1、高中数学试题的命题方法与技巧 一一.市模拟考试的性质市模拟考试的性质 市模拟考试是一项比较特殊的考试，它的功能是：第一，评定功能，指考试能够测量、鉴定学生的知识、技能是否达到一定标准或其实际水平；第二，诊断功能，通过考试能够发现学生知识学习或技能掌握中的问题和问题形成的原因；第三，导向功能，模拟考试对各学校的复习其有导向功能，尤其对三星以下的学校；第四，决策功能，为领导提供决策的依据；第五，预测功能，预测当年高考命题的走向。二二.数学命题的基本要求数学命题的基本要求 1.1.内容的科学性内容的科学性 一题意的可知性 题目的叙述可以深刻、隐蔽，但出现的数学概念是已知的，出现的数学符号是标准的，题
2、目的叙述可以深刻、隐蔽，但出现的数学概念是已知的，出现的数学符号是标准的，使用的数学述评是规范的，从而题目的意思经过分析完全使用的数学述评是规范的，从而题目的意思经过分析完全 可以理解，决不会出现模棱可以理解，决不会出现模棱两可的歧义。对于中学生不熟悉的记号，如两可的歧义。对于中学生不熟悉的记号，如x x，dep(p)dep(p)等，其意义应在题中加以说等，其意义应在题中加以说明。明。例1(1991，全国高中数学联赛)设S=1，2，n，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后不能构成与A有相同公差的等差数列求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)评
3、析：这里“添加”S的其他元素于A后”有两种认识，其一是添加的元素在A中无位置约束，因而可以是新数列的首项或未项，其二是添加的元素在A中有位置 约束，只能为未项。出题的愿意是前者，但后者有道理，这就没有达到“题意可知性”的要求。例例2(1999，全国高中数学联赛，全国高中数学联赛)给定正整数给定正整数n，已知用克数都是正整数的已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称块砝码和一台天平可以称出质量为出质量为1,2,3,n克的所有物品。克的所有物品。（1）求）求k的最小值的最小值f(n)；（2）当且仅当）当且仅当n取什么值时，上述取什么值时，上述f(n)块砝码的组成块砝码的组成方式是唯一确定的？
4、并证明你的结论方式是唯一确定的？并证明你的结论 评析：按照物理上使用天平的规定是左物右砝评析：按照物理上使用天平的规定是左物右砝码，也可以理解为左右两边均可放置砝码。从码，也可以理解为左右两边均可放置砝码。从超标准答案来看是后一种情况，当年好都考生超标准答案来看是后一种情况，当年好都考生就就 理解为前一种情况，结果错了。理解为前一种情况，结果错了。(2)(2)条件的条件的充分性充分性 题目中的条件对于推出结论是足够的，否则就是病题或错题。有些条件不充分的题目之所以存在，是因为命题者心中补充了“潜在假设”。评析：当c=0时，已知方程有公共根x=0，其它两个根便为-a，-b。但以-a，-b为根的方
5、程为 x2+cx+ab=0 的充要条件是：a+b=c=0.而这一点题目并没有给出，所以c=0时结论不成立，标准答案默认了c0.例3(1987年初中数学邀请赛)设方程x2+ax+bc=0，与方程 x2+bx+ac=0，有一个公共根，求证：其它两个根必为方程x2+cx+ab=0的根。评析：本题“标准答案”为评析：本题“标准答案”为4c，其实，其实4c只能只能证实为正周期，不能肯定为最小正周期证实为正周期，不能肯定为最小正周期.比如，当比如，当f(x)=cosx，g(x)=sinx时，有时，有f(x)是偶是偶函数，函数，g(x)是奇函数，且是奇函数，且 f(x)=cosx=-sin(x+3/2)=-
6、g(x+3/2).已全部满足条件，但已全部满足条件，但43/2=6.但不是但不是cosx的最小正周期的最小正周期.例例4(2009年四川高考题年四川高考题)设设f(x)为偶函数，为偶函数，g(x)是奇函数，且是奇函数，且f(x)=-g(x+c)(c0)，则，则f(x)是最小是最小正周期为正周期为 的周期函数的周期函数.(3)(3)条件的独立性条件的独立性 这要求题目的条件间既不重复也包含。这一要求反映了条件的最少性，体现数学严谨性简单美。例例5(20115(2011年南通市三模年南通市三模)甲地与乙地相距甲地与乙地相距250250公里某天小袁从上午公里某天小袁从上午750750由甲地出发开车前
7、往乙地办事在上午由甲地出发开车前往乙地办事在上午900900，10001000，11001100三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有速度继续行驶，那么还有1 1小时到达乙地”假设导航仪提示语都是小时到达乙地”假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午正确的，那么在上午11001100时，小袁距乙地还有时，小袁距乙地还有 公里公里 评析：本题中900,1000是多余的，命题中有的老师建议将这多余的条件去掉，但是如果去掉这两个多余条件后，题显得太简单，所以这里的两个多余条件起到了干扰作用。其实本题作为大题，可以这
