1、-113-CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Mar.2024中国科技信息 2024 年第 6 期三星推荐出发进行雷达最大探测距离评估的问题之一无法满足大样本性质。此外，为提高雷达探测距离评估的科学性，在理论研究中也从分布函数的确定以及历史信息如何得到有效利用等方面着手开展研究。前期研究认为雷达探测距离服从正态分布，但在小样本场景下，则认为服从 t 分布，进一步即可进行统计推断，此外，贝叶斯方法也是小样本场景下参数估计的常用方法。除了雷达探测距离评估，可靠性、维修性评估中也面临着典型的小子样问题，该类问题在工程上已经积累了大量分析方法，一类是贝叶斯
2、方法，结合先验信息进行参数估计，该类方法中先验信息的选取以及先验分布的确定都是不可绕过的难题，另一类是从样本自身出发，通过 Bootstrap 方法及相关改进方法生成自助样本。本文综合考虑在飞行试验中评估样本量不足、分布形式不确定等问题，首先通过Bootstrap方法对样本量进行扩充，使其满足大样本特性，进一步利用混合高斯模型在模型中分量足够多时，能以任意精度逼近任意分布的特性，选用混合高斯模型对雷达探测距离进行拟合，并利用 EM 算法对其中的未知变量进行参数估计，由此拟合出雷达最大探测距离的概率密度函数，并根据置信度选取相应分位数作为雷达最大探测距离的估计值。雷达原理介绍雷达是利用目标对电磁
3、波的反射（或称二次散射）现象来发现目标并测定其位置的。针对雷达性能，在试飞考核中，通常需验证探测距离、跟踪距离、跟踪精度等指标是否满足使用要求，本文仅考虑探测距离指标。雷达探测距离是指在某种观测环境和一定的发现概率和虚警概率的条件下，雷达能够发现目标的最大距离。雷达能够在多远的距离上发现目标，就要通过雷达方程来回答，雷达方程将雷达的作用距离和雷达的发射、接受、天线和环境等因素联系起来，则基本雷达方程如下：1/4max2min(4)tePGARS=（1）其中，Pt表示雷达发射机功率，G 为天线增益，Ae为天线有效接收面积，为雷达截面积，Smin为最小可检测信号，Rmax为最大探测距离。上述雷达方
4、程可以正确反映各参数对其探测能力的影响程度，但并不能充分反映雷达的性能，这是由于许多影响作用距离的环境和实际因素在上述方程中并不包含，故本文从实飞数据本身出发，暂不考虑雷达原理，专注于数据的直接行业曲线开放度创新度生态度互交度持续度可替代度影响力可实现度行业关联度真实度一种基于混合高斯模型的雷达最大探测距离评估蒋 虹蒋 虹中国飞行试验研究院蒋虹（1997），女，硕士，助理工程师，研究方向：综合航电试飞。机载火控雷达的最大探测距离是表征雷达探测能力的一项关键指标。分析雷达方程可知雷达探测距离受多种影响因素制约，且部分环境变量往往无法度量，故直接从不同影响因素出发分析雷达最大探测距离的分布特性存在
5、一定困难，所以大部分对雷达探测距离评估方法的研究均是从数据本身出发，通过统计学方法分析变量的分布特性。在飞行试验中，通常在不同雷达模式和态势下取 11 组样本，通过 11 取 9 方法得到最大探测距离的估计值，并将其与指标值作对比，判断其是否满足指标要求，该方法的优点在于计算简单、易实现，但主要问题在于缺少理论支撑。在统计学中，一般认为样本量小于 30 即为小样本问题，雷达探测距离评估就是典型的小样本问题，故仅从 11 个样本点中国科技信息 2024 年第 6 期CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Mar.2024-114-三星推荐分析和拟合，挖掘
6、出潜在的分布形式。基于混合高斯模型的雷达最大探测距离评估方法原理Bootstrap 方法及其改进非参数 Bootstrap 方法Bootstrap 方法是一类非参数蒙特卡洛方法，通过再抽样，将观测的样本作为一个“伪总体”，对总体分布进行估计。该方法的基本原理为：在样本的总体分布函数 F 未知的情况下，已有一个样本容量为 n 的来自分布 F 的样本，则可通过有放回抽样，独立重复地抽取多个容量为 n 的Bootstrap 样本，并利用这些样本进行参数估计、区间估计、假设检验等，该方法的基本思想就是利用经验分布函数来代替未知的理论分布函数。上述方法的优点体现在以下几个方面：首先，它不需要对数据的总体
7、分布做任何预设的假设，Bootstrap 方法通过样本自身的信息来模拟总体分布；其次，Bootstrap 方法能够有效地解决小样本问题。通过多次重复抽样生成虚拟样本，Bootstrap 方法能够模拟出大样本的情况，从而提高统计推断的准确性和稳定性；再者，Bootstrap 方法的适用性非常广泛，可以应用于各种统计量的估计和推断。无论是均值、方差等基本的统计量，还是更复杂的相关系数等，都可以通过 Bootstrap 方法进行有效的统计推断；最后，Bootstrap方法的计算过程相对简单，易于实现。故该方法在小样本问题中极为常用。改进的 Bootstrap 方法上述方法常用于解决小样本问题，但该方
