1、 1 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.(1)下列曲线有渐近线的是 ()(A)sinyxx (B)2sinyxx (C)1sinyxx (D)21sinyxx【答案】(C)【解析】关于 C 选项：11sinsinlimlim1 lim1 01xxxxxxxx，又 11lims
2、inlimsin0 xxxxxx，所以1sinyxx存在斜渐近线yx.故选(C).(2)设函数()f x具有二阶导数，()(0)(1)(1)g xfxfx，则在区间0,1上 ()(A)当()0fx时，()()f xg x (B)当()0fx时，()()f xg x(C)当()0fx时，()()f xg x (D)当()0fx时，()()f xg x【答案】(D)【解析】令()()()(0)(1)(1)()F xg xf xfxfxf x，则(0)(1)0FF,()(0)(1)()F xfffx,()()Fxfx.若()0fx，则()0Fx，()F x在0,1上为凸的.又(0)(1)0FF，所以
3、当0,1x时，()0F x，从而()()g xf x.故选(D).(3)设),(yxf是连续函数，则21101(,)yydyf x y dx ()(A)211010010(,)(,)xxdxf x y dydxf x y dy 2(B)211000011(,)(,)xxdxf x y dydxf x y dy (C)112cossin0002(cos,sin)(cos,sin)df rrdrdf rrdr(D)112cossin0002(cos,sin)(cos,sin)df rrrdrdf rrrdr【答案】(D)【解析】22110111011000(,)(,)(,)yxxydyf x y
4、dxdxf x y dydxf x y dy 112cossin0002(cos,sin)(cos,sin)df rrrdrdf rrrdr.故选(D).(4)若2211-,(cossin)min(cossin)a b Rxaxbx dxxaxbx dx，则 11cossinaxbx ()(A)2sinx (B)2cosx (C)2 sinx (D)2 cosx【答案】(A)【解析】2222(cossin)(sin)2 cos(sin)cosxaxbx dxxbxax xbxa xx dx 22222(2sinsincos)xbxxbxax dx 2222202(sincos2sin)x dx
5、bxaxbxx dx 223124()422 223abb 2232(4)3abb 2232(2)43ab 当0,2ab时，积分最小.故选(A).大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 3(5)行列式00000000ababcdcd ()(A)2()adbc (B)2()adbc (C)2222a db c (D)2222b ca d【答案】(B)【解析】由行列式的展开定理展开第一列 0000000000000000ababababa cdcb
6、cddcdcd ()()ad adbcbc adbc 2()adbc.故选(B).(6)设123,a a a均为三维向量，则对任意常数,k l,向量组13aka,23ala线性无关是向量组123B线性无关的 ()(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】(A)【解析】13231231001klkl.)记1323Akl，123B，A.若123,线性无关，则()()()2r Ar BCr C，故()0.3P AB线性无关.()P BA 举反例.令30，则12,线性无关，但此时123,却线性相关.综上所述，对任意常数402Qp，向量p线性无关是
7、向量D线性无关的必要非充分条件.故选(A).4(7)设随机事件A与B相互独立，且()0.5P B，()0.3P AB，则()P BA ()(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4【答案】(B)【解析】已知a，A与2123121 323,24f x x xxxax xx x独立，a，()()()()()()P ABP AP ABP AP A P B ()0.5()0.5()0.3P AP AP A，则 ()0.6P A，则()()()()()()0.5 0.5 0.60.5 0.30.2P BAP BP ABP BP A P B.故选(B).(8)设连续性随机变量1X与2X相互独立
8、，且方差均存在，1X与2X的概率密度分别为1()f x与 2()fx，随机变量1Y的概率密度为1121()()()2Yfyf yfy，随机变量2121()2YXX，则 ()(A)12EYEY，12DYDY (B)12EYEY，12DYDY(C)12EYEY，12DYDY (D)12EYEY，12DYDY【答案】(D)【解析】用特殊值法.不妨设12,(0,1)X XN，相互独立.22212221111()()2222yyyYfyeee，1(0,1)YN.2121()2YXX，212212111()()()0,()()()242E YE XE XD YD XD X.12121()()0,()1()
