1、11995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】12(1)!(1)nnnx【解析】由于112()12(1)1,11xf xxxx 2()2(1)(1),fxx 3()2(1)(2)(1),fxx 所以1()(1)()2(1)!(2(1)1)!(1)nnnnnfxxnxn.(2)【答案】2yxyfx【解析】根据复合函数求导法则,22xyyyyyyzyfxyfyffxxxxxx ,1yyyyyzxfx
2、yfxfyfxxxxx.所以222xyyyyyyyfy fxyfy fyfxxxxxxzyzxx.【相关知识点】复合函数求导法则：()yf x的导数为()()yf xfx.(3)【答案】xxeC【解析】在(ln)1fxx 中令ln xt,则()1tf te,从而()1()ttxf tedtteCf xxeC.(4)【答案】100122010345【解析】由AAA E,有AAEA,故1AAA.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2而10022010345A,所以1100122010345AAA.(5)【答案】(1)Xn nQ【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要
3、求,首先提出原假设0H,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设0H是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类型应该选取t检验的统计量是0211()(1)niiXXtSXXnn n,经过化简得(1)Xtn nQ.【相关知识点】假设检验的一般步骤：(1)确定所要检验的基本假设0H；(2)选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；(3)对确定的显著性水平,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；(4)由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设0H作出拒绝还是接受的判断.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分
4、15 分.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)【解析】因00(1)(1)(1)(1)(1)limlimxxfxffxffxxxx 00(1)(1)lim(1)(1)2lim2,2xxffxxffxx 所以应选(D).(2)【答案】(A)关注公众号【考研题库】保存更多高清资料3【解析】由计算知111211arcsin1dxxx,222111lnlnln2dxxxx,且泊松积分202xedx,故应选(A).注注：对于本题选项(A),由于当0 x 时sin0 x,故在积分区间 1,1中0 x 是瑕点,反常积分111sindxx应分解为两个反常积分之和
5、:101110111sinsinsindxdxdxxxx,而且111sindxx收敛的充要条件是两个反常积分011sindxx与101sindxx都收敛.由于广义积分11001ln tansin2xdxx,即101sindxx发散,故111sindxx发散.在此不可误以为1sin x是奇函数,于是1110sindxx,从而得出它是收敛的错误结论.(3)【答案】(C)【解析】()r Am表示A中有m个列向量线性无关,有m阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把A化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如010001,只用初等
6、行变换就不能化成2(,0)E的形式,故(D)不正确.关于(C),由0BA 知()()r Br Am,又()r Am,从而()0r B,按定义又有()0r B,于是()0r B,即0B.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】(,)(,)Cov U VCov XY XY.(,)(,)Cov X XYCov Y XY(,)(,)(,)(,)Cov X XCov X YCov Y XCov Y Y关注公众号【考研题库】保存更多高清资料4DXDY.由于X和Y同分布,因此DXDY,于是有(,)0Cov U V.由相关系数的计算公式(,)Cov X YDXDY,所以U与V的相关系数也为零,应选(D).【
7、相关知识点】协方差的性质：(,)(,)Cov aX bYabCov X Y；1212(,)(,)(,)Cov XXYCov X YCov XY.(5)【答案】(C)【解析】由于2(,),XN 将此正态分布标准化,故0,1XN,1211XP XP.计算看出概率P X的值与大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分 6 分)三、(本题满分 6 分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.222000122(1 cos)2lim()limlim1xxxxxf xxx,220000coscosl