8、样问，这样的情况是否存在，如果存在，那么在上午1100时，小袁距乙地还有 公里 例例6(2008年江苏高考年江苏高考)在平面直角坐标系中，设三在平面直角坐标系中，设三角形角形ABC 的顶点分别为的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点，点P（0，p）在线段）在线段AO 上（异于端点），设上（异于端点），设a,b,c,p 均为非零均为非零实数，直线实数，直线BP,CP 分别交分别交AC,AB 于点于点E,F，一，一 同学已正确算的同学已正确算的OE的方程：的方程：，请你求请你求OF的方程：的方程：（）.11110 xycbpa 评析：本题中的“一同学已正确算的评析：本题中的“一同
9、学已正确算的OE方方程”是多余的，命题者的想法是要求学生利用程”是多余的，命题者的想法是要求学生利用OE方程直接类比推理得出方程直接类比推理得出OF的方程。事实很多的方程。事实很多学生直接求出学生直接求出OF的方程。的方程。(4)(4)条件的相容性条件的相容性 条件的相容性就是条件本身不能互相矛盾，首先不能与本系统的公理、定理相矛盾，其次是题目的多个条件之间不能互相矛盾。例例7(067(06年南昌模拟试题年南昌模拟试题)设设x x、y y、z z是三个实数，且有是三个实数，且有 则则 的值是的值是 。2221112,1111.xyzxyz111xyyzzx 评析：由评析：由 其实，这是错题，各
10、条件之间互不相容，因为其实，这是错题，各条件之间互不相容，因为对实数对实数x、y、z有有 矛盾。矛盾。222221111111111()()213(21)22xyyzzxxyzxyz3(3(22221111114()3xyzxyz例8.(1988年全国初中数学竞赛)一水池有A、B两个进水管和C一个出水管，如果同时打开A、C，两小时可注满水池；同时打开B、C，3小时可注满水池；当水池满水时，先单独打开C两小时，再把A、B也同时打开，1小时后水池又可注满。那么单独打开A几小时可注满水池。评析：评分标准给出的答案是3/4。这默认了C水管在2小时内不能将满池水放完，更没有验证条件是否相容，事实上，C水
11、管放水2小时，有可能放完满池水，也有可能未放完，现设A水管x小时可将空池注满，B水管y小时可将空池注满，C水管z小时可将满池水放完。(1)若z2，有方程组 表面上，方程组有解，但表面上，方程组有解，但z=6/5与与z2矛盾，实际上矛盾，实际上问题无解。问题无解。(2)若若z成立成立.即即212112122221()()()()()022k xxxxf xf xxxxx-+-=-+-+-恒成立恒成立.3 分分 因为因为210 xx-，所以，所以22211222xxkxx-+-+对对12,2,xx 且且12xx时，恒成立时，恒成立.又又22211222xxxx-+-+时，又分三种情况：时，又分三种
12、情况：当当1k时，因为时，因为22xx-，所以，所以210,2kxx-+-，且 f(x)是减函数，故 f(x)值域是(0,22-.12 分 当01k时，()fx是增函数，(2)22fk=-，222222222(1)(1)2()22211kkxkxkxf xxkxxkxkx-+-+=-=+-+-.下面再分两种情况：（a）当202k?时，()0fx的唯一实根2221xk=?-，故()0(2)fxx，2()2f xxk x=-是关于 x 的增函数，值域为22,)k；（b）当212k-，当2221xk?-时，()0fx；当221xk-时，()0fx；所以 f(x)2222(1)1fkk骣?-桫-.故
13、f(x)的值域为2 2(1),)k.15 分 综上所述，f(x)的值域为222,)2kk；2 2(1),)k（212k）.16 分 例例 5(2011 年一模年一模)已知数列已知数列an是是各项均为正的等比数列各项均为正的等比数列，其公比为其公比为 q（1）当当 q32时时，在，在数列数列an中：中：最多有几项在最多有几项在 1 1100 之间？之间？最多有几项是最多有几项是 1100 之间的整数？之间的整数？（2）当当 q1 时时，在，在数列数列an中，中，最多有几项是最多有几项是 1001000 之间的整数？之间的整数？（参考数据：参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）(2004 年一模)已知数列na满足na0，且对一切 nN+，有ni=1 a3i=S2n，其中 Sn=ni=1 ai，（）求证：对一切 nN+，有a2n+1 an+1=2Sn；（）求数列an的通项公式；（）求证：nk=1 k a2k 3 谢谢大家 高中数学试题的命题方法与技巧