9、2E YE YD YD Y.故选(D).二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)曲面22(1 sin)(1 sin)zxyyx在点(1,0,1)处的切平面方程为_.【答案】21xyz 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 5【解析】由于22(1 sin)(1 sin)zxyyx，所以 22(1 sin)cosxzxyx y，(1,0)2
10、xz；2cos2(1 sin)yzxyyx ，(1,0)1yz.所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为2,1,1n .故切平面方程为2(1)(1)(0)(1)0 xyz，即 21xyz.(10)设()f x是周期为4的可导奇函数，且()fx2(1),x0,2x，则(7)f_.【答案】1【解析】由于()fx2(1)x，0,2x，所以2()(1)f xxC，0,2x.又()f x为奇函数，(0)0f，代入表达式得1C ，故 2()(1)1f xx，0,2x.()f x是以4为周期的奇函数，故 2(7)(1 8)(1)(1)(1 1)11ffff.(11)微分方程(lnln)0 xyyxy满足条件
11、3(1)ye的解为y _.【答案】21(0)xyxex【解析】(lnln)0 xyyxyln()yyyxx.令yux，则yx u，yxuu，代入原方程得 lnxuuuu(ln1)uuux 分离变量得，(ln1)dudxuux，两边积分可得 ln|ln1|lnuxC，即ln1uCx.6 故ln1yCxx.代入初值条件3(1)ye，可得2C，即ln21yxx.由上，方程的解为21,(0)xyxex.(12)设L是柱面221xy与平面0yz的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdxydz_.【答案】【解析】由斯托克斯公式，得 0Ldydzdzdxdxdyzdxydzdydzdz
12、dxxyzzy xyDdydzdzdx，其中22(,)|1xyDx yxy.(13)设二次型22123121 323,24f x x xxxax xx x的负惯性指数是 1，则a的取值范围_.【答案】2,2【解析】配方法：22222123133233,24f x x xxaxa xxxx 由于二次型负惯性指数为 1，所以240a，故22a.(14)设总体X的概率密度为22,2,;30,xxf x其他,其中是未知参数，12,nX XX为来自总体X的简单样本，若221()niiE cX，则c _.【答案】25n【解析】222222()(;)3xE Xx f xdxxdx 大型考试资源分享网站百度搜
13、索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 7 2422215342x，222215()2niinE cXncE Xc，25cn.三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限12121lim.1ln 1xtxtet dtxx【解析】11221122dd(e1)(e1)limlim11ln
14、(1)xxttxxttttttxxxx 12lim(e1)xxxx 12000e1e11limlimlim222tttxtttttttt.(16)(本题满分 10 分)设函数 yf x由方程32260yxyx y确定，求 f x的极值.【解析】对方程两边直接求导：2223220y yyxyyx yxy 令1x为极值点，则由极值必要性知：1()0y x，代入式得：2111()2()0yxx y x.即1()0y x或11()2y xx.将其代入原方程知：1()0y x（舍去），即11()2y xx.代入，有 33311184260 xxx，11x.即(1)2y，(1)0y.8 对式两边再求导：2
15、2226()322()222220y yy yyyx yxyyyyxyx yyxy.将(1)2y，(1)0y代入得：4(1)09y.()yf x在1x 处取极小值，(1)2yf.(17)(本题满分 10 分)设函数 f u具有二阶连续导数，cosxzf ey满足xxeyezyzxz22222)cos4(若 00,00ff，求 f u的表达式.【解析】因为,cos)cos(yeyefxzxxyeyefyeyefxzxxxxcos)cos(cos)cos(2222 ,sin)cos(yeyefyzxxyeyefyeyefyzxxxxcos)cos(cos)cos(2222 所以，xxxxxeyey
16、efeyef22cos)cos(4)cos(uufuf)(4)(上述方程的通解为 4)(2221ueCeCufuu 由 00,00ff 得 412-202121CCCC 解得，1611C,1612C 故，4161-161)(222ueCeufuu (18)(本题满分 10 分)大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 9 设为曲面22zxy(z1)的上侧，计算曲面积分 33(1)(1)(1)Ixdydzydzdxzdxdy.【解析】非闭，补1：平
17、面1z，被22zxy所截有限部分下侧，由 Gauss 公式，有 133+(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy 223(1)3(1)1xydV 223()667xy dVxdVydVdV 和1所围立体为，关于yoz面和zox面对称，则0 xdVydV 22221221()xyxyxydVdxdydz 212200(1)drrrdr 461011112()2()46466rr 2211002xyzdVdzdxdyzdz 173746222 14 又22111(1)(1 1)0 xyzdxdydxdy 1 114I (19)(本题满分 10 分)设数列 ,nnab满足02na，02nb，