8、im()limlim11xxxxt dtxf xx,故(00)(00)(0)fff,即()f x在0 x 处连续.2000422020001cos1()(0)(0)limlim01coscos12limlimlim0,22xxxxxxxt dtf xfxfxxxt dtxxxxx2002320002(1 cos)1()(0)(0)limlim02(1 cos)2sin22(cos1)limlimlim0.36xxxxxxf xfxfxxxxxxxxxx即(0)(0)0ff,故()f x在0 x 处可导,且(0)0f.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料5四、(本题满分 6 分)四、(本题满分
9、 6 分)【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量3ts,于是3003()3xxtfdtf s ds.代入题设函数()f x所满足的关系式,得20()3()xxf xf s dse.在上式中令0 x 得(0)1f,将上式两端对x求导数得2()3()2xfxf xe.由此可见()f x是一阶线性方程2()3()2xfxf xe满足初始条件(0)1f的特解.用3xe同乘方程两端,得3()2xxf x ee,积分即得32()2xxf xCee.由(0)1f可确定常数3C,于是,所求的函数是32()32xxf xee.五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分)【解析】由212(1 2)(1)xx
10、xx知2ln(12)ln(1 2)ln(1)xxxx.因为231ln(1)(1)23nnxxxxxn,其收敛区间为(1,1)；又231(2)(2)(2)ln(1 2)(2)(1)23nnxxxxxn ,其收敛区间为1 1,2 2.于是有121111(2)(1)2ln(12)(1)(1)nnnnnnnnnxxxxxnnn,其收敛区间为1 1,2 2.【相关知识点】收敛区间：若幂级数0nnna x的收敛半径是正数R,则其收敛区间是开区间关注公众号【考研题库】保存更多高清资料6(,)R R；若其收敛半径是,则收敛区间是(,).六、(本题满分 5 分)六、(本题满分 5 分)【解析】方法一方法一：本题
11、中二重积分的积分区域D是全平面,设0a,(,)|,aDx yaxaaya ,则当a 时,有aDD.从而2222()()min,limmin,axyxyaDIx y edxdyx y edxdy.注意当xy时,min,x yx；当xy时,min,x yy.于是222222()()()min,aayaxxyxyxyaaaaDx y edxdydyxedxdxyedy,且2222222222()()22()2211()2211.22axaxaxyxyxaxaaaaaaaaxxaadxyedydxed xyeedxeedxedx由于2xedx,从而可得222()21lim0lim2axaxyxaaaa
12、adxyedyedx22212lim2 22 2ataatxedt.同理可得22()lim2 2ayxyaaadyxedx.于是222I .方法二方法二：设0R,则圆域222(,)|RDx yxyR当R 时也趋于全平面,从而2222()()min,limmin,RxyxyRDIx y edxdyx y edxdy.引入极坐标系cos,sinxryr,则关注公众号【考研题库】保存更多高清资料7当04与524时,min,sinx yyr；当544时,min,cosx yxr.于是22()min,RxyDx y edxdy22252222445000044sincossinRRRrrrdr edrd
13、r edrdr edr 22522244500044sincossin2 2RRrrr edrdddr edr .由此可得222002 2 lim2 lim()RRrrRRIr edrrd e 22200022 lim22.22RRrrrRreedredr 七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)【解析】本题的关键在于p和Q之间存在函数关系,因此RpQ既可看作p的函数,也可看作Q的函数,由此分别求出dRdp及dRdQ,并将它们与弹性pp dQEQ dp联系起来,进而求得问题的解.由()QQ p是单调减函数知0dQdp,从而需求对价格的弹性0pp dQEQ dp,这表明题设1pEb应理解
14、为1ppEEb.又由()QQ p是单调减函数知存在反函数()pp Q且1dpdQdQdp.由收益RpQ对Q求导,有1(1)pdRdpppQppp dQdQdQEQ dp,从而001(1)Q QdRpadQb,得01abpb.由收益RpQ对p求导,有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8(1)(1)pdRdQp dQQpQQEdpdpQ dp,从而00(1)ppdRQbcdp,于是01cQb.八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成0,a上的积分,即00()()()()()()aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x
15、 dx,再将0()()af x g x dx作适当的变量代换化为在0,a上的定积分.方法一方法一：由于00()()()()()()aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dx,在0()()af x g x dx中令xt,则由:0 xa,得:0t a,且0000()()()()()()()()()aaaaf x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx,所以00()()()()()()aaaaf x g x dxf xfxg x dxAg x dx.方法二方法二：在()()aaf x g x dx中令xt,则由:xaa,得:t aa,且0()()(
