1、第39卷第1期2023年2月山西大同大学学报（自然科学版）Journal of Shanxi Datong University(Natural Science Edition)Vol.39 No.1Feb.2023多样径向SLE的紧度问题梁静（淮南师范学院金融与数学学院，安徽 淮南 232001）摘要：随机Loewner发展（SLE）是个由通过求解驱使函数是布朗运动的洛纳方程而构造的一元随机平面递增过程参数族，而多样径向SLE是趋向于无穷的曲线数目。在洛纳方程给定的相关过程的紧度的基础上，讨论了当=0时，多样径向SLE的紧度问题，即存在T0 0，使得N-1,tN-1的序列关于M(T0)的拓扑
2、是紧的。关键词：随机Loewne发展；Loewne方程；多样径向SLE；紧度中图分类号：O177.1，O152.21文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1674-0874.2023.01.005随机Loewne发展(简称SLE)，涉及复分析、随机分析、动力系统、分形几何等多个方向并在统计物理中有十分重要的应用，已经被证明了是描述了随机几何和统计物理中不同曲线的尺度极限1。许多数学家在这方面做出了非常出色的工作，从数学上严格刻画了多个重要的统计模型，如渗流、Ising模型、离散高斯自由场等。其中最为著名的工作是 Sch-ramm、Werner和 Lawler利用 SLE 作为工具
3、，证明了Mandelbrot关于平面布朗运动的外边界的Hausdorff维数是4/3的猜想（依概率1），以及Smirnov关于渗流和Ising模型的突破性贡献等。同时有很多种方法将这种体制归纳到多样SLE，也就是涉及到在给定区域内的N 条SLE曲线的同时分布2。同时，多样SLE可以通过来自于一些著名随机模型尺度极限来激发。很自然的会想到生成许多介于旋转束-1和之间分界面曲线的临界 Ito模型3。考虑多样径向 SLE是在单位圆盘D内包含N条连接单位圆周T上N个点x1,xN与0的不相交的简单曲线SLE(0,4)4。这些曲线可以通过洛纳微分方程来生成，其中可以令权重1,N(0,1)满足1+N=1。在
4、其基础之上，讨论了=0时，N 1,tN 1的序列关于M(T0)的拓扑情况。1N1,tN1的序列关于M(T)的紧度接下来，基于测度值过程N,tN的紧度可以趋向于随机复值过程的紧度5，有以下结果命 题 1 令SN1=1+N2N2，选 择xN 1,=1SN 1(1+N 1)1N 1。显然，N 1,0,N 1,0w0，对 某 个C 0，N 1,CN 1。因为当N 时，N 1,N 1,N 123N 3。此外，对所有的和N，xN 1,0,1。最后，LN 1(N 1)=j=1N 1,j=1SN 1(N 1+N 1+12N 2)且LN-1一致收敛于L(x)=23(x+x22)。定 理 1 在 命 题 1 中，
5、当=0时，存 在f C2(T,C)，使得|ddt(Tf(x)N 1,t(dx)t=0是无界的。证明：注意到收稿日期：2022-11-16基金项目：淮南师范学院科学研究项目2019XJYB17作者简介：梁静（1981-），女，安徽淮南人，硕士，讲师，研究方向：随机洛纳发展。E-mail：文章编号：1674-0874（2023）01-0017-04山西大同大学学报(自然科学版)2023年N 1,j N 1,xN 1,j xN 1,=1SN 1j(N 1)2(N 1)2j(N 1)2(N 1)2=1SN 1令f C2(T,C)，那么可以得到ddt(Tf(x)N 1,tdx)=ddt(=1N 1N 1
6、,f(VN 1,(t)=1N 1N 1,VN 1,(t)f(VN 1,(t)j (N 1,+N 1,j)VN 1,j(t)+VN 1,(t)VN 1,j(t)VN 1,(t)=1N 1N 1,VN 1,(t)f(VN 1,(t)j N 1,jVN 1,j(t)+VN 1,(t)VN 1,j(t)VN 1,(t)+=1N 1N 1,VN 1,(t)f(VN 1,(t)j N,VN 1,j(t)+VN 1,(t)VN 1,j(t)VN 1,(t)=x yxf(x)y+xy xN 1,t(dx)N 1,t(dy)dt+x yxf(x)y+xy xN 1,t(dx)N 1,t(dy)dt=x yxf(
7、x)yf(y)x y(x+y)N 1,t(dx)N 1,t(dy)dt=x yxf(x)yf(y)x y(x+y)N 1,t(dx)N 1,t(dy)dt=T2xf(x)yf(y)x y(x+y)N 1,t(dx)N 1,t(dy)dt=1N 1N 1,VN 1,(t)N 1(f(VN 1,(t)+VN 1,(t)f(VN 1,(t)j N 1,f(VN 1,(t)N 1,jf(VN 1,j(t)VN 1,j(t)VN 1,(t)现在假定f(x)=1对所有x 0,1成立，易知，前面两项是一致有界的，但是由命题1有，j 2N 1,j 2N 1,xN 1,j xN 1,=j N 1,j+N 1,S