18、coscosbnnnaa，且级数1nnb收敛.(I)证明：lim0nna.(II)证明：级数1nnnab收敛.10【解析】(I)1nnb收敛 lim0nnb coscos2sinsin022sin02nnnnnnnnnababaabab 又424nnab，042nnab 即：nnab 又0,nnablim0nnb lim0nna(II)证明：由(I)2sinsin22nnnnnababa 2sinsin22nnnnnnnabababb 222222222nnnnnnnnnnnab bababbbbb 又1nnb收敛 12nnb收敛,1nnnab收敛(20)(本题满分 11 分)设矩阵12340
19、 11 11203A，E为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax 的一个基础解系；(II)求满足ABE的所有矩阵B.【解析】12341001234100011 1010011 10101203001043 1101A E 12341001001261011 1010010213100131410013141,(I)0Ax 的基础解系为1,2,3,1T 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 11(II)1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTT
20、eee 1Axe的通解为111112,1,1,02,1 2,1 3,TTxkkkk k 2Axe的通解为222226,3,4,06,32,43,TTxkkkk k 3Axe的通解为333331,1,1,01,1 2,1 3,TTxkkkk k 1231231231232611232121 3431 3kkkkkkBkkkkkk （123,k k k为任意常数）(21)(本题满分 11 分)证明n阶矩阵1 111 111 11与00100200n相似.【解析】已知1111A ，12001Bn =，则A的特征值为n，0(1n重).A属于n的特征向量为(1,1,1)T；()1r A，故0Ax 基础解
21、系有1n个线性无关的 解 向 量，即A属 于0有1n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量，故A相 似 于 对 角 阵0=0n.B的特征值为n，0(1n重)，同理B属于0有1n个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵.由相似关系的传递性，A相似于B.(22)(本题满分 11 分)设随机变量X的概率分布为112,2P XP X在给定Xi的条件下，随机变量Y服从均匀分布0,(1,2)Uii.12（I）求Y的分布函数 YFy；（II）求EY.【解析】（I）设Y的分布函数为(y)YF，则 ()1|12|2YF yP YyP XP Yy XP XP Yy X 11|1|222P Yy XP Yy X 当0
22、y 时，()0YFy；当01y时，13()(y)224YyyFy；当12y时，1()(1)22YyFy；当2y 时，()1YFy.所以Y的分布函数为 0,03,014()1(1),12221,2YyyyFyyyy(II)Y的概率密度为 3,01,41(y),12,40,Yyfy其他.120131()=()d44YE Yfyyy dyy dy =31113(4 1)42424(23)(本题满分 11 分)大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 1
23、3 设 总 体X的 分 布 函 数 为21(;)0,0,0,xxxeF x，其 中是 未 知 参 数 且 大 于零.12,nX XX为来自总体X的简单随机样本.（I）求()E X，2()E X；（II）求的最大似然估计量n；（III）是否存在实数a，使得对任何0，都有lim0nnPa？【解析】X的概率密度为22,0(;)(;)0,xxexf xF x其它（I）202()(;)xxE Xxf xdxxedx 222000 xxxxdexeedx 20 xedx 1222 2 222202()(;)xxE Xx f xdxxedx 222220002xxxx dex eexdx 202xxedx
24、14（II）似然函数2112,0()(;)0,ixniniiixexLf x 其它 当0(1,)ixin时，212()ixniixLe，21ln()ln2lnniiixLx 222211ln()110nniiiixdLxnd 解得 211niixn 所以，的最大似然估计量为211nniiXn（III）依题意，问n是否为的一致估计量.2211()()()nniiEEXE Xn 242211()()()()nDD XE XEXnn 244402()(;)xxE Xx f xdxxedx 2224430004xxxx dex eex dx 2304xx edx 2222200022 2xxxx dex eexdx 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 15 204xxedx 22202()xxed 22 2221()2nDnn lim()0nnD n为的一致估计量 a
