1、考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数上册核心上册核心（快速快速串讲串讲）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 数列极限的计算与证明（习题与作业）题型一、利用恒等变形计算数列题型一、利用恒等变形计算数列极限极限 例例题题 1(第 2 届竞赛)设，其中，求.类题(第 3 届竞赛)设，求.例题例题 2 类题 例例题题 3 注注：；.题题型型二二、递推数列、递推数列的极限的极限（单调有界单调有界）单调有界准则能解决考研真题中几乎所有的递推数列极限，大家不必学习过多其它的方法.注注：并非所有的收敛数列都单调，比如收敛于 0 但并不单调.本讲义只讲单调的情况.例题例题 4(1996 年)设，
2、证明收敛并求极限值.类题 设，.证明收敛，并求.注注 1：通过本题来回顾回顾“数学归数学归纳法纳法”，并且梳理一下证明梳理一下证明数列数列“单调有界单调有界”时的最基本的思路时的最基本的思路.注注 2：在使用单调有界准则处理递推数列的极限时，先证明有界性还是先证明单调性都可以，但一般来说先从有界性下手.因为很多时候，单调性往往“依赖于”有界性的那个“界”到底是几.注注 3：通过这两道题的讲解，我们学到了证明递推数列收敛的几个思想(1)在草稿纸上令，解方程，先求出极限值，做到“心中有数”；(2)若题干告诉了首项的具体值，则可以比较和大小（以下假定），从而猜测出的单调性，并根据单调性推测出有界性和
3、具体的界（界的值，往往就是极限）比如，那么我们有理由猜测单调递增，且上界就是极限值，接下来就可以开始正式的证明了；(3)证明有界性：利用数学归纳法，证明恒成立（也可以用其他方法，比如直接放缩）；(4)证明单调性：，再根据可知，只需要构造函数，然后证明在时恒成立即可.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数上册核心上册核心（快速快速串讲串讲）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 注注 4：对于递推数列而言，还可以通过本身的单调性，推出数列的单调性：若递增，且，则，即；继续套一个，则，即，如此重复下去，可推出恒成立，即递增；若递增，且，则，即；继续套一个，则，即，如此重复下去，可推出恒成
4、立，即递减；若递减，则不单调，但的奇子列和偶子列各自单调，且单调性相反.其中，结论的证明如下 假设，两边套上，由于递减，故；在两边不断套上，可以推出、，故单调递增；在两边不断套上，可以推出、，故单调递减.故一定不单调，但和一定各自单调，且单调性相反.有了以上这些思想和结论，做题自然就更加得心应手了.当然，上面的内容并不是金科玉律，数学的解题也并不是一成不变的，比如下面的例题 2，直接利用均值不等式便可以求出数列的界.当然，这样得到的界，不一定是最精确的界，最精确的界一定是极限值.注注 5：通过“注 4”中的结论我们可以发现，如果修改题目中首项的取值，则可能影响整个数列的单调性，比如在类题中，如
5、果将初值改为，则，故单调递减（原题是单调递增）.例题例题 5(2018 年)设,证明收敛并求极限.注注：本题的价值非常高价值非常高，是递推数列极限的考研真题里最难的一道，希望大家重点重点复习复习.例题例题 6 设，.(1)证明收敛并求极限；(2)求.注注：本题的第(1)问是数列极限，但是第(2)问的本质是函数极限，这种题非常多.类题 设，.(1)证明：数列收敛，并求极限；(2)求.题型二题型二、一、一个常用的小结论个常用的小结论 例题例题 7(1)求(2)若，求.注注：建议大家直接把该题当成结论背下来.类题 设，求极限，将其结果记为，请画出的图像.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数
6、上册核心上册核心（快速快速串讲串讲）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 题型题型三三、项和的极限项和的极限 项和的极限，一般采用夹逼准则或定积分定义，这里只讲夹逼准则.例题例题 8 利用夹逼准则求下列 项和的极限(1)(2)(3)(4)例例题题 9 求极限 例题例题 10(1)证明：时，有；(2)求.配套作业配套作业 作业作业 1 计算.作业作业 2 设，证明收敛并求极限值.作业作业 3(2006 年)设.(1)证明：存在并求极限值；(2)求.注注：本题中，先证明有界性是必须的.很多人一上来就使用这个不等式，得出递减，但其实这是错误的因为成立的前提是；而当时，应该是这提示我们在记公式、定理、结论时，一定要注意其成立的前提条件；作业作业 4(1)证明：当时，；(2)求（最后要用到定积分定义）
