1、2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫12022 年督学班高分必刷 800 题作业答案第八章 二重积分【362】解析：2122200ln 1ln 1Dxydxdydrrdr10ln 12ln2 1x dx【363】解析：22211000eeyyyyDIedxdydydxydy210111e222ye.【注】本题只可以选用Y型处理，不可选用X型，因为2yedy不可积.【364】解析：补线3yx，则被积分区域划分为1234,D D D D其中12,D D关于y轴对称，34,D D关于x轴对称；而被积分函数22xyfxy关于,x y都是奇函数，故3302210122xDD
2、Ixyfxydxdyxdxdydxxdy041225x dx.【365】解析：积分区域为圆构成的区域，选用极坐标系进行计算，2sin2216cos sinDIxydxdydrrdr426cos sin16sin14d2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫25261411194sinsinsin1146648416d.【366】解析：由题设将积分区域分为两部分，如图所示，则222222211,(,),11,(,),xyx yDxyxyx yD221 dDxy222(1)d dDxyx y122(1)d dDxyx y.其中，112222200011(1)d dd(1)
3、d()d248Dxyx yrr r21222222(1)d d(1)d d(1)d dDDDxyx yxyx yxyx y112200d(1)d8xxyy1123001()d38yyx yyyx12021()d3883xx.所以，2211 d43Dxy.【367】解析：由条件可知在极坐标下化二重积分为累次积分22011()(,)dd()dvuuf rF u vvr rvf rrr，所以2()Fvf uu，故答案选（A）.【368】解析：积分区域D如图阴影部分所示.yxO11D12D2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫3由1xyab,得2(1)xyba.因此22(1
4、)2(1)24000001(1)22bx aabx aaaDbxIydxdydxydydxydxa.令1xta,有2(1),2(1)xatdxat dt,故2204401(1)2(1)22abxbIdxta tdta15621245200()()5630ttababttdtab【369】解析：方法方法 1：由221xyxy,配完全方得22113222xy.令11cos,sin22xryr,引入极坐标系(,)r,则区域为3(,)02,02Drr.故32200()(1cossin)Dxy dxdydrrdr2200313(cossin)422dd2023133sincos04222d.方法方法 2
5、：由221xyxy,配完全方得22113222xy.引入坐标轴平移变换：11,22uxvy则在新的直角坐标系中区域D变为圆域2213(,)|2Du vuv，而1xyuv，则有dxdydudv，代入即得2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫41111()(1)DDDDDxy dxdyuvdudvududvvdudvdudv.由于区域1D关于v轴对称，被积函数u是奇函数，从而10Dududv，同理可得10Dvdudv，又113.2DdudvD故3()2Dxy dxdy.【370】解析：11222sin0002=sinD DDIydxdyydxdydyydxdrrdr24
6、42002882sin4sin4332ydydd.【371】解析：本题考查二重积分极坐标系与直角坐标系的转换.易知积分区域为22:,0Dx y xyx x y，因此可转化为2100,x xdxfx y dy，答案为（C）.【372】解析：222411d(,)dd(,)dyxyxf x yyyf x yx的积分区域为两部分：1(,)12,2Dx yxx y ，2(,)12,4Dx yyy xy ，合并可得，(,)12,14Dx yyxy ，故二重积分可以表示为2411d(,)dyyf x yx故选（C）【373】解析：本题考查含二重积分的极限计算.交换二次积分的积分次序，22000eetxtyy
7、ytdxdydydx，于是220100eelimlimtytttydyttt，可知11，112 ，故答案选（D）.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫5【374】解析：根据所给形式，化为极坐标系下的二次积分较为简便.2222sin22232200000816sin39y ydyxy dxdr drd.【375】解 析：先 将 二 次 积 分 化 为 二 重 积 分，积 分 区 域 为222,01,2Dx yyyx xy：，故 X 型应分段进行二次积分，则原式=221220010,xxdxfx y dydxfx y dy【376】解析：由题意可知积分区域为22:,0
8、1,1,1Dx yxxyxy，因此211121010cossin,cos,sinxxdxf x y dydf rrrdr.【377】解析：积分区域为:,14,12,Dx yxyxyx故可化为 Y 型22422121sinsinsin222xyxxyxxxdxdydxdydydxyyy22223112248coscos22yyyxydyydyy.【378】解析：由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在10y 内，21y，题设的二次积分并不是(,)f x y在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：01021211d(,)dd(,)dyyyf x y xyf x
9、y x，2011d(,)dxxf x yy 2110d(,)dxxf x yy.【379】解 析：此 题 考 查 二 重 积 分 不 同 形 式 的 转 换。积 分 区 域 为2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫6:,12,14Dx yyxy，转化为 Y 型二次积分为2411,ydyf x y dx，故答案为 C.【380】解析：由二重积分22202cosd()df rr r可知，被积函数22()f xy，积分区域为22()2cos2 0=()24022Dr,|r,x,y|xxyx,x ，所以22202cosd()df rr r22242202d()dxx xxf xyy，故答案选（B）.【381】解析：本题考查二重积分在不同坐标系下的计算.易知 X 型为22111111xxdxf xy dy；Y 型为222202y yy ydyf xy dx；极坐标系下为2sin200sincosdf rrdr；、正确，答案选（B）.
