1、第 卷 第期中 国 机 械 工 程 年月 多交叉曲梁簧片柔性铰链的力学建模与性能分析陈鑫刘江南龙汪鹏吕剑文湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，摘要：针对直梁型多交叉簧片柔性铰链难以兼顾大转角、低刚度的问题，设计了一种多交叉曲梁簧片柔性铰链。采用圆弧曲梁簧片减小变形应力和转动刚度，在纯转矩驱动条件下具有高转动精度和大转角行程。推导了圆弧曲梁簧片的变形应力计算方程，建立了柔性铰链的大变形力学分析模型，并通过转动刚度实验和变形应力仿真计算验证了理论模型的准确性。进一步分析了半径系数、簧片曲率和位形角等设计变量对柔性铰链驱动转矩和变形应力的影响关系，提出了同时减小转动刚度和变形应力的设计
2、方案，确定了使柔性铰链获得零刚度特性和负刚度特性的设计变量组合。所设计的柔性铰链结构及其性能分析结果可为新型大行程柔性铰链的设计提供参考。关键词：柔性铰链；圆弧曲梁簧片；大行程；转动刚度；最大应力中图分类号：开放科学（资源服务）标识码（）：，：，：；收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）引言柔性铰链无间隙、无摩擦的优点使其在精密工程领域获得广泛应用。由两个弹性簧片在中点处交叉组成的双交叉簧片柔性铰链具有较大的运动行程和较低的转动刚度，但转动精度较低。对此，学者们通过改变簧片交叉点位置、设计变厚度簧片等方式改进其双簧片结构，但是均难以实现准零轴漂的高转动精度。为进一步提高转动精度，学者们通过增
3、加簧片数量（）和采用对称布局，设计分析了不同多交叉簧片柔性铰链构型。毕树生团队率先提出了广义三交叉簧片柔性铰链，通过加强簧片位移约束提高了转动精度；后续通过改变交叉点位置，总结了多交叉簧片柔性铰链的多种拓扑构型，并通过仿真进行了综合性能对比；根据对比结果，重点研究了三交叉簧片形式的内外环柔性铰链的刚度特性；并进一步研究了圆周对称的多交叉簧片柔性铰链的内部约束特性。等基于 创新原理，提出一种高精度的全对称多交叉簧片柔性铰链。上述研究中柔性铰链的弹性簧片均为直梁型结构。在多交叉簧片柔性铰链构型中，直梁簧片存在刚度和应力较大、转角范围较小等不足。相比直梁簧片，曲梁簧片具有低刚度、低应力的优点，可实现
4、较大挠度。有学者将样条曲梁簧片 、圆弧曲梁 直梁组合的折叠簧片 和双曲梁簧片 应用于环形柔性铰链构型 ，以降低转动刚度和增大转角范围。多交叉簧片柔性铰链构型相比环形柔性铰链构型具有更大转角范围，但是应用曲梁结构的设计研究鲜有报道，尚缺乏对应的大变形力学分析模型。本文以圆弧曲梁簧片为变形单元，在分析多交叉簧片柔性铰链对称拓扑构型的基础上，提出一种在纯转矩作用下具有零轴漂特性的多交叉曲梁簧片柔性铰链，实现转动刚度和变形应力的优化。为精确分析其性能，基于梁约束模型（，）建立圆弧曲梁簧片变形模型，并推导圆弧曲梁变形应力方程。应用链式梁约束模型（，）进行多交叉曲梁簧片柔性铰链的大变形力学分析建模，通过实
5、验和有限元仿真验证理论模型的准确性；进一步分析不同簧片设计变量对柔性铰链转动刚度和簧片变形应力的影响，探究不同刚度特性的参数设计方案。圆弧曲梁簧片变形建模圆弧曲梁簧片具有恒定曲率和较大的偏转范围，有利于设计多交叉簧片柔性铰链。首先定义圆弧曲梁簧片的相关设计变量，实现其参数化设计。进而根据簧片尺寸建立载荷 位移关系和推导变形应力方程，完成圆弧曲梁簧片的变形建模，为后续柔性铰链的设计分析奠定基础。设计变量定义在多交叉簧片柔性铰链内部，圆弧曲梁簧片的尺寸由其连接的静刚体和动刚体决定，如图所示。在固定端点处建立变形单元（）坐标系，轴指向柔性铰链中心。动刚体上自由端点的位置决定簧片的初始形状，用 与轴的