8、法的缺点在于根据样本的经验分布函数进行抽样时，因自助样本只能由原样本生成，极有可能抽出与原样本十分相似的自助样本，尤其在样本量极少时这一缺陷更加突出，即概率分布集中于少量样本点上时容易导致计算结果极大偏离真实分布，难以得到精确的参数估计，故考虑对该方法加以改进，改进的Bootstrap 算法原理如下：对样本进行升序排列后得到次序统计量，对其中的每个观测值进行扩展得到如下邻域：1(1)(2)(1)(1)(2)(1)()()(1)()()(1)()()(1)()()(1)()/,()/()/,()/()/,()/(2,3,.,1,2)iiiiiiinnnnnnnUxxxm xxxmUxxxm xx
9、xmUxxxm xxxminm=+=+=+=（2）通常取 m=2，当样本容量很小时，为避免自助样本严重偏离真实分布，可适当增大 m 的取值。在各邻域中按规则：()()iixU U （3）随机抽取一个样本，U表示均匀分布，得到X的改进样本。上述方法可在尽量保持分布不变的条件下，将统计数据扩展至非观测点。基于混合高斯模型的雷达最大探测距离评估方法混合高斯模型顾 名 思 义，混 合 高 斯 模 型（Gaussian Mixture Model，GMM）即为多个高斯模型的混合，简单来说，混合高斯模型就是由 K 个单高斯模型加权平均而成的模型，单高斯分布的密度函数如公式（4）所示。221()()exp(
10、)22kkkkxfx=（4）其中，k，k为正态分布的均值和方差。则混合高斯模型的密度函数为：1()()Kkkkf xfx=（5）其 中，k为 第 k 个 高 斯 分 布 被 选 中 的 概 率，且 有10,1Kkkk=。相比其他分布，有限高斯混合模型可以以任意精度逼近任意概率密度函数，故本文选用混合高斯模型拟合雷达最大探测距离的分布。EM 算法EM 算 法（Expectation maximization algorithm）又称为期望最大化算法，于 1977 年由 Arthur Dempster、Nan Laird 和 Donald Rubin 总结提出，该算法在概率模型中寻找参数的最大似然
11、估计或最大后验估计，其中，概率模型依赖于无法观测的隐变量。该方法常用于混合高斯模型、隐马尔科夫算法等的参数估计，此外，还广泛应用于缺失数据、截尾数据等非完整数据的处理。相比于最大似然估计和最大后验估计，该方法的不同点一是在于需要不断迭代更新，二是模型中含有未知参量。上述混合高斯模型中=（k，k，k）k=1，K为模型参数，且均未知，通常假定 K 已知，则可通过 EM 算法进行参数拟合。EM 算法以极大似然估计为基本思想，采用迭代的方法进行参数估计，EM 算法的流程可以分为 E 步和 M 步。首先初始化分布参数，然后重复 E、M 步直至收敛。针对一组观测值 X=（x1，xN），隐变量 zn=（zn
12、1，znK）表征属于哪个单正态分布，znK=1 即 xn来自第 k 个正态总体，其他分量均为 0，即11Knkkz=，其中 K=p（znK=1），给定隐变量的值，x 的条件分布为正态分布。1(|1)(|,)(|)(|,),nknnknkkKznnnkkkp xzN xp xzN x =进一步，（xn，zn）联合分布为：1(,)(|)(|)(|,)nknnnnnKzknkkkp x zp xzp zN x=则 xn的边际分布为：1()(,)(|,)(|,)nnknnnnzKzknkkzkknkkkp xp x zN xN x =进一步，得到完整数据的似然函数（即包含 X 和隐变量）如下：11(,
13、|)(|,)nkNKzknkknkp X ZN x=对上述等式取对数，得到完整数据的对数似然函数为：-115-CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Mar.2024中国科技信息 2024 年第 6 期三星推荐图 4 样本 4 直方图和核密度图图 8 样本 8 直方图和核密度图图 7 样本 7 直方图和核密度图图 6 样本 6 直方图和核密度图图 5 样本 5 直方图和核密度图图 1 样本 1 直方图和核密度图图 2 样本 2 直方图和核密度图图 3 样本 3 直方图和核密度图11ln(,|)(lnln(|,)NKnkknkknkp X ZzN x=+
14、得到上述对数似然函数后，即可通过 E 步和 M 步的迭代求得参数估计值，具体算法步骤如下：E 步：对隐变量的后验分布求期望如下：|,11ln(,|)|,(lnln(|,)oldz XNKnkoldknkknkEp X ZE zXN x=+其中，111(|,)()|,(|,)()knkknknkoldKjnjjjNKnknkN xzE zXN xzN =M 步：最大化上述期望值，得到参数估计值如下：1121()()()()()()NnknkNnknnknkzNnknnknknzNzxzzxz=（6）重复计算 E 步和 M 步直至收敛，至此，就得到了混合高斯模型的参数。在雷达最大探测距离评估中，通