16、)()()()()()()aaaaaaaf x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx.所以1()()()()()()2aaaaaaf x g x dxf x g x dxfx g x dx01()()()()().22aaaaaAf xfxg x dxg x dxAg x dx(2)令()arctanxf xe,()sing xx,可以验证()f x和()g x符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.方法一方法一：取()arctanxf xe,()sing xx,2a.由于()()arctanarctanxxf xfxee满足22arctanar
17、ctan011xxxxxxeeeeee,故arctanarctanxxeeA.令0 x,得2arctan12AA,即()()2f xfx.于是有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料9222002sinarctansinsin222xxe dxx dxxdx.方法二方法二：取()arctanxf xe,()sing xx,2a,于是1()()arctanarctan2xxf xfxee.(这里利用了对任何0 x,有1arctanarctan2xx)以下同方法一.九、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分)【解析】因为(I)(II)3rr,所以123,线性无关,而1234,线性相关,因此4可
18、由123,线性表出,设为4112233lll.若112233454()0kkkk,即11412242334345()()()0kl kkl kkl kk,由于(III)4r,所以1235,线性无关.故必有11422433440,0,0,0.kl kkl kkl kk解出43210,0,0,0kkkk.于是12354,线性无关,即其秩为 4.十、(本题满分 10 分)十、(本题满分 10 分)【解析】(1)因为123(,)f x x x对应的矩阵为022244243A,故123(,)f x x x的矩阵表示为关注公众号【考研题库】保存更多高清资料10112312323022(,)(,)24424
19、3Txf x x xx Axx x xxx.(2)由A的特征方程22222244240243241EA 24100240(1)(36)0241,得到A的特征值为1231,6,6.由()0EA x得基础解系1(2,0,1)TX,即属于1的特征向量.由(6)0EA x得基础解系2(1,5,2)TX,即属于6的特征向量.由(6)0EA x得基础解系3(1,1,2)TX,即属于6 的特征向量.对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有3121231232111110,5,1,5306122XXXXXX 那么令123211530651()03061225306Q ,经正交变换112233
20、xyxQ yxy,二次型化为标准形222123123(,)66TTf x x xx Axyyyyy.十一、(本题满分 8 分)十一、(本题满分 8 分)【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A表示“仪器需要进一步调试”,B表示“仪器能出厂”,则A“仪器能直接出厂”,AB“仪器经调试后能出厂”.且BAAB,A与AB互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式关注公众号【考研题库】保存更多高清资料11()(|)()(|)()()P ABP B AP ABP B AP AP A,有 0 70 3 0 80 94P BP AP A P B|A.设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数,则X服从二项分布
21、0 94B n,.由二项分布的概率计算公式,可得所求概率为(1)0.94nP Xn；(2)22220.940.06;nnP XnC(3)12111 0.060.940.94nnP XnP XnP Xnn 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.十二、(本题满分 8 分)十二、(本题满分 8 分)【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).当1(,)x yD时,(,)0F x y,其中1(,)00Dx y xy或.当4(,)x yD,即1x 且1y 时,(,)1F x y.当(,)x yD时,即01,01xy时,222000(,)42xyxF x ystdtdssy dsx y.当2(,)x yD,即01,1xy时,1200000(,)442xyxxF x ystdtdsdsstdtsdsx.当3(,)x yD,即1,01xy时,与2D类似,有2(,)F x yy.综上分析,(,)X Y的联合分布函数为22220,00,01,01,(,),1,01,01,1,1,1,1.xyx yxyF x yyxyxxyxy或xyO1DD2D4D3D关注公众号【考研题库】保存更多高清资料
