1、书书书第 38 卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vol 38，No 6 2022第 6 期NATUAL SCIENCE JOUNAL OF HABIN NOMAL UNIVESITY对合三元半环的几类理想*冯军庆，王非，徐慧(空军工程大学)【摘要】利用对合三元半环的几个特殊的理想来研究对合三元半环，得到了对合三元半环的*理想、*k 理想的性质，最后给出了对合三元半环的*素理想的三个等价命题【关键词】理想;*理想;*k 理想;素理想【中图分类号】O152 7【文献标识码】A【文章编号】1000 5617(2022)06 0001 04收稿日期:2022 08 29*基金项目:国家自然科学基金资助项目
2、(11661073);空军工程大学基础部基金资助项目(JK2020105)1引言与预备知识若非空集合 S 上有两种运算，二元加法+和三元乘法，其中(S，+)是交换半群，(S，)是三元半群，且满足三元乘法对二元加法的分配律，即 x，y，z，w，v S，有下列式子成立:(xyz)wv=x(yzw)v=xy(zwv)(x+y)zw=xzw+xyw，x(y+z)w=xyw+xzw，xy(z+w)=xyz+xyw，则称 S 是三元半环1 含对合*运算的三元半环 S，是指 x，y，z S，有(x*)*=x，(x+y)*=y*+x*，(xyz)*=z*y*x*成立，即*是 S 上的反自同构，*也可以看作半环
3、上的一元运算，把含对合*运算的三元半环称为对合三元半环例如设 Z 是整数集，规定二元加法的三元乘法就是普通整数的加法和乘法，对合运算*是取相反数，则整数集 Z 在上述的运算下就是一个对合三元半环三元半环上的对合运算，有下列性质:(1)(x+y)*=y*+x*(2)(xyzwv)*=(xyz)wv*=x(yzw)v*=xy(zwv)*=v*w*(xyz)*=v*(yzw)*x*=(zwv)*y*x*=v*w*z*y*x*三元代数在数学、物理及其理论计算机中应用越来越广泛，三元代数系统的概念最早是由Lehmer 在1932 年提出的，之后 Banach 给出了三元半群的概念，1965 年 Sios
4、on 又研究了三元半环的理想理论1，三元半环的概念是由 Dutta 和Kar 在Lister给出的三元环的基础上于2003 年提出的2 对合半环在代数学的不同领域和计算机科学中占有重要地位，在形式语言和自动机理论中语言对合半环丰富了Kleene循环运算理论 理想是半群代数理论中一个重要的概念，更是研究半环结构有力的数学工具，利用一些特殊的理想来研究对合半环的性质与结构，已成为许多专家和学者研究半环代数理论的一种常用方法 其中这些特殊的理想包括左(右)理想、*理想、k 理想、素理想、k 素理想、*素理想和*k 素理想等36 在文献 3中，Dheena P等学者研究了对合半环中的理想 该文受上述这
5、些理论的启发，在三元半环上引入对合*运算，称之为含有对合运算的三元半环，简称为对合三哈尔滨师范大学自然科学学报2022 年 第 38 卷元半环 现就对合三元半环为主要研究对象，利用几类特殊的理想来研究三元半环的理想和这几类特殊的理想之间的关系该文在不引起混淆的情形下，文中的 S 均表示对合三元半环，其它的概念请参阅文献 7 10 2S 的*理想与*k 理想首先给出该文主要研究的*理想的相关概念定义 1设对合三元半环 S 的子集为 I，对a，b I，s S，若 a+b I，sab I，称 I 是 S的左理想 若 a+b I，abs I，称 I 是 S 的右理想，若 a+b I，asb I，称 I
6、 是 S 的侧理想3 定义2若I既是S的左理想，又是S的右理想，还是 S 的侧理想，则称 I 是 S 的理想3 定义3设I是S的理想，记I*=a*|aI，若 I*I，称 I 是 S 的*理想3 对于对合三元半环 S 而言，显然 S*=S，也就是说，S 本身就是 S 的一个*理想，这说明*理想是非空的 但是关注的对象除了 S*之外，还有没有其它的*理想，并且这些*理想有哪些性质?这是下面研究的问题定理1若I是S的理想，则I*是S的理想，且 I*II，III*，I+I*是 S 的*理想证明a，b I*，s S，则 a*，b*I，由I 是 S 的理想得:sa*b*，a*sb*，a*b*s I，故(s
7、a*b*)*，(a*sb*)*，(a*b*s)*I*，即bas*，bs*a，s*ba I*，故 I*是 S 的理想由于I*是S的理想，所以I*II，III*也是S的理想，又(I*II)*=I*I*I I*II，(III*)*=II*I*III*，因此 I*II，III*是 S 的*理想对 a，b I+I*，s S，x1，x2 I，y*1，y*2 I*，使得 a=x1+y*1，b=x2+y*2，于是sab=s(x1+y*1)(x2+y*2)=sx1x2+sx1y*2+sy*1x2+sy*1y*2 I+I*，同理可得 asb I+I*，abs I+I*，因此 I+I*是 S 的理想，又(I+I*)
8、*=(I*)*+I*=I+I*，故 I+I*是 S 的*理想下面给出该文主要研究的*k 理想的相关概念定义 4设对合三元半环 S 的子集为 I，对a I，s S，若 a+s I，则 s I，称 I 是 S 的左 k 理想 若 s+a I，则 s I，称 I 是 S 的右k 理想3 定义5若 I 既是 S 的左 k 理想，又是 S 的右 k 理想 则称 I 是 S 的 k 理想3 定理2S 的两个 k 理想的交也是 S 的 k 理想证明设 P，Q 是 S 的两个 k 理想，对a P Q，s S，若a+s P Q，则a+s P，a+sQ，又P，Q都是S的k 理想，故sP，s Q，于是s P Q，因