6、夹角表示，定义为位形角。定义半径系数以表征动、静刚体的相对大小，进而由静刚体直径确定动刚体半径：.（）（，）（）簧片弦长（）由、确定：图圆弧曲梁簧片结构示意图 .（）当 长度为（.）时，簧片处于最大拉伸状态。引入长度系数（）计算簧片弧长（）和曲率半径（）：（.）（.）（）（）给定簧片圆心角，由簧片弧长最大值确定长度系数上限，得到的取值范围：（.）（）进一步根据弦长与弧长的几何关系，得到簧片位形角的取值范围：（）.）（）设 在簧片固定端切线方向的投影长度为（下文简记为投影长度），其表达式为 （.）（）直梁簧片的圆心角为，即。为避免，设置，）。设计簧片为恒等截面，宽度为，厚度为。.载荷 位移关系的
7、建立为描述簧片的受载变形，在坐标系 上建立变形坐标系 ，轴沿簧片固定端切线方向，轴与轴的夹角为，如图所示。图圆弧曲梁簧片变形 在变形坐标系 内，定义簧片平面载荷 弯矩、切向力、法向力和平面位移 转角、切中国机械工程 第 卷 第期 年月上半月向位移、法向位移。使用投影长度将所有平面载荷、位移变量进行量纲一化处理：（）（）式中，为材料弹性模量；为截面惯性矩。根据梁约束模型，将位移作为自变量，得到簧片自由端的量纲一载荷 位移关系：（）（）（）（）（）（）（）（.）（）式中，为簧片量纲一曲率，。式（）适用于小曲率条件（.）和中等变形条件（平面位移小于梁长的，.）。.变形应力方程推导在变形坐标系 内，圆
8、弧曲梁上任意点的量纲一纵坐标和切向位移分别为（）、（）。小曲率条件下，（）关于量纲一法向力的方程 为（）（）.（），（）.（），（）式中，、为待定系数，.，。基于 梁假设，得到具有大长厚比（）的圆弧曲梁簧片的支配方程：（）（）（）（）（）（）（）.簧片两端（，）的变形边界条件 为（）（）（）（）（）（）（）联立式（）式（）并对式（）求导，得（）（）（）（）（），（）（）（）（），（）圆弧 曲 梁 簧 片 具 有 大 长 厚 比，可 视 为 梁而忽略剪应力，故簧片上任意一点的应力可近似为弯曲应力和轴向应力的叠加：（）（）（）（）（）通过求解上述公式，得到簧片的变形应力分布，并确定簧片最大变形应力
9、值及其位置。柔性铰链力学建模通过在动、静刚体之间对称配置个相同圆弧曲梁簧片，设计多交叉曲梁簧片柔性铰链，其平面对称轴根据簧片数量的奇偶设置于簧片方向上或簧片与簧片中间方向上，如图 所示。设对称轴一侧相邻簧片的交叉半角为，改变交叉半角和簧片数量，对应得到不同的平面对称构型。为构建通用力学模型用于柔性铰链的设计分析，首先建立其变形方程（载荷平衡方程和变形协调方程），进而分析零轴漂转动载荷条件以确定构型参数，并进行大变形问题求解建模。.变形方程的建立分别在柔性铰链中心和各簧片固定端点（，）处建立全局坐标系 和局部坐标系，定义轴与轴夹角为相位角为。将柔性铰链动刚体上任意位置的全部载荷集中等效为随转角变
10、化的点处广义力（，），如图 所示。（）平面对称构型（）转角和轴漂图多交叉曲梁簧片柔性铰链 多交叉曲梁簧片柔性铰链的力学建模与性能分析 陈鑫刘江南龙汪鹏等设（，）为簧片自由端点处的分配作用力，簧片变形产生的反作用力与之平衡。以动刚体中心 为力矩平衡点，广义力（，）在 点的合力矩为，载荷平衡方程为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.式中，为轴与轴的夹角；为簧片位形角。柔性铰链的变形协调方程为 （）（）（）（）（）式中，分别为、轴上量纲一轴漂分量。.零轴漂转动载荷条件分析当柔性铰链零轴漂转动时，各簧片变形和受力大小相同，簧片自由端的相同量纲一法向力和切向力分别为和，由式（）求解。简化式（）后得
11、到零轴漂转动载荷条件：（）（）（）相同位移条件下，量纲一曲率决定和的大小进而影响广义力（，）的相对大小。由式（）可知，和不能同时为，故式（）中（，）皆为时，簧片相位角需满足条件：（）（）式中，为簧片相位角；为簧片总数。在此条件下，柔性铰链平面构型表现出全对称特性，即簧片在圆周方向上均匀分布。此时，（，）作为干扰力，影响柔性铰链转动精度。无干扰力作用时，转矩为驱动力矩，柔性铰链的所有簧片相同时，不同的簧片相位角和簧片结构形式在理想情况下不影响转动精度；有干扰力作用时，通过簧片总数的奇偶取值和簧片相位角的合理设置，令对称轴方向与干扰力方向重合，以利用对称性 减弱其影响。.大变形问题求解建模梁约束模
