1、25 数学第七次带练题型 7-1：二重积分的大小比较1.二重积分的几何意义二重积分的几何意义（1）若,0f x y，二重积分,dDf x y表示以,f x y为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积.（2）若,1f x y，DS为区域D的面积，则1dDDS.2.二重积分比较大小二重积分比较大小（1）若在D上,f x yg x y，则有不等式(,)d(,)dDDf x yg x y.（2）若在D上(,)0f x y，且0DD，则有0(,)d d(,)d dDDf x yx yf x yx y.【1】已知积分区域(,)|2Dx yxy，221d dDIxyx y，222sind dDIxyx y，223(
2、1cos)d dDIxyx y，则123,I II的大小关系为（）（A）321III.（B）123III.（C）213III.（D）231III.【2】设221(,)1Dx y xy，222(,)2Dx y xy，223(,)12xDx yy，224(,)12yDx y x记221d d2kkDyIxx y，(1,2,3,4)k.则1234max,IIII（A）1I（B）2I（C）3I（D）4I题型 7-2：二重积分的计算1.二重积分的奇偶对称性二重积分的奇偶对称性（1）设(,)f x y在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对称，则10,(,)(,)d d2(,)d d,(,)DDf x yyf
3、 x yx yf x yx yf x yy关于为奇函数,关于为偶函数.其中1D为D在x轴上半平面部分（2）设(,)f x y在有界闭区域D上连续，若D关于y轴对称，则20,(,)(,)d d2(,)d d,(,)DDf x yxf x yx yf x yx yf x yx关于为奇函数,关于为偶函数.其中2D为D在y轴的右半平面部分2.二重积分的轮换对称性二重积分的轮换对称性设(,)f x y在有界闭区域D上连续，若D关于直线yx对称，则(,)d d(,)d dDDf x yx yf y x x y3.二重积分的计算步骤二重积分的计算步骤（1）画出积分区域D的图.（2）观察D的对称性：若D关于x
4、轴对称，找y的奇函数;若D关于y轴对称，找x的奇函数;若D关于直线yx对称，则1(,)d(,)d(,)(,)d2DDDf x yf y xf x yf y x（3）选择坐标系：积分区域与圆有关或被积函数含22xy时，优先考虑极坐标系.（4）列式计算：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限.【3】设2DR是有界单连通区域，使22()4d dDI Dxyx y取得最大值的积分区域记为1D，求1()I D的值.【4】区域22(,)4,0,0Dx y xyxy，()f x为D上的正值连续函数，,a b为常数，则()()d()()Daf xbf yf xf y（A）ab.（B）2ab.（C）()
5、ab.（D）2ab.【5】求二重积分d dDxyx y，其中 22,112,Dx yxyyx.【6】设D是由直线1y，yx，yx 围成的有界区域，计算二重积分2222d d.Dxxyyx yxy题型 7-3：分段函数的二重积分一、二重积分的区域可加性一、二重积分的区域可加性若区域D分割成不重叠的两个区域12,D D，且,f x y为分段函数，1122,fx yxDf x yfx yxD则有1212,d,d,dDDDfx yfx yfx y.【7】计算二重积分221dDxy，其中(,)01,01Dx yxy.【8】计算max,1d dDxyx y，其中(,)02,02Dx yxy.【9】22(,
6、)|2,0,0Dx yxyxy，221xy表示不超过221xy的最大整数，求221d dDxyxyx y.题型 7-4：交换积分次序及坐标系转换同一个二重积分,dDf x y在不同坐标系下或者以不同的积分次序会有不同的表示方法，但积分结果都是一样的.212121,dd,d.d,d.dcos,sind.byxay xDdxycxyf x yxf x yyxf x yxf rrr r 如果其中一种形式二重积分难以计算，则可以交换积分次序转化为其他形式的积分.【10】设函数,f x y连续，则222411d,dd,dyxyxfx yyyfx yx（A）2411d,dxxf x yy.（B）241d,
7、dxxxf x yy.（C）2411d,dyyf x yx.（D）221d,dyyfx yx.【11】设()f x为连续函数，1()d()dttyF tyf xx，则(2)F等于（A）2(2)f.（B）(2)f.（C）(2)f.（D）0.【12】设函数(,)f x y连续，则二次积分1sin2d(,)dxxf x yy等于（A）10 arcsind(,)dyyf x yx.（B）10 arcsind(,)dyyf x yx.（C）1 arcsin02d(,)dyyf x yx.（D）1 arcsin02d(,)dyyf x yx.【13】交换极坐标系下2cos204d(,)drf rr的积分次序.