8、N-1j N 1,1SN 1=(N 1)2 N+1)1N 1+1(N 1)2S2N 1 故|ddt(Tf(x)N 1,t(dx)t=0是无界的。命题2 当N 3时，令xN 1,=N 1,N 1,=12(N 2)，对 所 有 的 N 1，xN 1,N 1=2,N 1,N 1=12。定理 2 在命题 2 的条件下，当=0，存在某个T 0，使得N 1,tN 1关于M(T)的拓扑不是紧的。证 明：当N 时，对 每 个t 0，VN 1,N 1(t)+。当VN 1,N 1=12时，可 以 证 明N 1,tN 1是不紧的。首 先，需 要VN 1,N 2有 一 个 上 界。对 于 1,2,N 2,有dVN 1
9、,(t)j ,N 12N 2VN 1,j(t)VN 1,(t)令ZN 1,1,ZN 1,N 2为下列系统的解dZN 1,(t)=j ,N 12N 2ZN 1,j(t)ZN 1,(t),ZN 1,(t)=xN 1,当函数(x1,x2,xN 1)j 1,N 12N 2x1 x,j N 2,N 12N 2xN 2 x是拟单调的。对于所有t 0，可得VN 1,(t)ZN 1,(t)6。注意到，ZN 1,1,ZN 1,N 2是N条曲线的一个同步发生的多样SLE过程，每个增长速度为1N。存在T00和一个上界B1(1,2)，使得WN 1,N 2(t)B1对于 所 有t 0,T0且N 2。因 而，对 所 有t
10、 0,T0,VN 1,(t)B1 2。类似的，可以确定一个下界。182023年当ddtVN 1,N 1(t)0,VN 1,N 1(0)=2时，对所有的t0，有VN 1,N 1(t)2。因而，对于 1,2,N-2，有dVN 1,(t)=j ,N 12N 2VN 1,j(t)VN 1,(t)+2(12+2N 2)VN 1,j(t)VN 1,N 1(t)dtj ,N 12N 2VN 1,j(t)VN 1,(t)dt+2B1 2dt令LN 1,1,LN 1,N 2为下列系统的解dLN 1,(t)=j ,N 12N 2LN 1,j(t)LN 1,(t)dt+2B1 2dt,LN 1,(0)=xN 1,当
11、N 时，度 量 值 过 程 的 序 列N-1,t=1N-21N 2LN 1,(t)收敛，这并不能证明LN 1,1(t)是有下界的8。但是我们可以推得，像LN 1,N 12是有下界的，也就是说，对于所有t 0,T0，存在B20，使得N 1,tN 1的序列关于M(T0)的拓扑是紧的。证明：由对称性，对于每个K ,t 0，有VN 1,K+1(t)=0。可 以 分 解 度 量N 1,t，使 得N 1,t=N 1,t+120+N 1,t。其中N 1,t的支撑包含在(-,0)且对于每个博雷尔集A，N,t(A)=N,t(A)。在 定 理 2 的 证 明 中，得 到 存 在T00,B (1,0),使得对于所有
12、的K ,t 0,T0，VN 1,K(t)B令f C2(T,C)，那么有ddt(Tf(x)N 1,t(dx)=ddt(=1K18Kf(VN,(t)=1Kf(VN 1,(t)8K-(j K,j 4(N 1,+N 1,j)VN 1,j(t)-VN 1,(t)+j K+2,j 4(N 1,+N 1,j)VN 1,j(t)-VN 1,(t)+4(N 1,+N 1,K+1)VN 1,K+1(t)-VN 1,(t)=1Kf(VN 1,(t)8K-(j K,j 12KVN 1,j(t)-VN 1,(t)+j K,j 12KVN 1,j(t)-VN 1,(t)+14K+1VN 1,(t)=8x yf(x)x-y
13、+f(x)x+ydN 1,t(x)dN 1,t(y)+=1Kf(VN 1,(t)(14+1)8KVN 1,(t)梁静：多样径向SLE的紧度问题19山西大同大学学报(自然科学版)2023年=4x yf(x)-f(y)x-y+f(x)+f(y)x+ydN-1,t(x)dN-1,t(y)+=1Kf(VN-1,(t)(14K+1)8KVN-1,(t)当f C2(T,C)，f(x)-f(y)x-y有界。由（10）式，当t 0,T0时，f(x)+f(y)x+y的积分有界，其和也是有界的，可得N-1,tN-1是紧的，进而N-1,tN-1也是紧的。也就是说，关于多样径向SLE的极限，可推得当=0时，存在T0
14、0，使得N-1,tN-1的序列关于M(T0)的拓扑是紧的4。由于多样通弦SLE与多样径向SLE的本质区别在于是T的紧度与R进行对比9，进而得出在多样通弦SLE的情形下，N-1,tN-1的测度值过程是不紧的。参考文献1 LAWLER G F.Conformally invariant processes in the plane M.Washington：American Mathematical Society,2005.2 KARRILAA.Multiple SLE type scaling limits：from local to gobal D.New York：Cornell Univ
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