12、型采用了变形曲率的线性近似，当梁产生大变形（末端位移大于梁长的）时不再适用。采用链式梁约束（）模型 进一步扩展建模，通过梁的均等离散化处理（图），减小曲率的近似误差，以实现多交叉大曲率簧片柔性铰链大变形分析问题的精确求解。图圆弧曲梁簧片离散化示意图 在坐标系内，簧片的自由端点坐标为（，），倾角为。在簧片中单元（，）的节点处，沿切线方向建立局部坐标系 。将变形前 轴与轴的夹角记为，产生变形（）后的夹角记为，相关计算式为（），（）式中，为柔性铰链转角。将簧片中单元自由端的待求解量纲一载荷和位移变量分别记为（，）、（，），单簧片的总变量数为，需要建立 个求解方程。在 建模过程中，所分析的圆弧曲梁簧片
13、仍属于 梁，每个离散单元皆适用于上述变形建模理论。对每个离散单元应用式（），建立 个方程。由簧片圆心角，）确定，为保证每个离散单元的量纲一曲率.，取 。利用 模型理论建立剩余 个方程。（）静态平衡方程（共 个方程）为 （.）（）（），（）（）几何约束方程（共个方程）为 .（）（）（.）.（）（）（.）（）中国机械工程 第 卷 第期 年月上半月将工作载荷或位移代入式（）式（），并对各柔性铰链簧片列上述 个方程，联立求解得到各 载荷和 位 移 变 量。变 量 代 入 后 求 解 式（）、式（），得到各簧片应力分布和最大应力。模型验证通过仿真和实验相结合，对比分析多交叉直梁、曲梁簧片柔性铰链的转动刚
14、度和最大应力，验证上述理论模型的准确性，并根据分析结果检验多交叉曲梁簧片柔性铰链在减小转动刚度和最大应力方面的实际效果。.柔性铰链试件设计为消除翘曲变形，采用两组三交叉簧片柔性铰链镜像对称组合得到柔性铰链试件。簧片和动、静刚体设计为可拆卸分体式结构，如图所示。试件的静刚体直径，半径系数.。图柔性铰链试件 试件采用 打印加工，簧片设计参数如下。簧片材料：聚乳酸（），弹性模量.，泊松比.，屈服极限 。曲梁簧片设计尺寸：曲率半径，位形角 ，量纲一曲率.；对比直梁簧片设计尺寸：长度，；恒定矩形截面尺寸：宽度，厚度。.实验平台和测试方案设计柔性铰链测试实验平台主要由法兰扭矩传感器（量程 ，综合精度）、精
15、密 三轴位移平台、智能数显仪以及固定支架组成，如图所示。通过调整 位移平台，减小柔性铰链安装的轴线对齐误差。根据扭矩传感器精度，设置一组连续预设转角集，通过手动调整轴转角给平台上柔性铰链施加转矩。对比测试多交叉直、曲梁簧片柔性铰链，记录各预设转角对应测得的数显仪转矩示数，次测量取平均值，得到关系曲线。由于簧片应力难以实际测量，故采用非线性有限元仿真方法计算柔性铰链的最大应力 。首先，对比实验测试与 仿真（六面体网格划分）计算得到的曲线，验证仿真模型的准确性，再利用仿真模型得到 关系曲线。图柔性铰链实验平台 .实验结果及分析转矩实验结果（图）显示，多交叉曲梁簧片柔性铰链平均转动刚度（.）低于多交
16、叉直梁簧片柔性铰链（.）。转矩仿真结果（图）验证了仿真模型的准确性。图转矩实验测试与理论模型结果对比 图转矩实验测试与 仿真结果对比 应力仿真结果（图）显示，曲梁簧片的 在，.时高于直梁簧片的 ，但在.时远低于直梁簧片的 。，时，曲梁簧片的 基本不变，但当 时 多交叉曲梁簧片柔性铰链的力学建模与性能分析 陈鑫刘江南龙汪鹏等开始线性增大。从应力分布情况来看，时，曲梁簧片 产生在其固定端根部，当 时转移至簧片中部。相比之下，直梁簧片的 保持在中部。图最大应力仿真与理论模型结果对比 实验测试、非线性 仿真与理论模型计算结果基本一致，验证了理论模型的准确性。时，直、曲梁簧片柔性铰链转矩实验测试与理论计算结果的相对误差分别为.、.，主要误差来源为试件几何和装配误差，使得部分簧片在长度方向存在残余压拉应力，从而使刚度减小增大。柔性铰链性能的理论计算分析为优化柔性铰链的参数组合，基于理论模型分析半径系数、量纲一曲率和位形角对柔性铰链性能（转矩、最大应力 随转角的变化规律）的影响。分析时选取的静刚体直径、簧片材料和宽度与上文实验设置相同。半径系数的影响设量纲一曲率和位形角皆为，厚度取值范围为.，分析不