15、常取 90%、85%、80%累积概率探测距离作为估计值，本文选用 85%累积概率探测距离，即取：max()85%P RR （7）其中，R 服从混合高斯模型，Rmax即为最大探测距离估计值。数值试验以某型机雷达最大探测距离试飞为例，本文选取两种模式四种态势下共 8 组历史数据作为样本集（注：所有数据均已经过归一化处理），分别估计每组数据的最大探测距离。中国科技信息 2024 年第 6 期CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Mar.2024-116-三星推荐面对小样本问题，常用的解决方法主要有两类，一是增加样本，二是减少算法对样本的依赖。增加样本的方法
16、包括数据增强、利用先验信息等，减少算法对样本的依赖的方法则包括缩小搜索范围、多任务学习、嵌入学习等，本文则是通过第一类解决方法进行数据分析。首先，因每组数据中都只有 11 个样本点，故先对原始样本进行扩充，本文选取上文所述改进的 Bootstrap 方法进行样本量扩充，其中，取 m=2，独立抽取 10 个 Bootstrap样本，则加入原始样本后，每组样本量均为 121，进一步将样本随机化得到扩充后的样本。因混合高斯模型参数拟合前需确定单高斯分布个数，本文通过样本直方图和核密度图进行选择，认为核密度函数图中波峰数即为该样本的单高斯分布个数。如图依次为 8 组样本扩展后数据的直方图及核密度函数图
17、，其中横轴为最大探测距离，纵轴为频数值。根据图 18 中的波峰数即可确定上述样本的单高斯分布的数量 K 分别为：2、2、4、3、3、2、3、3，已知 K 即可通过 EM 算法估计混合高斯模型的相关参数，如表 13 分别为 8 组数据的均值、方差和权重估计结果。表 1 混合高斯模型均值估计结果样本K均值样本 121.171.01样本 241.151.030.911.25样本 341.161.301.221.27样本 430.971.221.05样本 530.911.061.21样本 621.170.98样本 731.231.131.39样本 830.991.271.16表 2 混合高斯模型方差估
18、计结果样本K方差样本 121.93e-32.90e-4样本 245.10e-48.50e-41.22e-34.0e-4样本 346.12e-46.93e-53.81e-41.77e-5样本 436.91e-53.77e-32.97e-4样本 531.07e-32.03e-43.27e-3样本 621.78e-31.47e-4样本 737.68e-42.60e-61.08e-3样本 831.41e-31.61e-34.70e-4表 3 混合高斯模型权重估计结果样本K权重样本 120.640.36样本 240.540.270.100.09样本 340.380.090.300.23样本 430.18
19、0.640.17样本 530.290.430.28样本 620.730.27样本 730.730.180.09样本 830.380.360.26通过上述参数估计值，即可推导出每组样本的概率密度函数，进一步利用公式（7）计算得每组样本的雷达最大探测距离最终估计结果如下。表 4 最大探测距离估计值样本估计值样本 11.011 8样本 21.030 7样本 31.545 9样本 40.973 8样本 50.907 1样本 60.986 0样本 71.129 2样本 80.987 4如表 4 所述为经改进的 Bootstrap 方法扩充样本量后，基于混合高斯模型计算得到的雷达最大探测距离的估计值，进一
20、步可将上述估计值与标称值作对比，得出最大探测距离是否满足指标要求的结论。结语本文提出了一种基于混合高斯模型的雷达最大探测距离评估方法。考虑到在雷达最大探测距离评估中样本量不足及分布函数的确定缺乏理论支撑的问题，本文选用改进的Bootstrap 方法对样本量进行扩充，进一步利用混合高斯模型对雷达最大探测距离的密度函数进行建模，并由此得到最大探测距离的估计值。该方法在一定程度上突破了现有方法不满足大样本特性及分布类型的确定缺乏科学性的难题，同时也为后续型号鉴定工作中雷达最大探测距离的评估提供了一种新方法。针对雷达探测距离评估问题，在工程实践中通常选用 11取 9 方法，在理论研究中，则认为雷达探测距离服从正态分布或者 t 分布，并通过选取相应分位数得到雷达最大探测距离的估计值，但这些方法中分布函数的确定均缺乏理论支撑，且在评估中面临的样本量过少的问题始终未解决，本文则是从这两个方面出发，一方面选用改进 Bootstrap 方法进行样本扩充，使得在样本量扩大的同时保持了原有数据的结构，另一方面，针对样本分布函数的确定缺乏理论支撑的问题，选取了混合高斯模型进行拟合，这在一定程度上增加了分布函数确定的科学性。综上所述，该方法为后续型号雷达最大探测距离的评估提供了一种行之有效的方法，同时也可进一步应用至其他小子样评估问题，支撑型号鉴定中的数据分析工作。
