u)k22,+ZT0kyt(u)k21,dt(26)定理4在定理3条件成立下,设p(u),ph(u)和pnh(u)分别是方程(12),(14)和(16)的解,则有kpn(u)pnh(u)k20,C(t)4ZT0kpht
24、tt(u)k20,dt+tZT0kyhttt(u)k20,dt+C1h4ky k22,+ZT0kyt(u)k21,dt+kp(u)k22,+ZT0kpt(u)k21,dt.证明 与定理1和定理2的证明类似.定理5设(ynh(u),pnh(u)和(Ynh,Pnh)分别是方程(15)(16)和(8)(9)的解,则kynh(u)Ynhk1,C|uUh|,kpnh(u)Pnhk1,C|uUh|.证明 将方程(8)减去(15)可得dt(Yihyih(u),wh+aYihyih(u)+Yi1hyi1h(u)2,wh=BUihui+Ui1hui12,wh(27)设i=Yihyih(u),在方程(27)中取w
25、h=(ii1)/t,则有dti,dti+ai+i12,ii1t=BUihui+Ui1hui12,ii1t,即dti,dti+12ta(i,i)a(i1,i1)=BUihui+Ui1hui12,dti.利用算子B的有界性以及Young不等式,则有BUihui+Ui1hui12,dtiC()?Uihui+Ui1hui12?20,+kdtik20,(28)对方程(28)从i=1到n求和,从而得到knk21,CNXi=1t?Uihui+Ui1hui12?20,=C|uUh|2.设i=Pihpih(u),类似的a(i1,i1)a(i,i)+Ct?Yihyih(u)+Yi1hyi1h(u)2?20,.将上
26、式从i=n+1到N求和,得到a(n,n)CNXi=1t?Yihyih(u)+Yi1hyi1h(u)2?20,即kPnhpnh(u)k1,C|uuh|.定理6设(y,p,u)和(Yh,Ph,Uh)分别是方程(4)(6)和(8)(10)的解,那么|uUh|C(h2+t2).202新疆大学学报（自然科学版中英文）2024年证明利用方程(6)和(10),则有|uUh|2=NXi=1tui+ui12Uih+Ui1h2,ui+ui12Uih+Ui1h2=NXi=1tui+ui12+Bpi+pi12,ui+ui12Uih+Ui1h2NXi=1tUih+Ui1h2+BPih+Pi1h2,Qhui+Qhui12
27、Uih+Ui1h2NXi=1tUih+Ui1h2+BPih+Pi1h2,ui+ui12Qhui+Qhui12+NXi=1tBPih+Pi1h2pi+pi12,ui+ui12Uih+Ui1h2NXi=1tBPih+Pi1h2pi+pi12,ui+ui12Uih+Ui1h2NXi=1tUih+Ui1h2+BPih+Pi1h2,ui+ui12Qhui+Qhui12=T1+T2.对于T1的估计,设pih(u)是方程(16)的解.将T1分为T11和T12两部分,则有T1=NXi=1tPih+Pi1h2pi+pi12,BuiUih+ui1Ui1h2=NXi=1tpih(u)+pi1h(u)2pi+pi12
28、,BuiUih+ui1Ui1h2+NXi=1tPih+Pi1h2pih(u)+pi1h(u)2,BuiUih+ui1Ui1h2=T11+T12.对于T11,利用Cauchy-Schwarz不等式和定理4可以推导出T11=NXi=1tpih(u)+pi1h(u)2pi+pi12,BuiUih+ui1Ui1h2CNXi=1tkpih(u)pik0,?uiUih+ui1Ui1h2?0,+CNXi=1tkpi1h(u)pi1k0,?uiUih+ui1Ui1h2?0,CNXi=1tkpih(u)pik20,12NXi=1t?uiUih+ui1Ui1h2?20,12+CNXi=1tkpi1h(u)pi1k
29、20,12NXi=1t?uiUih+ui1Ui1h2?20,12C(h2+t2)|uUh|.设i=(Pih+Pi1h)/2(pih(u)+pi1h(u)/2和i=(yih(u)+yi1h(u)/2(Yih+Yi1h)/2,则有第2期张馨丹，等：抛物型最优控制问题的全离散Crank-Nicolson有限元法203T12=NXi=1tPih+Pi1h2pih(u)+pi1h(u)2,BuiUih+ui1Ui1h2=NXi=1tdt(yih(u)Yih),i+NXi=1tai,i=NXi=1tdt(yih(u)Yih),i+NXi=1tdt(Pihpih(u),i+NXi=1tYih+Yi1h2yi
30、h(u)+yi1h(u)2,i=R1+R2+R3.对于R1和R2,注意到PNhpNh(u)=0和Y0hy0h(u)=0,因此R1+R2=NXi=1tdt(yih(u)Yih),i+NXi=1tdt(Pihpih(u),i=NXi=1yih(u)Yih,Pihpih(u)NXi=1yi1h(u)Yi1h,Pi1hpi1h(u)=0.注意到R30,因此T120.即T1C(t2+h2)|uUh|.将T2分解为J1,J2和J3,表达式如下T2=NXi=1tUih+Ui1h2+BPih+Pi1h2,ui+ui12Qhui+Qhui12=NXi=1tuiUih2+ui1Ui1h2,ui+ui12Qhui+
31、Qhui12+NXi=1tBpi+pi1PihPi1h2,ui+ui12Qhui+Qhui12NXi=1tui+ui12+Bpi+pi12,ui+ui12Qhui+Qhui12=J1+J2+J3.对于J1,利用Cauchy-Schwarz不等式可以推导出J1C|uUh|hNXi=1tkuiQhuik20,12+NXi=1tkui1Qhui1k20,12iCh2|uUh|kukL2(0,T;H2().对于J3估计如下J3=NXi=1tui+ui12+Bpi+pi12,ui+ui12Qhui+Qhui12Ch4kukL2(0,T;H2()+kpkL2(0,T;H2()kukL2(0,T;H2().