9、此P Q 是S 的k 理想定理 3设 S 是对合三元半环，I 是 S 的 k 理想当且仅当 I*是 S 的 k 理想证明先证必要性，若I是S的k 理想，对a*I*，s S，若a*+s I*，则(a*+s)*(I*)*，于是s*+(a*)*I，即s*+a I，由于(S，+)是交换半群，所以 a+s*I，再由I 是 S 的 k 理想，因此 s*I，所以 s I*，即I*是 S 的 k 理想下证充分性，若I*是S的k 理想，对aI，s S，若 a+s I，则(a+s)*I*，于是s*+a*I*，即 s*+a*=a*+s*I*，由于I*是 S 的 k 理想，因此 s*I*，所以 s I，即I 是 S
10、的 k 理想定理 4设 S 是对合三元半环，(1)若 A，B，C 是 S 左(右)理想，则 Il=s S|sBC A(Ir=s S|BCs A)是S 的理想;(2)若 A，B，C 是 S 左(右)k 理想，则 Il=s S|sBC A(Ir=s S|BCs A)是S 的 k 理想证明(1)若 A，B，C 是 S 左理想，对 a，b Il，由于 A 是 S 的左理想，故 aBC A，bBC A，所以(a+b)BC A，且a+b Il，对s S，则 sabBC saA A，absBC aBC A，故sabIl，absIl，因此Ils=sS|sBCA是 S 的理想2第 6 期对合三元半环的几类理想同
11、理若 A，B，C 是 S 右理想时，Ir=s S|BCs A也是 S 的理想(2)若 A，B，C 是 S 左 k 理想，对 a，b Il，s S 若 a+s Il，则(a+s)BC A，即aBC+sBC A，由于 A 是 S 的左 k 理想，故sBC A，因此 s Il，故 Il是 S 的 k 理想同理若 A，B，C 是 S 右 k 理想时，Ir=s S|BCs A也是 S 的 k 理想定义 6若 P 既是 S 的 k 理想，又是 S 的*理 想 则称 P 是 S 的*k 理想3 定理 5若 I 是 S 的 k 理想，则 I*I 是S 的*k 理想证明因为 I 是 S 的 k 理想，由定理3
12、可知，I*也是 S 的 k 理想，因此 I I*是 S 的 k 理想 又(I I*)*=I*(I*)*=I*I，故I I*是 S 的*理想，因此 I*I 是 S 的*k 理想3S 的*素理想下面给出该文主要研究的*素理想的相关概念定义7设 P 是 S 的理想，若 ABC P，则 A P 或 B P 或 C P，称 P 是 S 的素理想3 定义8设P是S的*理想，若ABCP，则 A P 或 B P 或 C P，称 P 是 S 的*素理想3 由定义可知，若P 是S 的素理想且是*理想，则 P 是 S 的*素理想 但是 S 的*理想未必是S的*素理想 下面给出对合三元半环S 的*理想是*素理想一个充
13、要条件定理 6设 S 是对合三元半环，P 是 S 的*理 想 则 P 是对合三元半环 S 的*素理想的充要条件是若 ABC P，则 A P 或 B P或 C P，这里A，B，C 至少有两个是 S 的*理想证明充分性根据*素理想的定义可得，下面证明必要性设 P 是对合三元半环 S 的*素理想，不失一般性，假设 A 是 S 的理想，B，C 是 S 的*理想，使得ABCP，则由于B，C是S的*理想，所 以BCA*P，从 而(A*BC)3=A*BCA*BCA*BC P*P，于是A*BCP，因此(A+A*)BC P，又因为是素理想可得(A+A*)P，B P，C P，从而 A P 或 B P 或C P，于
14、是P是对合三元半环S的*素理想为了刻画*素理想的特性，再给出主理想的概念定义9对aS，是称由a的生成的理想为 S 的主理想，记作 a 3 定理 7设 S 是对合三元半环，P 是 S 的*理 想 则下列命题等价:(1)P 是 S 的*素理想;(2)a，b，c S，若 aSbSc P，a*SbSc P，则 a P 或 b P 或 c P;(3)设 U，V，W 是 S 的右理想，若 UVW P，U*VW P，则 U P 或 V P 或 W P;(4)设 U，V，W 是 S 的左理想，若 UVW P，U*VW P，则 U P 或 V P 或 W P证明(1)(2)若 aSbSc P，a*SbSc P，
15、由定理 6 可得，a S b S c P，a*S b S c P，于是(a +a*)S b S c P，所以 S(a +a*)SS b SS c S P，再由 P 是 S的*素理想可得:S(a +a*)S P，S b S P，S c S P从而 a +a*P，b P，c P，所以 a a P，b b P，c c P(2)(3)设 U，V，W 是 S 的右理想，且UVW P，U*VW P，假如 U 不包含于 P，则存在 u U，使得 u P，设 v V，w W 则 u v w UVW+SUVWS P，u*v w U*VW+SU*VWS P，所以 u P 或 v P 或 w P，可是 U不包含于P
16、，所以 v P 或 w P(3)(4)由(3)的条件直接可得结论(4)(1)由*素理想的定义可得3哈尔滨师范大学自然科学学报2022 年 第 38 卷参考文献 1Santiago M L，SriBala S Ternary semigroupsJ SemigroupForum，2010(81):380 388 2Dutta T K，Kar S On regular ternary semirings Advances inAlgebraJ In:Proceedings of the ICM Satellite Conferencein Algebra and elated Topics，World Scientific，2003，343 355 3Dheena P，Elavarasan B，Porselvi K Ideals in semiring withinvolution J International Journal of Applied Mathematics，2018(3):371 379 4Elavarasan B，Porselvi K Prime bi ideals i
