1、高中一年级数学必修一知识点总结高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素确实定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 Nx或 N+
2、 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5 二、集合间的根本关系 1.“包含关系子集 注意：有两种可能（1）A是B的一局部，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2“相等关系：A=B (55，且55，那么
3、5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同那么两集合相等 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB 由所有属于集
4、合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB) 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） S A 记作，即 CSA= 韦 恩 图 示 S A 性 质 AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 二、函数的有关概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在
5、集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 4映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的
6、一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象） 对于映射f：AB来说，那么应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5.分段函数 (1)在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。 (2)各局部的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 （2） 图象
7、的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 任取x1，x2D，且x1 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减 8函数的奇偶
8、性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 （2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：假设f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；假设f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(
9、x)是奇函数 第二章 根本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且x u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 当是奇数时，当是偶数时， 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ， u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （1） ； （2） ； （3） （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 a1 0 （1）在a，b上，值域是或；
10、（2）假设，那么；取遍所有正数当且仅当； （3）对于指数函数，总有； 二、对数函数 （一）对数 1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式） 说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式 两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数 u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果，且，那么： ； ； 注意：换底公式 （，且；，且；） 利用换底公式推导下面的结论 （1）；（2） （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0
11、，+） 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区分。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且 2、对数函数的性质： a1 0 （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数 （1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 （2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 （3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点