32、对于J2,利用Cauchy-Schwarz不等式和定理4可以推导出204新疆大学学报（自然科学版中英文）2024年J2=NXi=1tPih+Pi1h2pi+pi12,Bui+ui12Qhui+Qhui12=NXi=1tPih+Pi1h2pih(u)+pi1h(u)2,Bui+ui12Qhui+Qhui12+NXi=1tpih(u)+pi1h(u)2pi+pi12,Bui+ui12Qhui+Qhui12Ch2(h2+t2)kukL2(0,T;H2()+Ch2|uUh|kukL2(0,T;H2().综上所述结论成立.结合定理3,定理4,定理5和定理6得到以下误差估计.定理7设(y,p,u)和(Yh
33、,Ph,Uh)分别是方程(4)(6)和(8)(10)的解,那么kynYnhk0,+kpnPnhk0,C(h2+t2),0nN(29)证明设pnh(u)和ynh(u)是满足方程(16)和(15)的解.利用三角不等式,则有kynYnhk0,kynynh(u)k0,+kynh(u)Ynhk0,kpnPnhk0,kpnpnh(u)k0,+kpnh(u)Pnhk0,.利用定理5,则有kynYnhk0,kynynh(u)k0,+C|uUh|,kpnPnhk0,kpnpnh(u)k0,+C|uUh|.因此,由定理3,定理4和定理6得到误差估计(29).4数值算例根据上一节理论证明,我们有全离散格式的误差为O
34、(t2+h2).本节中,将给出几个数值算例来验证理论结果.算例1设=(0,1)(0,1),T=1,=1.最优控制问题数据如下:f(x,t)=exp(t)sin(2x)sin(2y)+82exp(t)sin(2x)sin(2y)max0,p(x,t)+(T t)sin(2x)sin(2y),yd(x,t)=(exp(t)1)sin(2x)sin(2y)8(1t)2sin(2x)sin(2y).最优解:y(x,t)=exp(t)sin(2x)sin(2y),u(x,t)=max0,p(x,t)(T t)sin(2x)sin(2y),p(x,t)=(T t)sin(2x)sin(2y).表1给出最优
35、控制变量u,状态变量y和伴随状态变量p的误差以及收敛阶.由表1可知,控制变量、状态变量和伴随状态变量的收敛阶是二阶.在图1中,左图绘制了t=0.5时Uh的图形,右图绘制了t=1/64、h=1/64和t=0.5时u的图形.算例2设=(0,1)(0,1),T=1,=1.最优控制问题数据如下:f(x,t)=sin(2x)sin(2y)+82tsin(2x)sin(2y)max0,p(x,y)+(T t)sin(2x)sin(2y),yd(x,t)=tsin(2x)sin(2y)sin(2x)sin(2y)8(1t)2sin(2x)sin(2y).第2期张馨丹，等：抛物型最优控制问题的全离散Crank
36、-Nicolson有限元法205最优解:y(x,t)=tsin(2x)sin(2y),u(x,t)=max0,p(x,y)(T t)sin(2x)sin(2y),p(x,t)=(T t)sin(2x)sin(2y).表2给出最优控制变量u,状态变量y和伴随状态变量p的误差以及收敛阶.由表2可知,控制变量、状态变量和伴随状态变量的收敛阶是二阶.表 1算例 1 在 t=h 时控制变量、状态变量和伴随状态变量的误差和收敛阶N控制变量状态变量伴随状态变量|uUh|收敛阶kyYhk0,收敛阶kpPhk0,收敛阶41.583 01016.734 31012.582 010185.001 71021.662
37、 22.227 61011.596 18.323 31021.633 3161.337 91021.902 56.008 91021.890 32.232 51021.898 5323.404 21031.974 61.529 01021.974 55.682 01031.974 2648.548 51041.993 63.839 51031.993 61.426 91031.993 5图 1当 t=0.5 时,Uh(左)和 u(右)的图像表 2算例 2 在 t=h 时控制变量、状态变量和伴随状态变量的误差和收敛阶N控制变量状态变量伴随状态变量|uUh|收敛阶kyYhk0,收敛阶kpPhk0,
38、收敛阶41.554 81012.593 01012.580 710184.887 21021.669 68.271 01021.648 48.263 21021.643 0161.304 41021.905 72.210 41021.903 72.211 11021.902 0323.316 81031.975 55.623 41031.974 85.625 11031.974 8648.327 51041.993 81.412 11031.993 61.412 51031.993 65结 论本文通过有限元离散,研究了具有积分控制约束的抛物型最优控制问题.对状态方程采用标准分段线性有限元法进行
39、空间离散,时间离散采用Crank-Nicolson格式.控制变量采用分段线性离散.证明状态变量、伴随状态变量和控制变量的误差估计关于时间和空间均为二阶收敛,并给出数值算例验证了理论结果.参考文献：1龚伟，刘会坡，严宁宁 最优控制问题的有限元高精度分析及其应用J 中国科学：数学，2015，45(7)：953-974GONG W，LIU H P，YAN N NHigh accuracy analysis of fifinite element methods for optimal control problems and itsapplicationJScientia Sinica(Mathem
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